shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а) sin 2 x + sin 2 5 x + sin 2 7 x + sin 2 11x = 2 ;1 − cos 2 x 1 − cos10 x 1 − cos14 x 1 − cos 22 x+++= 2;22224 − cos 2 x − cos10 x − cos14 x − cos 22 x = 4 ;cos 2 x + cos 22 x + cos10 x + cos14 x = 0 ;2 cos12 x cos10 x + 2 cos12 x cos 2 x = 0 ;cos12 x(cos10 x + cos 2 x) = 0 ; cos12 x ⋅ cos 6 x ⋅ cos 4 x = 0 ;ππ πk⎡⎡⎢12 x = 2 + πk , k ∈ Z⎢ x = 24 + 12 , k ∈ Z⎡ cos12 x = 0⎢⎢⎢ cos 6 x = 0 ⇒ ⎢ 6 x = π + πn, n ∈ Z ⇒ ⎢ x = π + πn , k ∈ Z .⎢⎢⎢212 6⎢⎣ cos 4 x = 0⎢⎢π⎢ x = π + πl , l ∈ Z⎢ 4 x = + πl , l ∈ Z⎢⎣⎢⎣28 4б) cos 2 3x + cos 2 4 x + cos 2 9 x + cos 2 10 x = 2 ;cos 6 x + 1 cos8 x + 1 cos18 x + 1 cos 20 x + 1+++=2;2222cos 6 x + cos 20 x + cos8 x + cos18 x = 0 ;cos13 x cos 7 x + cos13x cos 5 x = 0 ; cos13x cos 6 x cos x = 0 ;π πkπ⎡⎡⎢13 x = 2 + πk , k ∈ Z ⎢ x = 26 + 13 , k ∈ Z⎢⎢⎢ 6 x = π + πl , l ∈ Z ; ⎢ x = π + πl , l ∈ Z .⎢⎢12 62⎢⎢π⎢ x = π + πm, m ∈ Z⎢ x = + πm, m ∈ Z22⎣⎢⎣⎢2.4.D06.
а) cos 4 5 x − sin 4 5 x = sin x ; cos 2 5 x − sin 2 5 x = sin x ;cos10 x + 1 1 − cos10 x−= sin x ; cos10 x − sin x = 0 ;22sin x − cos10 x = 0 .Воспользуемся формулами из 2.4.D04.11x11x9x9xπ9x π+ cos)(cos + sin ) = 0 ; sin(11x + )sin( + ) = 0 ;222242 4π 2πk⎡⎡11x π⎢ 2 + 4 = πk , k ∈ Z ⎢ x = − 22 + 11 , k ∈ Z; ⎢.⎢⎢ x = − π + 2πn , n ∈ Z⎢ 9 x + π = πn, n ∈ Z⎢⎣⎢⎣ 2 4189(sinб) sin 4 13x − cos 4 13x = sin x ; (sin 2 13x − cos 2 13x ) = sin x ;− cos 26 x = sin x ; cos 26 x + sin x = 0 ;10627272525x + cos x)(cos x − sin x) = 0 ;222227π25πsin( x + ) cos( x + ) = 0 ;2424π 2πkπ⎡⎡ 27⎢ x = − 54 + 27 , k ∈ Z⎢ 2 x + 4 = πk , k ∈ Z; ⎢.⎢⎢ 25 x + π = π + πn, n ∈ Z ⎢ x = π + 2πn , n ∈ Z⎢⎣⎢⎣ 250 254 2(sin2.4.D07.
а) sin 2 8 x + sin 2 9 x = sin 2 17 x ;1 − cos16 x 1 − cos18 x 1 − cos34 x; 1 − cos16 x − cos18 x + cos 34 x = 0 ;+=2221 − 2cos17 x cos x + 2cos 2 17 x − 1 = 0 ; cos17 x(cos17 x − cos x) = 0 ;⎡⎢x =⎢π⎡⎡ cos17 x = 0⎢17 x = 2 + πk , k ∈ Z ; ⎢ x =;⎢ cos17 x = cos x ⎢⎢⎣⎢⎣17 x = ± x + 2πn, n ∈ Z ⎢⎢x =⎢⎣π πk+ , k∈Z34 17πn;, n∈Z8πn, m∈Z9б) cos 2 4 x + cos 2 9 x = cos 2 13x + 1 ;cos8 x + 1 cos18 x + 1 cos 26 x + 1+=+1 ;222cos8 x + cos18 x − cos 26 x − 1 = 0 ;2cos13x cos5 x − 2cos 2 13x + 1 − 1 = 0 ;cos13x(cos 5 x − cos13x) = 0 ;π πk⎡⎢ x = 26 + 13 , k ∈ Z⎢π⎡πn⎢13x = 2 + πk , k ∈ Z; ⎢⎢ x = , n ∈ Z.⎢9⎢⎣13x = ±5 x + 2πn, n ∈ Z ⎢⎢ x = πl , l ∈ Z⎢⎣4cos9 x − sin 7 x2.4.D08.
