1193507387 (547421), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(Х, У) называется распределенной по нормальному закону, если ее совместная плотность ((т, у) имеет вид ((т, у) — х 2квеоэ Л вЂ” т2 (е — то,)~ 2т(е — т,)(у -тпрр) (ь — тд)~ + 2 г(1 — л) ~ ' *аэ (3.35) где те, тю и, <тю т = тх н — параметры этого распределения. Распределение (3.35) называется также нормальны.м законом распределения на плоскости или двумерным нормальным (гауссовским) распределением. Можно доказать, что ((х, у) это функция плотности, т. е. справедливо равенство ((т, у) йтйу = 1; „, )г 1 2"'.(' - т~) Х 2кв в„~~ — т2 Ях) = Г"(т,у) йу = сь 1 ((У вЂ” нЬ) 2т(х — т )(У вЂ” и1„) ~ х е й 2(1 — т') 1 и' а*а~ Р йу= гп = МХ, тк — — МУ; и и <ть — средние квадратические отклонения (с.
к. о.); т — коэффициент корреляции с. в. Х и У. Это означает, что двумерное нормальное распределение полностью определяется заданием его числовых характеристик, что удобно на практике (опытным путем находят эти параметры-характеристики и получают совместную плотность ((х,у) двух нормально распределенных с.в. Х и У). Выясним смысл, например, параметров те и и, найдя распределение вероятностей составляющей Х (т.
е. плотность вероятностей одномерной с. в. Х). Согласно формуле (3.10) (п. 3.3) имеем: 132 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей ж — т у — тх подстановки = Ф, 2с'2о.х 2/2 сто 2Г 22 1 2 2стз г / 2(2 2222) е1 — ' Iе СЬ = 2тп стзЯ вЂ” т2 С' 1 2 2((г-тС) — т С ) /', Г2яггх',~Т вЂ” т2 / С т С гх ( тг)г 2 2 2 е 1 — г 2 2 / .— -",(. = 2/2ясг Я вЂ” т2 ( х — тС подстановка = и ,:т2 22 00 е — С Я т2 /' е " сСи = 2/я = 2Г2яст Я вЂ” т2 У 1сс2яст )г 2а~ 2/2яст . т. е.
(х — 222~)2 Л(т)= ' е 2ст2яст (3.36) )г Ь(У)хг ' Е 2с'2 яств (3.37) т. е. У ))с'(спю ст„). График плотности у'(ж,у) нормального распределения двумерной с.в. (Х,У) представляет собой холмообразную поверхность, вершина которой находится в точке тх,тю, т.е. макси- 1 2ягг ст Я вЂ” т2 мум функции у(ж,у) достигается в точке (тх,пст), рис.34. Сечения поверхности распределения плоскостями, проходящими через точку Случайная величина Х имеет нормальное распределение с м.
о. тх и ДИСПЕРСИЕЙ Стх2. АиаЛОГИЧНО ПОЛУЧаЕМ Глава 3. Системы случайных величин ° 133 < 1 тя,тю перпендикулярно плоскости Оху, предста2хо а, Л вЂ” гз) — а х-пь вляют собой кривые Гаусса вида г = бе ~~* '" г . Пересекая поверхность распределения г = 1(х, у) плоскостью г = гс, где О ( го ( г параллельной плоскости Оху, получим в сечении эллипс, уравнение проекции которого на плоскость Оху, имеет вид (х — т~) (х — гп )(у — тг) (у — тг) — 2г + — 6, о. х р о„ (3.38) где 6~ = — 2(1 — г~) 1п(2ягеа а„ъП вЂ” ГЦ).
(В силу ограничения на ге ар- гумент логарифма меньше 1, следовательно, значение логарифма отри- цательно.) Если осуществить преобразование параллельного переноса и поворота осей по формулам < х = т + хо соз и — уо еши, у = т„+ хе з1п и + уз соз ег, 2го аг где угол ег подобран так, что 182п =, то уравнение (3.38) прео образуется в каноническое уравнение эллипса. Эллипс (3.38) называют эллипсом рассеяная; оси симметрии эллипса (они образуют с осью Ох углы ег и — + и) — главными осями рассеяния а центр эллипса (точка 2 (тпя, тэ) ) — центром рассеяния.
Если компоненты двумерной нормально распределенной с. в. (Х, У) некоррелированы (г = гху = 0), то функция плотности (3.35) принимает вид /(. )г ~„т р Дх,у) = е 2яо ог (е — т )~ 1 е 2о~ ~/2 ха . т. е. 1 (х, у) = 11(х) (з(у), где 11(х) — плотность распределения с. в. Х, 1з(у) — с.в. У. Отсюда следует вывод: некоррелированные нормально распределенные случайные величины явллютея также и независимыми. Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, для нормально распределенных с. в. термины «независимость» и «некоррелированность» эквивалентны.
Глава 3. Системы случайных величин ° 436 Можно показать, что вероятность попадания такой же точки (Х, У) в один из эллипсов рассеяния равна г + г (1г( 1 <т <ту Пример З.э. Найти вероятность попадания точки 1Х,У) в прямоугольник ()т( ( 1, )у! ( К2), если плотность совместного распределения 1 хг +4уг с. в. Х и У равна ~(т,у) = — е о Зк О Функцию ~(т, у) можно переписать в виде Ь вЂ” о)г ( тз)' у(т,й = е г<""з~' в ~ ' ~ =Ы ).ЬЬ). Значит, с. в. Х и У независимы и Х Л10, ~/3), У гУ О, — ) . Поэтотз~ му Р(~т~ ( 1, 1у~ ( 2) = 2Фо — ~ 2Фо — = 4Фо10,58) Фо12,31) = = 0,428. 3.9. Регрессия. Теорема о нормальной корреляции При изучении двумерной случайной величины рассматриваются не только числовые характеристики одномерных компонент Х и У (см.
