shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ответ: x1 = 1, y1 = 2; x2 = 2, y2 = 1.y=2⎩ 1⎩ y2 = 1x2-3x+2=0; ⎨2.6.C12. a) log3x+17(3x2+2)=log3x+17110.⎧3x + 17 > 0⎪Область определения: ⎨3x + 17 ≠ 1 ;⎪ 2⎩3 x + 2 > 017⎧⎪⎪ x > − 3;⎨⎪ x ≠ − 16⎪⎩3log3x+17(3x2+2)=log3x+17110; 3x2+2=110; 3x2-108=0; x2-36=0; x= ± 6;x=-6 не попадает в область определения. Ответ: x=6.б) log3x+8(2x2+3)=log3x+835⎧3 x + 8 > 0⎪D: ⎨3x + 8 ≠ 1 ;⎪ 2⎩2 x + 3 > 08⎧⎪⎪ x > − 3;⎨⎪x ≠ − 7⎪⎩32x2+3=35; 2x2-32=0; x2-16=0; x= ± 4; x=-4 не попадает в D.
Ответ: x=4.Уровень D2.6.D01. a) log8log9log7x+6((7x+6)9+x2-x-56)=0; log9log7x+6((7x+6)9+x2-x-56)=1;log7x+6((7x+6)9+x2-x-56)=9; (7x+6)9=(7x+6)9+x2-x-56;125x2-x-56=0; D=1+4·56=225; x=1 ± 15; x1=8,2x2=-7 – не принадлежит области определения.Ответ: x=8.б) log6log7log3x+14((3x+14)7+x2–7x–30=0 ⇔⇔ log7log3x+14((3x+14)7+x2–7x–30)=1 ⇔⇔ log3x+14((3x+14)7+x2–7x–30)=7 ⇔⎧⎪ x 2 − 7 x − 30 = 0 ⎧ x = 10, x = −3⎨⎩⎪1 ≠ 3x + 14 > 0 ⎩1 ≠ 3x + 14 > 0⇔ ⎨Ответ: –3; 10.2.6.D02. a) log2003(2x3+x2+4x-34)=log2003(2x3-x+2);2x3+x2+4x-34=2x3-x+2; x2+5x-36=0; D=25+4·36=132; x=−5 ± 138; x1= = 4 ,22x2=-9 – не принадлежит области определения.Ответ: x=4.б) log2002(2x3+x2-x-48)=log2002(2x3+3x-3); 2x3+x2-x-48=2x3+3x-3;x2-4x-45=0; D=16+4·45=142; x=4 ± 14; x1=9,2x2=-5 – не принадлежит области определения.
Ответ: x=9.2.6.D03. a) log ( x + 3)2 ( x3 − 9 x 2 − 10 x) = log x + 3 x3 − 10 x 2 − x + 22 ;log ( x + 3)2 ( x3 − 9 x 2 − 10 x) = 2 log ( x + 3)2x3 − 10 x 2 − x + 22 ;x3-9x2-10x=x3-10x2-x+22; x2-9x-22=0; D=81+4·22=132; x=9 ± 13; x1=11, x2=-22– не принадлежит области определения. Ответ: x=11.б) log ( x + 6)2 ( x3 + 3x 2 − 4 x) = log x + 6 x3 + 2 x 2 − 7 x + 10 ;log ( x + 6)2 ( x3 + 3x 2 − 4 x) = 2 log ( x + 6)2x3 + 2 x 2 − 7 x + 10 ;x3+3x2-4x=x3+2x2-7x+10; x2+3x-10=0; D=9+4·10=49;x=−3 ± 7; x1=-5 – не принадлежит области определения. x2=2.2Ответ: x=2.⎧ y−2=0⎪lgx−3;⎪log ( x 2 + y 2 + 23) = 2⎩ 62.6.D04. a) ⎨⎧y−2=1⎪;⎨ x−3⎪ x 2 + y 2 + 23 = 36⎩⎧⎪ y = x − 3 + 2; x2+(x-1)2=13; x2+x2-2x+1=13; 2x2-2x-12=0;⎨ 22⎪⎩ x + ( x − 1) + 23 = 36x2-x-6=0; D=1+4·6=25; x=1± 5; x1=3 – не принадлежит области определе2ния, т.к.