а)= 3;sin 9 x − cos 7 x(sin 8 x + cos8 x)(− sin x − cos x)sin x + cos x= 3;=(sin 8 x + cos8 x)(cos x − sin x)sin x − cos x3;⎧⎧⎪sin x + cos x = 3 sin x − 3 cos x⎪sin x + 3 cos x = 3 sin x − cos x⎪⎪π⎪⎪ π⇒ ⎨ x − ≠ πk , k ∈ Z⎨sin( x − ) ≠ 044⎪⎪⎪⎪ππ⎪sin(8 x + ) ≠ 0⎪8 x + ≠ πn, n ∈ Z44⎩⎩107⎧π⎞π⎞⎧π⎞⎛⎛⎛⎛ π⎞⎪2cos ⎜ x − ⎟ = −2cos ⎜ x + ⎟⎪2cos ⎜ x + ⎟ cos ⎜ − ⎟ = 06312⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ 2⎠⎪⎪⎪⎪ππ⇒ ⎨ x ≠ + πk , k ∈ Z⇒ ⎨ x ≠ + πk , k ∈ Z44⎪⎪⎪⎪πn ππn π− , n∈Z− , n∈Z⎪x ≠⎪x ≠8 328 32⎪⎩⎪⎩π π⎧⎪ x + 12 = 2 + πl , l ∈ Z⎪π5π⎪⇒ ⎨ x ≠ + πk , k ∈ Z⇒x=+ πk , k ∈ Z.412⎪⎪πn π− , n∈Z⎪x ≠8 32⎩б)(sin 3x + cos3x )(cos 2 x + sin 2 x)sin x − cos5 x= 3;= 3;(sin 3x + cos3x )(sin 2 x − cos 2 x)cos x − sin 5 x⎧⎧⎪cos 2 x + sin 2 x = 3 sin 2 x − 3 cos 2 x⎪cos 2 x − 3 sin 2 x = − 3 cos 2 x + sin 2 x⎪⎪π⎞π⎪⎪⎪ ⎛⇒ ⎨3x + ≠ πl , l ∈ Z⎨sin ⎜ 3x + ⎟ ≠ 044⎝⎠⎪⎪⎪ ⎛⎪ππ⎞⎪2 x − ≠ πn, n ∈ Z⎪sin ⎜ 2 x − ⎟ ≠ 04⎩4⎠⎪⎩ ⎝⎧π⎞π⎞⎧ ⎛π⎞π⎞⎛⎛⎛⎪2cos ⎜ 2 x + ⎟ = −2cos ⎜ 2 x − ⎟⎪cos ⎜ 2 x + ⎟ + cos ⎜ 2 x − ⎟ = 03636⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎪⎪πl ππl π⎪⎪⇒ ⎨x ≠ − , l ∈ Z⇒ ⎨x ≠ − , l ∈ Z⇒3 123 12⎪⎪⎪⎪π πnπ πn⎪x ≠ + , n ∈ Z⎪x ≠ + , n ∈ Z828 2⎪⎩⎪⎩⎧π⎞⎛⎛π⎞π π⎧⎪2cos ⎜ 2 x + ⎟ cos ⎜ ⎟ = 0⎪2 x + 12 = 2 + πk , k ∈ Z122⎝⎠⎝⎠⎪⎪πl π5π πkπl π⎪⎪⇒ ⎨x ≠ − , l ∈ Z⇒x=, k ∈ Z.+⇒ ⎨x ≠ − , l ∈ Z31224 2312⎪⎪⎪⎪π πnπ πn⎪x ≠ + , n ∈ Z⎪x ≠ + , n ∈ Z8 282⎩⎪⎩2.4.D09.3 − tg 3x cos 7 xа)=;3tg 7 x − 1 cos3x3 cos 3 x − sin 3x = 3 sin 7 x − cos 7 x ;ππππcos(3x + ) = − cos(7 x + ) ; cos(3x + ) + cos(7 x + ) = 0 ;6363108π πk⎡⎢ x = 20 + 5, k, n ∈ Ζ ;⎢⎢ x = 5π + πn⎢⎣24 2kπ⎧⎧sin 3x ≠ 0⎪x ≠ 9 , k ∈ Z⎪3ctg 3x − 1 sin 9 x=б)⇒ ⎨ctg9 x ≠ 3 ⇒ ⎪⎨;3 − ctg 9 x sin 3x⎪sin9x ≠ 0⎪ x ≠ π + πn , n ∈ Z⎩⎪⎩54 9ππ3 cos3x − sin 3x = 3 sin 9 x − cos9 x ; sin( − 3 x) = sin(9 x − ) ;36ππ πn⎡π⎡+⎢ 3 − 3x = 9 x − 6 + 2πn⎢x =; ⎢ 24 6, l, n ∈ Ζ .⎢⎢ π − 3x = π − 9 x + (2l + 1)π ⎢ x = − π + (2l + 1) π⎢⎣⎢⎣ 33666π π⎡⎢5 x + 4 = 2 + πkππcos(5 x + ) cos(2 x + ) = 0 ; ⎢;412⎢ 2 x + π = π + πn⎢⎣12 2πk⎡⎢x = 4 , k ∈ Z⎧4 x = πk , k ∈ Z⎧ tg4 x = 0tg 4 x2.4.D10.
