shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

а) ⎨⎧24 x = 24⎧12 x = 24⎧18 x + 6 | x |= 24⎧x = 1⎪⎪⇒ ⎨x ≥ 0или ⎨ x < 0, значит, ⎨;⎨x=y⎩⎩y =1⎪y = x⎪y = x⎩⎩⎧⎪2 x − 6 xy + 7 y = 9 ⎧⎪4 x − 12 xy + 14 y = 18; ⎨;⎪⎩ x − 4 xy + 5 y = 6⎪⎩−3x + 12 xy − 15 y = −18б) ⎨⎧⎪4 x − 12 xy + 14 y = 18;⎨⎪⎩ x = y89⎧6 x = 18⎧30 x = 18⎧18 x − 12 | x |= 18 ⎪⎧x = 3⎪; ⎨ x = y или ⎨ x = y, значит, ⎨.⎨x=y⎩⎩y = 3⎪x ≥ 0⎪x < 0⎩⎩⎧x > 0⎧x > 0⎪y > 0⎧⎪ x 2 + 5 x − 6 = y ⎪ y > 0⎪⎪2.3.D07. а) ⎨; ⎨ 2;⎨ 222 ;2x+x−=y56⎪ y + 5 y − 6 + (5 x − 6) = y⎩⎪ y + 5 y − 6 = x ⎪⎪ y 2 + 5 y − 6 = x2 ⎪ x2 + 5x − 6 = y 2⎩⎩⎧x > 0294 ⎧6⎧⎪y > 049 x =x=⎪⎪⎪⎪⎪⎪55; ⎨; ⎨;12⎨⎪49 y = 294 ⎪ y = 6⎪x + y = 5⎪⎪⎩⎪⎩55⎪⎩37 x − 12 y = 30⎧x ≥ 0⎧x ≥ 0⎪y ≥ 0⎪y ≥ 0⎪⎪⎪; ⎨ x2 − y2 + 4x − 7 = 0 ;⎨ 22x4x7y+−=⎪⎪⎪( x 2 + 4 x − 7) + 4 y − 7 = x 2 ⎪ x + y = 14⎩⎪⎩4143014(x–y)(x+y)+4x–7= (x–y)+4x–7=x– y–7=0;444308 ⎧7⎧14⎧⎪⎪ x = 4⎪⎪44 x = 4⎪x + y =; ⎨; ⎨.4⎨⎪⎩30 x − 14 y = 28 ⎪44 y = 308 ⎪ y = 7⎪⎩⎪⎩44⎧ x2 + 4 x − 7 = y⎪б) ⎨;⎪⎩ y 2 + 4 y − 7 = x⎧⎪| x − 3 |= 3 y + 22.3.D08.

а) ⎨⎩⎪| y + 2 |= 3 x − 3⎧( x − 3) = 3 y + 2⎪; ⎨⎪⎩( y + 2) = 3 3 y + 2⎧y = 7⎧y + 2 = 0⎧ y + 2 = 9 ⎧ y = −2или ⎨; ⎨или ⎨;⎨⎩x − 3 = 0⎩x − 3 = 9 ⎩x = 3⎩ x = 12⎧( x − 1) = 5 y − 2⎪⎧⎪| x − 1 |= 5 y − 2б) ⎨⎩⎪| y − 2 |= 5 x − 1; ⎨3 x 2 + 35 x − 11 − 4 x + 15x + 1 − x − 12⎪⎧ 3x + 35 x − 11 = 4 x − 1;⎨⎪⎩ 5 x + 1 ≠ x + 1904⎪⎩( y + 2) = 729( y + 2)⎧⎪( x − 1) = 5 y − 2; ⎨⎪⎩( y − 2) = 5 5 y − 2⎧y − 2 = 0⎧ y − 2 = 25 ⎧ y = −2или ⎨; ⎨или⎨⎩x −1 = 0⎩( x − 1) = 25 ⎩ x = 32.3.D09. а)⎧⎪( x − 3) = 3 y + 2; ⎨46⎪⎩( y − 2) = 5 ( y − 2)⎧ y = 27.⎨⎩ x = 26= 0;⎧3x 2 + 35 x − 11 = 16 x 2 − 8 x + 1⎪⎨4 x − 1 ≥ 0, 5 x + 1 ≥ 0, x + 1 ≥ 0 ;⎪2⎩5 x + 1 ≠ ( x + 1);;⎧13x 2 − 43x + 12 = 0⎪1⎪;⎨x ≥4⎪⎪5 x + 1 ≠ ( x + 1) 2⎩4⎧⎪ x = 3 и x = 13⎪14⎪; x= ;⎨x ≥413⎪⎪5 x + 1 ≠ ( x + 1)2⎪⎩2⎪⎧ 4 x + 40 x − 11 = 3x + 2=0; ⎨;11x + 9 − x − 3⎪⎩ 11x + 9 ≠ x + 323⎧⎧⎧3x + 2 ≥ 0, x + 3 ≥ 0, 11x + 9 ≥ 0 ⎪ x ≥ −⎪x = 5 и x = 533⎪ 22; ⎪⎪ 2; ⎪; x= .⎨4 x + 40 x − 11 = 9 x + 12 x + 425 x − 28 x + 15 = 0 ⎪5⎨⎪x≥−2⎨⎪2⎩11x + 9 ≠ ( x + 3)3⎪⎪11x + 9 ≠ ( x + 3)⎪x+≠ ( x + 3)2119⎪⎩⎪⎩⎧⎪ x + 4 y = 282.3.D10.