x-3 ≠ 0, x2 = –2; y=x-1 ⇒ y=-3. Ответ: x=-2,y=-3.126⎧ y +1=0⎪lg⎧ y +1=1⎪б) ⎨ x − 5⎪log ( x + y + 38) = 3⎩ 4222⎪ x 2 + y 2 + 38 = 64⎩⎧⎪ y = x − 6;22⎪⎩ x + ( x − 6) = 26; ⎨x +x -12x+36=26; 2x -12x+10=0; x2-6x+5=0; D=36-4·5=16;x=2; ⎨x−526±4; x1=5 – не принадлежит области определения, т.к.2x-5 ≠ 0; x2=1; y=x-6 ⇒ y=-5. Ответ: x=1, y=-5.⎧⎪log 2 ( y − x) = 42.6.D05.
a) ⎨xy⎪⎩2 ⋅ 3 = 486⎧⎪ y − x = 4;x4+ x⎪⎩2 ⋅ 3 = 486; ⎨2x·34·3x=486; 81·2x·3x=486; 6x=6 ⇒ x=1; y-x=4 ⇒ y=5.Ответ: x=1, y=5.⎧⎪log 3 ( y − x) = 2б) ⎨xy⎩⎪3 ⋅ 4 = 768⎧⎪ y − x = 3;x(3 + x )= 768⎪⎩3 ⋅ 4; ⎨3x·43·4x=768; 12x=12 ⇒ x=1; y=3+x ⇒ y=4.Ответ: x=1, y=4.2.6.D06. a) log3(2x+89)+log3(x+34)=3+log320;log3(2x+89)(x+34)=log327+log320; log3(2x2+68x+89x+3026)=log3540;−157 ± 69;42x2+157x+2486=0; D=(157)2-4·2·2486=(69)2; x=x1 = –22, x2 = –56,5 — не принадлежит области определения.Ответ: x=–22.б) log5(2x+81)+log5(x+38)=2+log521;log5(2x+81)(x+38)=log525+log521; log5(2x2+76x+81x+3078)=log5525;2x2+157x+2553=0; D=(157)2–2⋅4⋅2553=(65)2; x=−157 ± 65;4x1=–55,5 — не принадлежит области определения, x2=–23. Ответ: x=–23.2.6.D07.
a) log3(5x+1)+log5x+13=log32 (5 x + 1) −log3 31717; log3(5x+1)+;=log3 (5 x + 1) 4417log3 (5 x + 1) + 1 = 0 .4Пусть log3(5x+1)=t, тогда уравнение примет вид: t2D=(17t+1=0;417 22894, 25 ± 3, 75) -4=-4=3,752; t=; t1=0,25; t2=4;41621log3(5x+1)=41; 5x+1= 3 4 ; 5x= 4 3 -1; x= 35−1 ; log3(5x+1)=4; 5x+1=81;43 −1,x2=16.5log 4 41010б) log4(3x+1)+log3x+14= ; log4(3x+1)+;=log 4 (3x + 1) 33155x=80; x=16; 5x+1>0; 5x>-1; x>- . Ответ: x1=412710log4(3x+1)+1=0. Пусть log4(3x+1)=t, тогда уравнение примет310 8±10 2100648 22 10-4==( ) ; t= 3 3 ; t1=3,вид: t - t+1=0; D=( ) -4·1=3399322 1 11t2= · = .
