1193507387 (547421), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.1 найти Р1(х), Рт(у), г'(х, у). Глава 3. Системы случайных величин ' 111 1(~, у) — 3 д„— Р.„(х,у). дзР(х, у) (З.б) Плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) есть предел отношения вероятности попадания случайной точки (Х, У) в элементарный прямоугольник со сторонами Й.т и Ьу, примыкающий к точке (х, у), к площади этого прямоугольника, когда его размеры Ьх и Ьу стремятся к нулю (рис. 41). у+ Рис.
41 Действительно, используя формулу (3.6), получаем: средняя плотность вероятности в данном прямоугольнике равна Р(х < Х < х+ Ьх,у < У < у+ Ьу) Ьх Ьу (Р(х+Ьх,у+Ьу) — Р(х,у+Ау) Р(х+Ьх,у) — Р(х,у) Ьу Ьх ~х Переходя к пределу при Ьх -+ О и Ьу -+ О, получаем Р'(х, у + Ьу) — Р'(х, у) 1пп ~ р — 1пп а*-~а '~ аэ- а Ьу аэ-~о т. е. 7" (х, у) = (Р' (х, у) ) '„= Р"„(х, у). По аналогии с плотностью вероятности одномерной непрерывной случайной величины, для двумерной случайной величины (Х, У) плотность вероятности определяется как функция 7"(х, у), удовлетворяющая условию Р(х < Х < х+ Йх,у < У < у+ ду) - 1(х, у) Йхг(у; (3.7) выражение 7" (х, у) дхду называется элементом вероятности двумер- ной случайной величины (Х, У). Обозначается совместная плотность системы двух непрерывных случайных величин (Х, У) через 7" (х, у) (или р(х, у) ). Таким образом, по определению 112 Раздел первый.
Элементарная теория вероятностей Рис..~й Плотность распределения у (х, у) обладает следующими свойствами: 1. Плотность распределения двумерной случайной величины неотрицательна, т. е. )(х,у) > О. 2. Вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область 0 равна двойному интегралу от плотности по области Ю, т. е. Р1(Х, У) е Р) = ~(х, у) Йхду. и (3.8) 3. Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность распределения по формуле: Р(х,у) = 1хг(и,э)Йиг(и. (3.9) 4. Условие нормировки: двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной с. в.
равен единице, т. е. Геометрически плотность распределения вероятностей Дх,у) системы двух случайных величин (Х, У) представляет собой некоторую поверхность, называемую поверхностью распределения (рис. 42). Глава 3. Системы случайных величин ° 113 5. Плотности распределения одномерных составляющих Х и У могут быть найдены по формулам: 1. Следует из того, что Г(х, у) есть неубывающая функция по каждому из аргументов. 2. Элемент вероятности Дх, у) аЫу (см. (3.7)) представляет собой вероятность попадания случайной точки (Х,У) в прямоугольник со сторонами дх и ду (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка по сравнению с произведением ИхИу).
Разбив область Р на прямоугольники и применив к каждому из них равенство (3.7), получаем, по теореме сложения вероятностей, при стремлении к нулю площадей прямоугольников (т. е. ах -+ 0 и ау -+ О), формулу (3.8). Геометрически зта вероятность изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распределения Дх, у) и опирающегося на область Р. 3. Выражение функции распределения г'(х, у) системы случайных величин (Х,У) через плотность 7"(х,у) получим, используя формулу (3.8) (область Р есть прямоугольник, ограниченный абсциссами — со, х и ординатами — оо, у): г'(х, у) = Р1Х < х, у < у) = Рг,— оо < Х < х, — оо < у < у) = У(х,у) 1х у.
4. Положив в формуле (3.9) х = у = +со и учитывая, что Р(+со, +со) = 1, получим Г(+со, +со) = 7" (х, у) с~хе~у = 1. Геометрически свойство 4 означает, что обеем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью Оху, равен единице. 5. Найдем сначала функции распределения (знвя совместную плотность двумерной случайной величины (Х, У)), составляющих Х и У: Р~(х) = г'(х, +со) = 7" (х, у) Йхе1у, 114 Раздел первый. Элементарная теория вероятнооте й Рг Ь) = Р(+со, Ю) = 1(х, й г1хг(И т.