а) ⎨; x–y+4( y + x )=0; ( x + y )( x − y + 4) = 0⎪⎩ y − 4 x = 284 x 2 + 40 x − 11 − 3x − 2б)⎧⎪ x = − y⎧⎪ x = y − 4или ⎨;⎨⎪⎩ y = 28 + 4 x⎪⎩ y = 28 + 4 x − 16⎧⎪ x = y − 4⎧x = y = 0или ⎨;⎨2⎩0 = 28 + 0⎪⎩( y ) − 4 y − 12 = 0⎧⎪ x + 3 y = 37б) ⎨⎪⎩ y − 3 x = 37⎧⎪ y = 6 ⎧ x = 4; ⎨;⎨⎪⎩ x = 2 ⎩ y = 36; (x–y)+3( x + y )=0; ( x + y )( x − y + 3) = 0⎧⎪ x = y − 3⎧⎪ x = − y⎪⎧ x = y − 3 ⎧ x = y = 0или ⎨; ⎨или ⎨;⎨⎪⎩ y = 37 + 3 x⎪⎩ y = 37 + 3 x ⎩0 = 37 + 0⎪⎩ y = 37 + 3 y − 9⎧⎪ x = y − 3⎨2⎪⎩( y ) − 3 y − 28 = 0⎧⎪ y = 7 ⎧ y = 49; ⎨.⎨⎪⎩ x = 4 ⎩ x = 16⎧ x + 5 y + x 2 − 25 y 2 − 36 = 6⎪22⎪⎧ x − 25 y − 36 = 0или222⎪x + 5y = 6⎩⎪( x − 36) x − 25 y − 36 = 0 ⎩2.3.D11.