log4(3x+1)=3; 3x=63; x=21. log4(3x+1)= ; 3x+1= 3 4 ;3 2 33log42(3x+1)-34 −14 −1. Ответ: x=21, x=.33xx2.6.D08. a) log 7 (3 − 1) + log 7 (3 − 2) = log 7 (3x + 23) ;3x= 3 4 -1; x=3log 7 (3x − 1)(3x − 2) = log 7 (3x + 23) ; 32x-2·3x-3x+2=3x+23;32x-4·3x-21=0. Пусть 3x=t, тогда уравнение примет вид: t2-4t-21=0;D=16+4·21=102; t=4 ± 10; t1=7,2t2=-3 – не лежит в области определения. Ответ: x=log37.б) log 3 (2 x − 1) + log 3 (2 x − 3) = log 3 (2 x + 69) ;log 3 (2 x − 1)(2 x − 3) = log 3 (2 x + 69) ; 22x-3·2x-2x+3=2x+69;22x-5·2x-66=0. Пусть 2x=t, тогда уравнение примет вид: t2-5t-66=0;D=25+4·66=289; t=5 ± 17; t1=–6 — не подходит,2t2=11, 2x = 11, x = log211. Ответ: x=log211.2= log3 2 ⋅ log32 x + log x 3 ;3log3 x 42142; log x 3 − − log x 3 =;log x 3 − − log x 3 = log3 2 ⋅35log x 353log3 32 52.6.D09. a)2log5x3−121− log x 2 3 − log x 3 − = 0 ; 3logx23+10logx3+3=0; D=100-36=64;5351⎡⎢ log x 3 = 3 ; ⎡ x = 27 ;⎢⎢x=33⎢⎣ log x 3 = 3 ⎣2848 log 2 ⋅ log5 x− log x 5 = 0 ;б) log x 5 + = log5 2 ⋅ log8 x + log x 5 ; log x 5 + − 539log5 83918 11181log x 5 + − ⋅=0|·logx5; log x 2 5 + log x 5 − = 0 ;39 3 log x 5393⎡1⎡ x = 125.⎢x = 135⎣⎢log 5 =3logx25+8logx5-3=0; D = 64 + 36 = 100; ⎢ x3 ; ⎢⎢⎢⎣ log x 5 = −32.6.D10.
a) log8(x+6)2+log8(x+4)2=1282;log3 8log8(x+6)2+log8(x+4)2=2log83; log8(x+6)2+log8(x+4)2=log89;(x+6)2·(x+4)2=9; ((x+6)(x+4))2=32; x2+4x+6x+24=-3 или x2+10x+24=3;x2+10x+27=0; D=100-4·27<0; корней нет;x2+10x+21=0; D=100-4·21=16; x=−10 ± 4; x1=–7, x2=–3.2Ответ: x1=–7, x2=–3.б) log7(x+4)2+log7(x+3)2=2; log7(x+4)2+log7(x+3)2=2log72;log 2 7((x+4)(x+3))2=22; (x+4)(x+3)=2 или (x+4)(x+3)=-2; x2+3x+4x+12-2=0;x2+7x+10=0; D=49-40=9; x=−7 ± 3; x1=-5, x2=-2; x2+3x+4x+12+2=0;2x2+7x+14=0; D=49-4·14<0; решений нет.Ответ: x=-2, x=-5.2.6.D11. a) log 2 (ln x3 − 2) + log 2 (ln x5 − 4) = 0 ;33log 2 ((ln x3 − 2)(ln x5 − 4)) = 0 ; (lnx3-2)(lnx5-4)=1; lnx3=3lnx;3lnx5=5lnx; (3lnx-2)(5lnx-4)=1; 15ln2x-12lnx-10lnx+8-1=0;22 ± 8; lnx=1 ⇒ x1=e;302⎧77⎧⎪ln x3 − 2 > 0 ⎪⎪ln x > 3715⇒ x2= e , но ⎨ 5, ⎨, так что x2 = e15 — не подхоlnx=15⎪⎩ln x − 4 > 0 ⎪ln x > 4⎪⎩515ln2x-22lnx+7=0; D=222-4·15·7=82; lnx=дит.