п. 3.6), но и числовые характеристики условных распределений: условные м. о., условные дисперсии. Условным математическим ожиданием одной из с. в., входящих' в систему (Х, У) называется ее м.о., вычисляемое при условии, что другая с. в.
приняла определенное значение (или попала в данный интервал). Обозначается: М(У|Х = т) или М(Цт) и М(Х~у). Вычисляются эти характеристики по обычным формулам м.о., в которых вместо плотности распределения и вероятностей событий используются условные плотности распределения или условные вероятности (п.
3.5). 136 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Для непрерывных с. в. М(У(х) = у ~(у)х) 11у, М(Х)у) = х 1(х)у) 11х, (3.39) где 1(у)х) и 1(х)у) — условные плотности распределения с.в. Х и У, определяемые равенствами (3.17) и (3.18) п. 3.5. Для дискретных с.
в. Х и У условные м. о. вычисляются по фор- мулам тл в М(У~хг) = ~ у р(уу~х)) М(Х~у3) = ~ х,р(х;!у6), (3.40) 2=1 1=1 где р(уг')х,) = Р(У = у~)Х = х)1, р(х;~у)) = Р1Х = х,')У = уг~, формулы (3.15) и (3.16). Условное математическое ожидание с. в, У при заданном Х = х, т. е. М(У)х) = р(х), называется функцией регрессии или просто регрессией У на х (или У по х). Аналогично, М(Х)у) = ~р(у) — регрессия Х на у (или Х по у). Графики этих функций называются соответственно линиями (или «кривыми») регрессии У на х и Х на у.
Если обе функции регрессии У на х и Х на у линейны, то говорят, что с. в. Х и У связаны линейной корреляционной зависимостпью. Условное м.о. М(У~х) (т.е. функцию регрессии У на х) найдем, используя условный закон распределения с.в. У при Х = х, который определяется условной плотностью распределения 1 (у)х). Согласно формуле (3.17) 1(у)х) = ' . Совместная плотность 1(х,у) задаПх, у) И) на формулой (3.35), а плотность распределения составляющей Х есть (г — т~) У ( ) е 2<г~ 1 1/2~го г (см.
формулу (3.36)). Имеем Теорема 3.4 (Теорема о нормальной корреляции). Если двумерная с. в. (Х, У) распределена по нормальному закону, то с. в. Х и У связаны линейной корреляционной зависимостью. Глава 3. Системыслучайныквеличин ' 137 ((у)х) = х 2яо о., 41 — тг (' (х — тл ) 2т(х — лтг)(у — атт) (у — лтт) 2(1 — т~) 1 а~ ага„ 2 хе т ~тт2ятт (х — та ) 2а т Произведем упрощение показателя экспоненты в последней формуле.
Так как ( (х — тх)2 2т(х — т )(у — ту) (у — тп ) 2(1 — т') ), гг х ттхбу 0.2 у (х — тх)2 1 — тг 2<т~ ~1 — тг 2(1 — тг) (х — т )2 2т(х — тп )(у — тпу) (х — тх) (1 — т ) (у — тпу) 2 2 х <ту 2 о <ту 2т(х — тп )(у — тп ) тг(х — т )2 О хтту 2 (у — ту) 2 оу 1 У тУ х — тх 2(1 — тг) то у — (тат Ч-т ° — „(х — лт )) ат х у( ~ ) 1 2(а~Л вЂ” т~)~ тт2я( у~/1 — тг) М(у)х) = ту + т У и Р(у~х) = ог(1 — т ).
(3.41) Аналогично можно получить функцию регрессии Х на у: (0(у) = М(Х)у) = тх+ т * " и Р(Х)у) = та~~(1 — т ). (3.42) Так как обе функции регрессии (3.41) и (3.42) линейны, то корреляция между с.в.Х и У линейная. Как видно, условный закон распределения является тоже нормальным с условным м. о. и условной дисперсией, определяемыми формулами 138 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Пример 3.10.
Построить линию регрессии У на х для двумерной с. в. П (Х, У), закон распределения которой задан таблицей: О Находим условные ряды распределения с. в. У при х1 = О, хз = 1, используя формулы (3.15). р(у1(х1) = Р(У = — ЦХ = 0) = — ' 0,10 10 0,45 45' р(уг!хд) = Р(У = О/Х = 0) =— ) р(уз!х1) = Р(У = 1/Х = 0) = — ' Согласно (3.40) имеем М(У/х1) = — 1 ° — + 0 — + 1 ° — = —. 10 15 20 10 45 45 45 45' Далее: ры.,) = Р(~ = -ЦХ = Ц =— 0,15 15 0,55 55 р(у,|х,) = Р(1 = О)Х = Ц = — = —, р(уз!х,) Р(Ь = ЦХ = Ц = — = —. Следовательно, М(У)хг) = — 1. — +0 — +1. — = О. 15 25 15 55 55 55 Линия регрессии У на х изображена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