а) ⎨; ⎨⎧ x 2 − 36 = 0⎪⎪⎧6( x − 5 y ) − 36 = 0⎧x = 6 ⎧x = 6; ⎨или ⎨; ⎨;⎨y = 0⎩y = 0 ⎩y = 0⎩x + 5y = 6⎪22⎪⎩ x + 5 y + x − 25 y − 36 = 6⎧ x − 2 y + x 2 − 4 y 2 − 49 = −7⎪б) ⎨222⎩⎪( x − 49) x − 4 y − 49 = 0⎧⎪ x 2 − 4 y 2 − 49 = 0или⎪⎩ x − 2 y = −7; ⎨91⎧ x 2 − 49 = 0⎪⎧−7( x + 2 y ) − 36 = 0⎧ x = −7 ⎧ x = −7; ⎨или ⎨; ⎨.⎨y = 0−2=−7xy⎩y = 0⎩y = 0⎪ x − 2 = −7 ⎩⎩⎧⎪3x + 4 y + 4 3x + 4 y = 52.3.D12. а) ⎨⎪⎩ x + 5 + y + 3 = 4⎧⎪ 3x + 4 y = 1;⎨⎪⎩ x + 5 + y + 3 = 42⎪⎧( 3 x + 4 y ) + 4( 3x + 4 y ) − 5 = 0; ⎨⎪⎩ x + 5 + y + 3 = 4;⎧⎪3x + 4 y = 1⎧⎪3( x + 5) + 4( y + 3) = 28;⎨;⎨⎪⎩ x + 5 + y + 3 = 4 ⎪⎩ x + 5 + y + 3 = 4⎧ x+5 = 4− y+3⎪⎪⎧ x + 5 = 4 − y + 3или;⎨⎨10⎪⎩ y + 3 = 2⎪ y+3 =7⎩1879⎧x+5 =⎪⎪ x = 497 ⎧ x = −1; ⎨или ⎨;10 ⎩ y = 1⎪ y = − 47y +3 =⎪⎩749⎧ x+5 = 4− y+3⎪;⎨2⎪⎩7 y + 3 − 24 y + 3 + 20 = 0()⎧⎪⎪⎧⎪ x + 5 = 2или ⎨⎨⎪⎩ y + 3 = 2⎪⎪⎩⎪⎧3x + 2 y + 7 3x + 2 y = 8б) ⎨⎪⎩ x + 1 + y + 2 = 2⎧⎪ 3x + 2 y = 1;⎨⎪⎩ x + 1 + y + 2 = 22⎪⎧( 3 x + 2 y ) + 7( 3x + 2 y ) − 8 = 0; ⎨⎪⎩ x + 1 + y + 2 = 2;⎧⎪3x + 2 y = 1⎧⎪3( x + 1) + 2( y + 2) = 8;⎨;⎨⎪⎩ x + 1 + y + 2 = 2 ⎪⎩ x + 1 + y + 2 = 2⎧ x +1 = 2 − y + 2⎧⎪ x + 1 = 2 − y + 2⎪или⎨⎨2⎪⎩ y + 2 = 2⎪ y+2 =5⎩839⎧x +1 =⎪⎪ x = 255 ⎧ x = −1; ⎨или ⎨.2 ⎩y = 2⎪ y = − 46y+2 =⎪⎩525⎧⎪ x + 1 = 2 − y + 2;⎨⎪⎩5 y + 2 − 12 y + 2 + 4 = 0⎧⎪⎪⎧⎪ x + 1 = 0или ⎨⎨⎪⎩ y + 2 = 2⎪⎪⎩§ 4.

Тригонометрические уравненияУровень А.2.4.А01. а) (2cos x+1)(3sin x–4)=01⎡⎢ cos x = − 2 ⎡ x = π ± π + 2πk , k ∈ Zπ; т.е. x = π ± + 2πk , k ∈ Z ;,⎢⎢33⎢sin x = 4 ⎢ нет решений, т.к. | sin x |≤ 1⎢⎣⎢⎣3б) (2sin x+1)(4cos x+5)=01⎡⎢sin x = − 2 ⎡ x = 3π ± π + 2πk , k ∈ Z3π π,⎢; т.е. x = ± + 2πk , k ∈ Z⎢2 3⎢52 3⎢нет решений, т.к. | cos x |≤ 1⎢⎣ cos x = − 4 ⎢⎣922.4.А02. а) 4sin2x–12sin x+5=052t=sin x, 4t2–12t+5=0, t1 = , t2 =x=11; т.к. |t|≤1, то sin x = ,22π π± + 2πk , k ∈ Z ;2 31232б) 4cos2x+4cos x–3=0; t=cos x, 4t2+4t–3=0, t1 = , t2 = − ; т.к. |t|≤1, тоcos x =1π, x = ± + 2πk , k ∈ Z .232.4.А03.

а) 2sin2x=2cos2x+ 3 , 2(cos2x–sin2x)=– 3 ,3πππ, 2 x = ± + 2πk + π, x = ± + πk + , k ∈ Z ;26122cos 2 x = −б)2 cos 2 x = 2 sin 2 x + 1 ,2 ( cos 2 x − sin 2 x ) = 1 ,ππ+ 2πk , x = ± + πk , k ∈ Z .481112.4.А04. а) cos x sin(− x) =, − sin 2 x =22 22 213π π3π πsin 2 x = −, 2x =± + 2πk , k ∈ Z , x =± + πk , k ∈ Z ;4 82 421cos 2 x =2, 2x = ±3 13, sin 2 x = −,4243π π33π πsin 2 x = −, 2x =± + 2πk , k ∈ Z .± + 2πk , k ∈ Z , x =4 622 3б) sin x cos(− x) = −2.4.А05.()а) tg 2 x = 3tg(− x) , tg x tg x + 3 = 0⎡ x = πk , k ∈ Z⎡ tg x = 0,⎢;π⎢⎢⎣ tg x = − 3 ⎢ x = − 3 + πm, m ∈ Z⎣б)⎡ tg x = 0 ⎡ x = πk , k ∈ Z3tg 2 (− x) = tg x , tg x( 3tg x − 1) = 0 . ⎢.,⎢⎢ tg x = 1 ⎢ x = π + πm, m ∈ Z⎢⎢⎣3 ⎣62.4.A06.