Ответ: x=e.б) log 3 (ln x3 − 5) + log 3 (ln x5 − 9) = 0 ; log 3 ((3ln x − 5)(5ln x − 9)) = 0 ,4⎧⎧⎪ln x3 − 5 > 0 ⎪⎪ln x >, ⎨⎨ 5⎪⎩ln x − 9 > 0 ⎪ln x >⎪⎩44593, ln x > ; (3lnx-5)(5lnx-9)=1;95515ln2x-27lnx-25lnx+45=1; 15ln2x-52lnx+44=0;D=522-4·15·44=2704-2640=82;lnx=52 ± 822; lnx=2 ⇒ x1=e2; lnx=— не подходит.3015Ответ: x = e2.⎧1⎪ log x y + 2 log y x = 22.6.D12. a) ⎨ 2;⎪5 x − y = 4⎩⎧12⎪ log x y + 2 log x x − 2 log x y = 0;⎨2⎪5 x − y = 4⎩log x x⎧1⎪ 2 log x y + 2 log y = 2;x⎨⎪5 x − y = 4⎩⎧12⎪ log x y − 2 log x y + 2 = 0;⎨2⎪5 x − x = 4⎩129⎧⎪(log x y − 2)2 = 0;⎨⎪⎩5 x − y = 4⎧⎪log x y − 2 = 0;⎨⎪⎩5 x − y = 4-x+5 x =4; x-5 x +4=0.
Пусть⎧⎪ y = x 2;⎨2⎪⎩5 x − x = 4x =t, тогда уравнение примет вид:5±3t -5t+4=0; D=25-4·4=9; t=; t1=4, x=16, y=256;22t2=1, x=1, y=1 — не подходит. Ответ: x=16, y=256.5⎧⎪log x y + log y x =2 ; x > 0, y > 0, x, y ≠ 1⎪3 x − y = 2⎩б) ⎨15⎧⎪log x y + log y = 2;x⎨⎪3 x = 2 + y⎩5⎧ 25⎪log x y − log x y + 1 = 02; logxy = t; t2 – t + 1 = 0; t1 = 0,5, t2 = 2;⎨2⎪9 x = 4 + y + 2 y⎩⎧⎡ y = x⎡ log x y = 0,5 ⎡ y = x ⎪⎪ ⎢; ⎢; ⎨ ⎢⎣ y = x 2;⎢2⎢⎣ y = x⎣ log x y = 2⎪⎪⎩3 x − y = 2⎡ ⎧⎪ y = x⎢⎨⎢ ⎪⎩3 y − y − 2 = 0;⎢⎢ ⎧⎪ y = x 2⎢⎨⎣⎢⎪⎩ x − 3 x + 2 = 0⎡ ⎧⎪ y = x⎢⎨⎢ ⎪⎩ y = 1⎢⎢⎧ y = x2 ;⎢ ⎪⎪⎢⎨⎡ x = 2⎢⎪⎢⎣⎢⎪⎩ ⎣⎢ x = 1⎡ ⎧⎪ y = x⎢⎨⎢ ⎪⎩3 y − y = 2;⎢⎢ ⎧⎪ y = x 2⎢⎨⎢⎪⎣ ⎩3 x − x = 2⎧x = 1⎨⎩y =1.
