1193507387 (547421), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Х;», постоянно используемый на практике. Так, пусть произведено п независимых измерений некоторой величины, истинное значение которой а (оно неизвестно). Результат каждого 168 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей измерения есть с. в. Х;. Согласно следствию (5.9), в качестве приближенного значения величины а можно взять среднее арифметическое результатов измерений: а= — ~ Х;=Х. Равенство тем точнее, чем больше п. На теореме Чебышева основан также широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого в том, что о качестве большого количества однородного материала можно судить по небольшой его пробе.
Теорема Чебышева подтверждает связь между случайностью и необходимостью; среднее значение случайной величины Х= — 1~Х, 1=1 практически не отличается от неслучайной величины Пример 5.2. Глубина моря измеряется прибором, не имеющим систематической ошибки. Среднее квадратическое отклонение измерений ве превосходит 15 м. Сколько нужно сделать независимых измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было утверждать, что среднее арифметическое этих измерений отличается от а (глубины моря) по модулю меньше, чем на 5 м? („) Обозначим через Х; результаты п независимых измерений глубины моря. Нужно найти число и, которое удовлетворяет неравенству (5.8); где МХ; = а, чтпо означает оптсуптствие при измеренилх систематической ошибки (т.
е. измерения производятся с одинаковой точностью). По условию в = 5, С = 225, так как о = ъ~ЪХ = 15м. Отсюда Р~) — ~ — а ( 5~ ) 1 — — ) 0,9, в=1 т. е. 0,1 > —, п ) 90. Измерение нужно проводить не менее 90 раз. ° 9 Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей ° 169 5.3.
Теорема Бернулли Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой закона больших чисел. Она теоретически обосновывает свойство устойчивости относительной частоты (см. п. 1.5). Д Введем с.в. ХПХг,...,Х„следующим образом: Х; = 1, если в г-м испытании появилось событие А, а если не появилось, то Х; = О. Тогда число пя (число успехов) можно представить в виде Хо ~=1 М.о, и дисперсия с.в.
Х; равны: МХ; = 1 - р + О - (1 — р) = р, ДХ; = (Π— р)з(1 — р) + (1 — р)зр = р(1 — р) = рд. Закон распределения с.в.Х,имеет вид Х; О 1 Р 1 — р р, при любом г'. Таким образом, с. в. Х; независимы, их дисперсии огра- 1 ничены одним и тем же числом —, так как 1Р ) 4' 4 1 2) 4' Поэтому к этим с. в. можно применить теорему т1ебышева (5.7): 170 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Но -„~ Хз= — „, 1 пА 1 1 и ~~,МХ1 и ( ~пА Следовательно, 1пп Р~~ — — р~ < е)~= 1. ~~ и принимает вид (5.11) Обобщением теоремы Вернулли на случай, когда вероятности р, появления события А в каждом из и испытаний различны, является теорема Пуассона: (5.12) где р; — вероятность события А в г-м испытании.
Пример 5.3. Вероятность наличия опечатки на одной странице руко- писи равна 0,2. Оценить вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц, частость появления опечатки отличается от соответству- ющей вероятности по модулю меньше, чем 0,05. ( а Воспользуемся формулой (5.11).
В данном случае р = 0,2, д = 0,8, п = 400, е = 0,05. Имеем Р(! — ~ — 02/ < 0,05) ) [1 — — ] =1 — ' ' =084, т. е. р > 0,84. Теорема Вернулли теоретически обосновывает возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты.
Так, например, за вероятность рождения девочки можно взять относительную частоту этого события, которая, согласно статистическим данным, приближенно равна 0,485. Неравенство Чебышева (5.2) для случайных величин Главе 5. Предельные теоремы теории вероятностей ° 171 5.4.
Центральная предельная теорема Центральная предельная теорема (ЦПТ) представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы с. в. и его предельной формой — нормальным законом распределения. Сформулируем ЦПТ для случая, когда члены суммы имеют одинаковое распределение (именно эта теорема чаще других используется на практике, так в математической статистике выборочные случайные величины имеют одинаковые распределения, так как получены из одной и той же генеральной совокупности).
и / я ~ я ~,,Х, — М~~ Х1) ~,Х, — па г Я,.) (5.13) 1 г с2 Рг„(х) = Р(2„< х) — + Ф(х) = — / е з сй. н-+со т/3я Из соотношения (5.13) следует, что при достаточно большом и сумма Я„ приближенно распределена по нормальному закону; Я„11Г(0, 1). Это означает, что сумма Я„= Х1 + Хз +...