а)⇒ ⎨⇒ ⎢⇒=0; ⎨tg14 x⎢ x ≠ πn , n ∈ Z⎩ tg14 x ≠ 0⎩14 x ≠ πn, n ∈ Z⎢⎣14πkx=, k ≠ 2n, k, n ∈ Z.4π πkπ⎧⎧⎪⎪ x = 6 + 3 , k ∈ Z⎪⎪3x = 2 + πk , k ∈ Z⎧ctg3x = 0ctg 3xб)⇒⎨⇒⎨⇒=0 ⇒ ⎨ctg 24 x⎩ctg24 x ≠ 0⎪24 x ≠ π + πn, n ∈ Z⎪ x ≠ π + πn , n ∈ Z⎪⎩⎪⎩248 24π πk⇒x= +, k ∈ Z.6 3πsin(8x − )6 = 0 . Область определения x − π ≠ π +πk , k ∈ Z.2.4.D11. а)1 π3 3 2cos( x − )3 3ππ πnРешение: 8 x − = πn , x = +, n ∈ Z.48 86πcos(3x + )3 = 0 . Область определения x − π ≠ πk , x ≠ 3π + 9πk .б)x π9 3sin( − )9 3π πnπ πРешение: 3x + = + πn ; x = +, n ∈ Z.3 218 32+ 13cos x = −13sin x ; x ≠ πk — область определения;2.4.D12. а)sin x13132 + 13sin x cos x = −13sin 2 x ; 2 + sin 2 x = − (1 − cos 2 x) ;2210913(sin 2 x − cos 2 x) = −13 − 4 ; 13(cos 2 x − sin 2 x) = 17 ’π17π 17; cos(2 x + ) =;2 cos(2 x + ) =4 13 24 1317arccos()π17π132 + πk , k ∈ Z.2 x + = ± arccos+ 2πk , k ∈ Z; x = − ±82413 24π.
Область определения x ≠ + πk ;б) 49 cos x + 11sin x =cos x2cos 2 x + 1 112) + sin 2 x − 4 = 0 ;49cos x + 11sin x cos x − 4 = 0 ; 49(22491141cos 2 x +sin 2 x = −49 cos 2 x + 11sin 2 x = −41 ;’2522252225224941cos(2 x − arccos)=−;2522252249412 x − arccos) + 2πk , k ∈ Z;= ± arccos(−252225224941arccos)± arccos(−25222522x=+ πk , k ∈ Z.2§ 5. Показательные уравненияУровень А.2.5.A01.а) 53 x =б) 23 x =135; 53 x =;53 x = 51−1353141; 23 x =21124;23 x = 2−111⇒ 3x = − ⇒ x = − .
Отв: x = − .39914⇒ 3x = −111⇒ x = − . Отв: x = − .412122.5.A02.2211; 3x + 3 x −1 = 3 ;3x + 3 x −1 = 3−3 ⇒ x 2 + 3x − 1 = −3 ;273−3 ± 1x 2 + 3x + 2 = 0 ; D = 9 − 4 ⋅ 2 = 1 ; x =; x1 = –2; x2 = –1.2а) 3x2+ 3 x −1=Ответ: x1 = –2, x2 = –1.21; 4 x −8 x +12 = 4−3 ⇒ x 2 − 8 x + 12 = −3 ;648± 2x 2 − 8 x + 15 = 0 ; D = 64 − 4 ⋅15 = 4 ; x =; x1 = 5, x2 = 3 .
