1193507387 (547421), страница 14
Текст из файла (страница 14)
и дисперсии; если они близки между собой, то есть основание считать, что с. в. распределена по закону Пуассона). 88 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей О Вероятность р = 0,01 очень мала, а число выстрелов (опытов) достаточно велико. Поэтому искомую вероятность будем находить, используя формулу Пуассона. С.в. Х вЂ” число попаданий. Требуется найти Р(5 < Х < 10). По теореме сложения вероятностей Р(5 < Х < 10) = Р(Х = 5) + Р(Х = б) +... + Р(Х = 10). Имеем: а = пр = 200 0 01 = 2, е ' = е ~ = 0,135, Р(5<Х <10)=0135( — + — + — + — + — + — ) 0053, Ю 1 2в 2е 27 2в 2в 21о'1 (, 5! б! 7! 8! 9! 10! ) Геометрическое распределение Дискретная с.в.
Х имеет геометрическое распределение, если ег Я возможные значения; 1,2,3,4,..., а вероятности этих значений: р =Р(Х=пт)=д 'р, (2.27) где т = 0,1,2,.... Геометрическое распределение имеет с. в. Х, равная числу опытов в схеме Бернулли, проведенной до первого успеха вероятность успеха р в единичном опыте. Примерами реальных случайных величин, распределенных по геометрическому закону, являются: число выстрелов дв первого попадания, число испытаний прибора до первого отказа, число бросаний монеты до первого выпадения решки и т.
д. Ряд распределения случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение, имеет вид Контроль: ~; рд'"' 1 = р 2; до' 1 =р. = — = 1. т=1 та=1 Вероятности р образуют геометрическую прогрессию р, др, д й г двр, .... По этой причине распределение (2.27) называют геомехпричг. аким. Пример 2.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна П 0,01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелах составит не менее 5 и не более 10? Глава 2. Случайные величины ' 89 У(2) = ~~~ дт 'Р =» ~~,(дв) '=Р21 т=1 т=1 .ю(2) = .Д ~р(2) = 2,у2"(2) = рд .
С о 1 — дв' (1, )2~ (1, )3 быть, Р 1 д)' Р— (р(1)) = — + — — — = —, 2рд 1 1 д 3 Р 2 2' МХ= р'(1) = (1— (2.28) РХ = рл(1) + р'(1) т. е. МХ = —, РХ = — и, значит, нх = —. Л Пример 2.9. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для данного стрелка равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию с.
в. Х числа выстрелов по цели до первого попадания. 1 1 С. в. Х имеет геометрическое распределение с параметром р = 0,1. По формулам (2.28): МХ = — = 10, РХ = — ' = 90 (нх = 1/90 = 1 0,9 — 0,1 — (0 1)2— = З,/Р00). Замечание.
Геометрическое распределение является частным случаем так называемого распределения Паскаля: Р(Х = гп) гд =С,"ч~~ .Р"дт ~,т=1,2,3,...,г>0 целое;МХ=р РХ р' При т = 1 распределение Паскаля совпадает с геометрическим; при т > 1 — совпадает с распределением суммы независимых с. в., имеющих геометрическое распределение; при натуральном т оно описывает число опытов в схеме Бернулли, необходимых для того, чтобы получить значение 1 ровно т раз. Распределение Паскаля имеет приложение к статистике несчастных случаев и заболеваний и т.
д. Найдем математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения. Производящей функцией для с.в. Х является функ- ция 90 ° раздел первый. Элементарная теория вероятностей Гипергеометрический закон распределения СЦ С„"-м С Л1 (2.29) где т = 0,1,...,ппп(п, М), М < )11, т < п, и < )11; и, М, )11 — натуральные числа. Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобных следующему: в урне )11 шаров, из них М белых, а остальные черные; из нее вынимается п шаров. Требуется найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет ровно т белых (остальные черные). Случайная величина Х вЂ” число белых шаров среди извлеченных из урны. В п.
1.7 разобран пример 1.6 подобного типа. Математические ожидания д. с. в. Х, имеющей гипергеометрическое распределение, есть (2.30) а ее дисперсия М (1'т" — М) ()11 — и) 1.1Х = и 7,7г (2.31) Гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами 1т', М, и. Если и мало по сравнению с )11 (практически при и < — 1т'), 1 он приближается к биномиальному распределению с параметрами и и М Л1 Л1-М Ст пь п — н1 )11 С: Гипергеометрическое распределение используется при решении задач, связанных с контролем качества продукции (и других).
Я Пример 2.10. В группе из 21 студентов 5 девушек. Из этой группы наудачу отбирается 3 студента. Составить закон распределения д.с.в. Х числа девушек из отобранных студентов. Найти МХ. С.в. Х принимает значения 0,1,2,3. Вероятности этих значенв1 Сл С1в находим по формуле (2.29): рв = Р1Х = О) = 0,4211, СЯ 1 Дискретная с. в. Х имеет гипергеолтетрическое распределение, если ~Я она принимает значения 0,1,2,...,тп,...,ппп(п, М) с вероятностями Глава 2.