+ Х„приближенно распределена по нормальному закону: Я„° Ж(па,,/по). Говорят, что при и -+ оо с, в. п Х; асимптпогапческп нормальна. 1=1 Напомним, что: С.в. Х называется центрированной и нормированной (т.е, стан- дартной), если МХ = О, а РХ = 1, Если с. в, Х;, 1 = 1, и независимы, МХ; = а, РХ; = о~, то и(Ех,) = ° 1=1 Теорема 5.5. Пусть с. в. Хы Хз, ..., Х„независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание МХ, = а и дисперсию РХ; = о~, 1 = 1, и.
Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих случайных величин стремится при и -+ оо к функции распределения стандартной нормальной случайной величины: 172 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей «х я Р~~) Х,) = ~ РХ;=о~+о~+...+о =пгг~. <=1 <=1 х г ~2 3. Ф[х) = — / е з пг — функция Лапласа; Ф[х) = — + Фв[х), где 1 ~/2л. 2 х у' Р г Фе[х) = — / е з ог — нормированная функция Лапласа. ь/2л. о Формула [5.13) позволяет при больших и вычислять вероятности различных событий, связанных с суммами случайных величин.
Так, перейдя от с. в. в я ~ =~Х'=,СХ' к стандартной с. в., получим: или Р1а(Я„(13) =Ф " — Ф ™" [5.14) формула для определения вероятности того, что сумма нескольких с.в. окажется в заданных пределах [см. [2.43) и [2.46)). Часто ЦПТ исполь- зуют, если п ) 10. У вЂ” 7 Х <=1 а также вероятность того, что 55 ( У ( 70. Условия ЦПТ соблюдаются, поэтому с.в. Ь' имеет приближенно плотность распределения 1 )2 7у[У) е ~! 2л.от Пример 5.4.
Независимые с. в. Х; распределены равномерно на отрез- П ке [О, 1]. Найти закон распределения с, в. Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей ° 173 По известным формулам для м. о. и дисперсии в случае равномерного распределения находим: МХ; 0+1 1 (1 О) 1 2 2' ' 12 12' —, ПХ; оХ, = = —. Тогда 1 1 /Г2 2~ГЗ 1ОО 1ОО „= и(~Х;) = ~МХ, = 100 — = 50, 1=1 1=1 1ОО 1ОО ,„'= л(~х) =Глх, =1ао —,', = и, 1=1 1=1 5тГЗ пу = —.
Поэтому 3 3~у 5012 ту(у) е 50 5 т/бя Используя формулу (5.14), находим Р155 < 1 < 70) = Ф 70 50 — Ф 55 50 = Ф(4Л) — Ф(Л) = з з = Ф(6,9282) — Ф(1,73) = 0,04, т. е. Р155 < У < 70) = 0,04. 5.5. Интегральная теорема Муавра — Лапласа Следствиями ЦПТ являются рассмотренные ранее (п. 1.21) локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Приведем вывод интегральной теоремы Муавра — Лапласа. Рассмотрим схему Бернулли. Пусть пд — число появления события А (число успехов) в п независимых испытаниях, в каждом из которых оно может появиться с вероятностью р (не появиться — с вероятностью д = 1 — р). Случайную величину пд можно представить в виде суммы п независимых с. в. Х1, Х2,..., Х„таких, что Х, = 1, если в 1-м испытании событие А наступило, и Х; = 0 в противном случае, т, е. п ПА = ~~Х1 ° 174 ° Раздел первый.
Элементарная теория вероятностей Так как МХ; = р, 1гХ, = рд (п. 5.3), то (да это уже давно известно, см. (2.24), веду, с. в. пд имеет биномивльный закон распределения). Тогда с. в. ~;Х1 — М 2,Х, К,.) представляет также сумму и независимых, одинаково распределенных случайных величин. При этом Я„11710, 1), действительно: )пд — пр1 1 пру Вг„=.О ~ / = „— „~Ппд = „— р = 1.
/пр17 1 Следовательно, на основании ЦПТ (5.13) с.в. Я„при большом числе и имеет приближенно нормальное распределение. Согласно свойству (2.46) нормального закона, записываем Р(21 < Я„< 221 = Ф(22) — Ф(21) (Ф(г) — функция Лапласа). Полагая Й1 — пР Й2 — пР ,/прд /прд двойное неравенство Й1 пр пд — пр Й2 — пр ,/бЯ можно переписать в эквивалентном виде й1 < пд < Й2. Таким образом, получаем Р(1с1 < пд < й2) = Ф1г2) — Ф(г1), т.е. интегральную формулу Муавра — Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