Отв: x1 = 5, x2 = 3.2б) 4 x2− 8 x +12=2.5.A03.x −3 y= 16⎪⎧2;⎪⎩2 x + y = 5а) ⎨110x −3 y= 24⎪⎧2;⎨⎪⎩2 x + y = 5⎪⎧ x − 3 y = 4 ⋅2 ⎧2 x − 6 y = 8; ⎨.⎨⎪⎩2 x + y = 5⎩2 x + y = 5Вычтем 2 уравнение системы из первого, тогда⎧−7 y = 3;⎨⎩x = 4 + 3y3⎧⎪⎪ y = − 7193. Ответ: x = , y = − .⎨77⎪ x = 19⎪⎩7x −3 y=8⎪⎧64;12+=2xy⎪⎩б) ⎨2 x −6 y=8⎪⎧8;⎨12+=2xy⎪⎩⎧2 x − 6 y = 1;⎨⎩12 x + y = 2⎧2 x − 6(2 − 12 x) = 1 ⎧2 x − 12 + 72 x − 1 = 0; ⎨;⎨⎩ y = 2 − 12 x⎩ y = 2 − 12 x13⎧⎧74 x = 13⎪x =; ⎨;74⎨⎩ y = 2 − 12 x ⎪ y = 2 − 12 x⎩131313⎧⎧⎧13x=⎧⎪⎪ x = 74⎪⎪ x = 74134⎪x =⎪⎪74; ⎨; ⎨; ⎨; Ответ: x = , y = − .74⎨787847437⎪ y = 2 − 12 ⎪ y = 2 −⎪y = 2−⎪y = −⎩⎪⎩37 ⎪⎩37 ⎪⎩372.5.A04.а) 42 x − 3 ⋅ 4 x − 4 = 0 .Пусть 4 x = t , тогда уравнение имеет вид: t 2 − 3t − 4 = 0 ;3±5; t1 = 4, t2 = −1 ; 4 x = 4 ⇒ x = 1 ;24 x = −1 ⇒ решений нет.
Ответ: x = 1 .D = 9 + 4 ⋅ 4 = 25 ; t =б) 22 x − 14 ⋅ 2 x − 32 = 0 . Пусть 2 x = t , тогда уравнение имеет вид:14 ± 18; t1 = −2 ; t2 = 16 ;22 x = −2 ⇒ решений нет; 2 x = 16 ⇒ x = 4 . Ответ: x = 4.t 2 − 14t − 32 = 0 ; D = 142 + 4 ⋅ 32 = 182 ; t =2.5.A05.⎧⎛ 1 ⎞ 5 x − y= 25⎪⎜ ⎟⎪а) ⎨⎝ 5 ⎠;⎪ 2x− y 1=⎪⎩232⎧⎪5 y − 5 x = 52⎧ y − 5x = 2⎧ y = 2 + 5x; ⎨; ⎨;⎨ 2x− y= 2−5 ⎩2 x − y = −5 ⎩2 x − (2 + 5 x) = −5⎪⎩2⎧ y = 2 + 5x⎧ y = 2 + 5x ⎧ y = 2 + 5 ⎧ y = 7; ⎨; ⎨; ⎨. Ответ: x = 1, y = 7.⎨⎩2 x − 2 − 5 x + 5 = 0 ⎩−3x = −3 ⎩ x = 1⎩x = 1⎧⎛ 1 ⎞ 2 x − y= 27 ⎧⎪3 y − 2 x = 33 ⎧ y − 2 x = 3⎪⎜ ⎟б) ⎪⎨⎝ 3 ⎠; ⎨ 3x − y;⎨;= 5−2 ⎩3x − y = −2⎪⎩5⎪ 3x − y 1=⎪⎩525⎧ y = 3 + 2x⎧ y = 3 + 2x ⎧ y = 5.
Ответ: x = 1, y = 5.; ⎨; ⎨⎨⎩3 x − 3 − 2 x = −2 ⎩ x = 1⎩x = 12.5.A06. а) 44 x −17 = 64 ; 4 x − 17 = 3 ; 4 x = 20 ; x = 5 . Ответ: x = 5б) 52 x −8 = 25 ; 52 x −8 = 52 ; 2 x − 8 = 2 ; 2 x = 10 ; x = 5 . Ответ: x = 5111Уровень В.2.5.B01. а) 25 x − 4 = 16 x + 3 ; 5 x − 4 = 4 x + 12 ; x = 16 .