Случайные величины ° 9! р, =Р(Х =1) = С,', р =Р(Х=3)= * Сз, 0'4511' рз Р(Х 2) з 0'1203 С,' С1в Сз, 0,0075. Ряд распределения: Значение МХ найдем двумя способами: а)по ряду распределения: МХ = 0 О 4211+1 0 4511+ 2 О 1203+3.0 0075 = О 7142; б)по формуле (2.30) МХ = 3 — = — = 0,7142. 21 7 Ьвномерный закон распределения Непрерывная с.в. Х имеет равномерное распределение на отрезке [а,Ь], если ее плотность вероятности 7'(х) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю: при х Е [а, 6], 1 1(х) = 6 — а О, прихф [а,Ь], (2.32) (т. е. 1(х) = с при х Е [а, 6], но +сю сох=1, ~ь отсюда следует, что ох[ = 1, с =; вместо отрезка [а,Ь] можно Ь вЂ” а' писать (а,6) или (а,Ь], [а,6), так как с.в. Х непрерывна.) График плотности 7'(х) для равномерного распределения н.с.
в. Х изображен на рис. 28. Равномерное распределение с. в. Х на участке [а,Ь] (или (а, Ь)) будем обозначать: Х В[а, 6]. Найдем функцию распределения г"(х) для Х В[а,Ь]. Согласно формуле (см. п. 2.4) 92 раздел первый. Элементарная теория вероятностей Рис 98 имеем х г"(х) = а при а <х< 6; Р(х) = Оприх<а, и [* х — а Ь вЂ” о!а Ь вЂ” а х ь Р(х) = ОЙ+ при х > 6.
Таким образом, О, х — а 6 — а' 1, при х < а, приа<х<6, Г(х) = (2.33) при 6 <х. График Р(х) изображен на рис. 29. Рис. 99 Определим МХ и РХ с. в. Х В[а, 6]. Согласно формуле (2.11), МХ = х Ог(х+ 1 х г(х+ 1 х. Осах = (Ожидаемый результат: математическое ожидание с. в, Х В[а, Ь) равно абсциссе середины отрезка; МХ совпадает с медианой, т.е МХ = М,Х.) Глава 2. Случайные величины ' 93 Согласно формуле (2.14), д )'(, ~ь)' ь 1 1(, +1)' ' а ~'(6 — а) (а — 6) ') (6 — а) 3(Ь - н) (, 8 8 ,) 12 Таким образом, для н. с. в. Х ° В[а, 6] имеем мх = а+ь вх- (ь-н)' 2 ' 12 (2.34) О Согласно формуле (2.8), имеем Р(Х е (о„9)) = Дх) Нх = Йх = т, е, Р(Х Е (а,,9)) = Геометрически эта вероятность представляет собой площадь прямоугольника, заштрихованного на рис.
30. Рва 00 К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся: время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с определенным интервалом; ошибка округления числа до целого (она равномерно распределена на отрезке [ — 0,5; 0,5]).
И вообще случайные величины, о которых известно, что все ее значения лежат внутри некоторого интервала и все они имеют одинаковую вероятность (плотность) . Я Пример 2.11. Пусть с.в. Х В(а,Ь). Найти вероятность попадания с. в. Х в интервал (а, ~9), принадлежащий целиком интервалу (а, 6). 94 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Рис Я Показательный закон распределения Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (илн экспонеициальнь~и) закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид ( Ле Л~, при х > О, 10, прих(0, (2.35) где Л > 0 — параметр распределения. График плотности г" (х) приведен на рис.
32. Рис Ы Функция распределения показательного распределения имеет вид /1 — е ~*, прих>0, ~0, прих<0. (2.36) Дискретная случаяная величина Х имеет равномерное распределение, если она принимает целочисленные значения 1, 2, 3, ..., п с вероятностью ргл = Р(Х = т1 = —, где т = 1, 2, 3,..., п. 1 В этом случае МХ 1+и п~ — 1 2 ' 12 РХ = . Так при п = 5, многоугольник распределения имеет вид, представленный на рис. 3!, МХ =3. Глава 2. Случайные величины ' 95 й о а [3 Р(х)= ~ЯМ= Ой+ Ле *г1ь=1 — е л*.
График г'(х) представлен на рис. 33. Рис. 33 Найдем математическое ожидание и дисперсию показательного распределения: МХ = х. Ле л*сЬ = 1пп х. Ле л*йх = [интегрируем по частям] = ь-+ос,/ о о -лл 1 -лх~ 1 ь ~ь| = 1пп -х.е -- е ~ ] =Π— -(Π— 1) =-. 1 ь о Л [о) Л Л РХ = х~ 1'(х) йх — (МХ) = [формула (2.17)] = Л х~е лк сЬ вЂ”вЂ” Лт= — 00 о = [дважды интегрируем по частям] = ="('-( — ' " ((-' *'--' ")) ']--'= = Л О+ — [ О+ Π— — (Π— 1)] 2' 1 Л' 1 2 1 1 ) ) Л1 — Лт Лх — Л~- Таким образом, МХ= —, РХ= —, пг — — —. 1 1 1 Л' Ло' Л (2.37) Найдем вероятность попадания случайной величины Х, распределен- ной по показательному закону, в интервал (а, о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