Ответ: (4, 16).⎧ y = 16⎨⎩x = 4Глава 3. Неравенства и системы неравенств§ 1. Целые алгебраические неравенстваУровень А.3.1.A01. a) (1-4x)2≤2(1-4x);(1 – 4x)(1 – 4x – 2) ≤ 0; (1 – 4x)(–1 – 4x) ≤ 0; (1 – 4x)(1 + 4x) ≥ 0.−1414x141.4431.3Ответ: − ≤ x ≤б) (1-3x)2 ≤ 5(1-3x);(1 – 3x)(1 – 3x – 5) ≤ 0, (1 – 3x)(–4 – 3x) ≤ 0; (1 – 3x)(4 + 3x) ≥ 0;−1304313xОтвет: − ≤ x ≤222⎪⎧ x − x − 20 ≤ 0 ⎧⎪ x − x − 20 ≤ 0 ⎧⎪ x − x − 20 ≤ 0; ⎨; ⎨;⎪⎩ x < 0⎪⎩ x − 4 < −4 − x ⎪⎩2 x < 0⎧−4 ≤ x ≤ 51± 9x2-x-20≤0; x2-x-20=0; D=81l x=; x1=5, x2=-4; ⎨.2⎩x < 03.1.A02. a) ⎨-405⎧⎪ x + 3x − 10 ≤ 0;⎪⎩ x + 1 < 1 − xxОтвет: [ −4;0 ) .⎧⎪ x + 3x − 10 ≤ 0 ⎪⎧ x + 3x − 10 ≤ 0 ⎧−5 ≤ x ≤ 2; ⎨; ⎨;⎨⎪⎩2 x < 0⎪⎩ x < 0⎩x < 0−3 ± 7x2+3x-10=0; D=9+4·10=49; x=; x1=-5, x2=2.2222б) ⎨–502xОтвет: [ −5;0 ) .3.1.A03.⎧ x 2 + 2 x − 35 < 0⎧⎪ x 2 + 2 x − 35 < 0 ⎪; ⎨;⎨1⎪⎩10 x ≤ −2⎪x ≤ −5⎩−2 ± 122x +2x-35=0; D=4+4·35=144; x=; x1=-7, x2=5.2⎧⎪35 − 2 x − x 2 > 0;⎨⎪⎩5 x + 1 ≤ −1 − 5 x–7−515⎧−7 < x < 5⎪;1⎨⎪x ≤ − 5⎩x⎛⎝1⎤Ответ: ⎜ −7; − ⎥ .5⎦⎧ x 2 − 2 x − 24 < 022⎪⎧ 24 + 2 x − x > 0 ⎧⎪ x − 2 x − 24 < 0 ⎪; ⎨; ⎨;б) ⎨1⎪⎩ 2 x + 1 ≤ −1 − 2 x ⎪⎩ 4 x ≤ −2⎪x ≤ −⎩22 ± 102x -2x-24=0; D=4+4·24=100; x=; x1=6, x2=-4.2–4−612⎧ −4 < x < 6⎪;⎨1⎪⎩ x ≤ − 2x⎛⎝1⎤Ответ: ⎜ −4; − ⎥ .2⎦3.1.A04.
a) 3(x-5)(5x+4)<2(x-5)(3x+1);3(x-5)(5x+4)-2(x-5)(3x+1)<0; (x-5)(15x+12-6x-2)<0; (x-5)(9x+10)<0;19-1 <x<5.+-109+x5⎛⎝1⎞⎠Ответ: ⎜ −1 ;5 ⎟ .9131б) 3(2x-3)(7x+4)<4(2x-3)(4x-3); 3(2x-3)(7x+4)-4(2x-3)(4x-3)<0;(2x-3)(21x+12-16x+12)<0; (2x-3)(5x+24)<0.+--+2451x12⎛⎝⎠⎧7 x + 2 ≥ 4 x⎧3x ≥ −2⎪;3.1.A05. a) ⎨ x 2 − 5 x 1 ; ⎨−≤⎩2 x − 2 + 5 x ≤ 1⎪⎩ 244-1⎞4Ответ: ⎜ −4 ;1 ⎟ .5 223372⎧⎪⎪ x ≥ − 3.⎨⎪x ≤ 3⎪⎩7⎡ 2 3⎤⎣⎦Ответ: ⎢ − ; ⎥ .3 7⎧6 x + 3 ≥ −2 x⎧8 x ≥ −3⎪;1 ; ⎨⎪⎩ 2 − 4 ≤ 12 ⎩6 x − 3(5 − 3 x) ≤ 1б) ⎨ x 5 − 3x3⎧⎪x ≥ −;8⎨⎪6 x − 15 + 9 x ≤ 1⎩3⎧⎪x ≥ −8 ;⎨⎪15 x ≤ 16⎩3⎧⎪⎪ x ≥ − 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