е. х -~-оэ т +00 Рг(х) = 1'(х, у) ду Нх, Е~(у) = 1 (х, у) Нх г(у. (3.1Ц Дифференцируя первое равенство по х, а второе по у, получим плотности распределения случайных величин Х и Ъ Их) =Фх) = й Ю) Ь ЛЬ) = Е'гЬ) = Ях у) Й . Отметим, что решение обратной задачи (восстановить закон распределения системы (Х, У) по известным законам распределения составляющих системы) в общем случае невозможн . Пример 3.4. Двумерная случайная величина (Х,У) задана плотностью распределения вероятностей 1(х, у) 1+х д +у 1 1) А; 2) Р(х, у); 3) Р(Х ( 1, У ( Ц; 4) ~~(х) и ~г(у). О 1) Постоянную А найдем, используя условие нормировки: А (1 + ')(1 + ~') 1+хг 1+уг )+ОО )+СО А атеей х) агоний у) = 1, Аяг 1 1 Следовательно, А = —.
.г' Глава 3. Системы случайных величин ° 115 2) Используя формулу (3.9), находим: У в Р(х,у) = / ггу = — (агс1Кх+ — ) агс1КУ~ / 2 1+хг 1+ 2 2 1 2! = (к агсгКх+ 2) (к агсгКУ+ 2) . 3) Р(Х < 1У < 1) Р(11) (1. +1) (1. +1) 9 (использовали формулу (3.2), можно воспользоваться формулой (3.8)). 4) По формуле (3.10) получаем: Л(х) = 1 ггу „г (1+ .г)(1+ уг) КУ~ гг~(1+ х ) 1-о ггг(1+ х') (2 2) гг(1+ х') ' х ~2(У) / „г ' (1 + .2)(1 + г) 1 (1+ „г) Упражнения 1. Двумерная случайная величина (Х, У) задана совместной плотностью распределения /Ае * ", при х > О, у > О, '(о, Найти: 1) козффициент А; 2) Рх у(х, у); 3) Рх(х) и Еу(у); 4) 1х(х) и 1у(у); 5) Р(Х > О, У < 1).
А = (О < Х < 1, 1 < У < 3). 2. Непрерывная двумерная случайная величина (Х,У) равномерно распределена (т.е. 1(х,у) = с) внутри треугольника с вершинами 0(0, 0), А(0, 4), В(4, 0). Найти: 1) совместную плотность 1(х, у); 2) 1х(х) и 1у(у); 3) вероятность события 11б ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей 3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для 1 стрелка равна 0,4, для 11 — 0,6.
Оба стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела в цель. Найти: 1) закон распределения случайных величин Х и У; 2) совместный закон распределения системы случайных величин 1Х, У); 3) функцию распределения Рх у(х, у), если случайная величина Х вЂ” число попаданий 1 стрелка, случайная величина У вЂ” 11 стрелка.
3.4. Зависимость и независимость двух случайных величин Зная законы распределения случайных величин Х и У, входящих в систему (Х, У), можно найти закон распределения системы только в случае, когда случайные величины Х и У вЂ” независимы.
С понятием независимости случайных величин мы уже встречались в п. 2.5: две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие значения принимает другая. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Теперь дадим общее определение независимости случайных величин. Случайные величины Х и У называются независимыми, если независимыми являются события (Х < х) и (У < у) для любых действительных х и у. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Сформулируем условие независимости случайных величин.
Если случайные величины Х и У независимы, то события (Х < х) и (У < у) независимы. Следовательно, Р(Х < х, У < у) = Р(Х < х)х хР(У < у), т.е. Р(х,у) = Р11х) . Рг(у). Если же имеет место равен- Глава 3. Системы случайных величин ° 117 ство (3.12), то Р(Х < х,У < у) = Р(Х < х) Р(У < у). Значит, случайные величины Х и У независимы.
Заметим, что условие (3.12) есть иначе записанное условие независимости двух событий: Р(А ° В) = Р(А) Р(В) (п. 1.15) для случая событий А = (Х < х?, В = (У < у?. Если Х и У независимые непрерывные случайные величины, то имеет место равенство (3.12). Дифференцируя зто равенство по х, а затем по у, получим ~(х, у) = — Р1(х) — Р2(у) нли 1(х, у) = )1(х)-12(у). д д дх ду И обратно. Интегрируя равенство (3.13) по х и по у, получим в в х у ,((х, у) г)хг)у = ~1(х) г(х . 12(у) ду, т.е.