Ответ: x = 16б) 35 x + 2 = 81x −1 ; 35 x + 2 = 34 x − 4 ; 5 x + 2 = 4 x − 4 ; x = −6 . Ответ: x = −6.222.5.B02. а) 2000 x − 9 = 1999 x − 9 ; x 2 − 9 = 0 ; x = ±3 ; Ответ: x = ±322б) 2003x − 36 = 2004 x − 36 ; x 2 − 36 = 0 ; x = ±6. ; Ответ: x = ±6.11361Ответ: x = −1 .42.5.B03. а) ( ) x+1 = 6 ; 6−2 x −2 = 62 ; −2x − 2 =111; −2x = 2 ; x = −1 .22451 x −1) = 4 2 ; 2−6 x + 6 = 32 ; 2−6 x + 6 = 25 ; 2−6 x + 6 = 2 2 ;645777−6 x = − 6 ; −6 x = − ; x = .
Ответ: x = .221212212.5.B04. а) 4 x −8 x +12 =; x 2 − 8 x + 12 = −3 ; x 2 − 8 x + 15 = 0 ; x1 = 3, x2 = 564(по т. Виета) Ответ: x1 = 3, x2 = 5.б) (1; x 2 + 3x − 2 = −4 ; x 2 + 3x + 2 = 0 ; x1 = −2, x2 = −1 .81Ответ: x1 = −2, x2 = −1.б) 3x2+3x −2=2.5.B05. а) 3 ⋅ 2 x + 3 − 2 x + 4 = 4 ; 3 ⋅ 2 x ⋅ 23 − 2 x ⋅ 24 = 4 ; 24 ⋅ 2 x − 16 ⋅ 2 x = 4 ; 8 ⋅ 2 x = 4 ;23 ⋅ 2 x = 4 ; 2 x + 3 = 2 2 ; x + 3 = 2 ; x = − 1 .Ответ: x = −1 .б) 3x +1 + 2 ⋅ 3x + 2 = 21 ; 3x ⋅ 3 + 2 ⋅ 3x ⋅ 32 = 21 ; 3 ⋅ 3x + 18 ⋅ 3x = 21 ; 21 ⋅ 3x = 21 ; 3x = 1 ;x = 0 . Ответ: x = 0 .2.5.B06.
а) 24 x + 3 − 3 ⋅ 24 x −1 − 5 ⋅ 24 x +1 = −56 .Пусть 4 x − 1 = t , тогда уравнение примет вид:2t + 4 − 3 ⋅ 2t − 5 ⋅ 2t + 2 = −56 ; 2t ⋅ 24 − 3 ⋅ 2t − 5 ⋅ 2t ⋅ 4 = −56 ;16 ⋅ 2t − 3 ⋅ 2t − 20 ⋅ 2t = −56 ; −7 ⋅ 2t = −56 ; 2t = 23 ;4 x − 1 = 3 ⇒ 4 x = 4 ⇒ x = 1 . Ответ: x = 1.б) 42 x +1 + 3 ⋅ 42 x −1 − 5 ⋅ 42 x = −64 .Пусть 2 x − 1 = t , тогда уравнение примет вид:4t +1 + 3 ⋅ 4t − 5 ⋅ 4t +1 = −64 ; 16 ⋅ 4t + 3 ⋅ 4t − 20 ⋅ 4t = −64 ; −4t = −64 ;4t = 64 ; t = 3 ; 2 x − 1 = 3 ⇒ 2 x = 4 ⇒ x = 2 . Ответ: x = 2.2.5.B07. а) 3x2−3 x= 27 xD = 9 + 4 ⋅ 2 ⋅ 9 = 81 ; x =2+5x2+322−3; x 2 − 3x = 3x 2 − 9 ; −2 x 2 − 3x + 9 = 0 ; 2 x 2 + 3x − 9 = 0 ;−3 ± 933; x1 = −3 , x2 = .
Ответ: x1 = −3, x2 = .2−42+5x2+ 3)2+5x2+6; x2 + 5x = 2 x2 + 6 ;− x 2 + 5 x − 6 = 0 ; x 2 − 5 x + 6 = 0 ; x1 = 2, x2 = 3. Ответ: x1 = 2, x2 = 3.б) 4 x= 16 x; 4x= 42( x2.5.B08. а) 32 x − 2 ⋅ 3x − 3 = 0 .112; 4x= 42 xПусть 3x = t , тогда уравнение примет вид: t 2 − 2t − 3 = 0 ;t = 3, t = −1 ; 3x = 3 ⇒ x = 1;3x = −1 не имеет решений. Ответ: x = 1.б) 22 x − 3 ⋅ 2 x − 4 = 0 Пусть 2 x = t , тогда уравнение примет вид: t 2 − 3t − 4 = 0 ;t = 4, t = −1 ; 2 x = 4 ⇒ x = 2 ; 2 x = −1 - решений нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