Р(х,у) = Р1(х) Р2(у). На основании теоремы 3.1 заключаем, что случайные величины Х и У независимы. Пример 3.5. Зависимы или независимы случайные величины Х и У, рассмотренные в примерах а) 3.2 п. 3.1; б) ЗА п. З.З? 120 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Плотность вероятности условного распределения (или условная плотность) случайной величины У при условии Х = х определяется равенством 7" (у~х) = ' = ', где 11(х) уЕ О.
1(х,у) Лх у) Л(х) Пх,у) ду (3.17) Условная плотность обладает свойствами плотности распределения, так: 7"(у)х) > О, 7"(у~х) ду = 1. Аналогично определяется условная плотность распределения случайной величины Х при условии У = у: (~~ ) = ' = ' 72(~) ФО. 1(х,у) дх (3.18) Используя соотношения (3.17) и (3.18), можно записать .1(х~ у) = 11(х) '1(у~х) = У2(у) ' г (х~у)~ (3.19) т. е. совместная плотность распределения системы случайных величин равна произведению плотности одной составляющей на условную плотность другой составляющей при заданном значении первой. Равенство (3.19) называют теоремой (правнлом) умножения плотностей распределений (она аналогична теореме умножения вероятностей для событий, п. 1.15).
/Сху, при (х,у) Е Р, '10, при (х, у) ~ Р, где Р— область на плоскости < у> — х, у<2, х < О. Найти безусловное и условное распределение составляющей Х. Убе- диться, что случайные величины Х и У зависимы. Пример З.Т. Двумерная случайная величина (Х, У) задана плотно- П стью совместного распределения Глава 3. Системыслучайныхвеличин ' 121 Рис. 43 („) Область П изображена на рис. 43.
Сначала найдем коэффициент С из условия нормировки: 1(х, у) (1х(1у = 1. 00 00 о г о Дх,у)НхНу = Ых Схуйу = С хЫх — ОΠ— 00 -г — О -г о =С х 2 2 ь00 — г С(,'- — ') =-20. Поэтому С = — —, Теперь находим 1 2' 00 г .=И " ]=|Я") =--'"4';— 4х(4 — х ) = 1 г хз — 4х 4 т.
е. Ях) = 4 1х~ — 4х), х Е 1 — 2, 0) 1контроль( 1 з 00 о | У' (х) Цх = — (хз — 4х) Цх = — *— — 2хг~ ] = — ( — 4+ 8) = — = 1), ОО о Уь(=]|У(,о(~ ]= ( ( — ю~~*= — о — ( 1 1 х У 2 ) 2 2 ]-„ Дпя нахождения Г" (х]у) воспользуемся формулой (3.18), предваритель- но найдя Уг1у)( 122 Раздел первый. Элементарная теория вероятностей у Е (0,2). Тогда 1(х~у) = ~ ' ~ = — — ху: — = — —, (х,у) Е Р (1'(х,У)) 1, У' 2, = ~ Л(у) ~ = 4 = (контролгн 00 0 | Дх/у) 11х = — — дх = — — — ~ = — — (Π— у ) = 1). I 2х 1 2 хг! 1 г 2/ 22~, 2 Как видно, безусловный закон распределения случайной величины Х (11(х)) не совпадает с условным законом распределения случайной величины Х (1(х~у)); случайные величины Х и У вЂ” зависимы. ° В случае произвольного типа случайных величин функция распределения Р(х, у) системы зависимых случайных величин (Х, У) может быть записана в виде: Р(х, у) = Р,(х) Рг(у~Х < х) = Р,(у) Р1(х)У < у), где Рг(у)Х < х) = Р(У < у)Х < х) — условная функция распределения случайной величины У при условии (Х < х); Р1(х~У < у) = = Р(Х < х~У < у) — условная функция распределения случайной величины Х при условии (У < у).
3.6. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия Для системы случайных величин также вводятся числовые характеристики, подобные тем, какие были для одной случайной величины. В качестве числовых характеристик системы (Х, У) обычно рассматривают моменты различных порядков (см.п. 2.5). На практике чаще всего используются моменты 1 и П порядков: математическое ожидание (м.о.), дисперсия и корреляционный момент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