а) tg2x+3tg x+2=0, tg x=t, t2+3t+2=0, t1=–1, t2=–2⎡ tg x = −1πx = − + πk , k ∈ Z;4⎢⎣ x = − arctg(2) + πm, m ∈ Z⎡,⎢т.е. ⎢⎣ tg x = −2 ⎢б) tg2x–3tg x–4=0, tg x=t, t2–3t–4=0, t1=–1, t2=4π⎡⎡ tg x = −1 ⎢ x = − + πk , k ∈ Z.4⎢ tg x = 4 ⇒ ⎢⎣⎢⎣ x = arctg 4 + πm, m ∈ Z9394Уровень В.2.4.B01. а) 3sin2x–5sin xcos x+2cos2x=0,3sin2x–3sin xcos x–2sin xcos x+2cos2x=0,3sin x(sin x–cos x)–2cos x(sin x–cos x)=0,(3sin x–2cos x)(sin x–cos x)=0,2⎡2 ⎢ x = arctg + πk , k ∈ Z⎡⎡3 sin x = 2 cos x ⎢ tg x =3;,3, ⎢⎢⎢π⎢⎣sin x = cos x⎢⎣ tg x = 1 ⎢ x = + πm, m ∈ Z⎣4б) 2sin2x–5sin xcos x–7cos2x=0, т.к. cos x=0, то поделим на него и получим:2tg2x–5tg x–7=0, tg x=t, 2t2–5t–7=02t2+2t–7t–7=0, 2t(t+1)–7(t+1)=0, (2t–7)(t+1)=07⎡7 ⎢ x = arctg + πk , k ∈ Z⎡⎡ 2t − 7 = 0 ⎢ tg x =2.2 ,⎢⎢t + 1 = 0 , ⎢π⎢⎣⎢⎣ tg x = −1 ⎢ x = − + πm, m ∈ Z⎣4⎧cos 4 x = −1cos 4 x + 1⎪,=0, ⎨ ⎛2.4.B02. а)π⎞π⎞⎛⎪sin ⎜ x + 4 ⎟ ≠ 0sin ⎜ x + ⎟⎝⎠⎩4⎠⎝π πk⎧⎧4 x = π + 2πk , k ∈ Z ⎪ x = + , k ∈ Z⎪⎪4 2,⎨⎨π⎪⎩ x + 4 ≠ πl , l ∈ Z⎪ x ≠ − π + πl , l ∈ Z⎪⎩4πтогда x = + πk , k ∈ Z4⎧sin 4 x − 1 = 0sin 4 x − 1⎪=0, ⎨ ⎛б),π⎞π⎞⎛⎪cos ⎜ x − 8 ⎟ ≠ 0cos ⎜ x − ⎟⎝⎠⎩8⎠⎝π πkπ⎧⎧⎪⎪4 x = 2 + 2πk , k ∈ Z ⎪⎪ x = 8 + 2 , k ∈ Zπ,⎨; тогда x = + πk , k ∈ Z .⎨ππππ8⎪ x − ≠ + πl , l ∈ Z ⎪ x ≠ + + πl , l ∈ Z⎪⎩8 2⎩⎪ 8 22.4.B03.

а) 3tg2x–5tg x+2=0,3tg2x–3tg x–2tg x+2=0, 3tg x(tg x–1)–2(tg x–1)=0(3tg x–2)(tg x–1)=02⎡2 ⎢ x = arctg + πk , k ∈ Z⎡⎡3tg x − 2 = 0 ⎢ tg x =33, ⎢⎢ tg x − 1 = 0 , ⎢π⎢⎣⎢⎣ tg x = 1 ⎢ x = + πl , l ∈ Z⎣43πт.е. наибольший отрицательный корень − ;495б) 2tg2x–3tg x+1=0, 2tg2x–2tg x–tg x+1=02tg x(tg x–1)–(tg x–1)=0, (2tg x–1)(tg x–1)=01⎡1 ⎢ x = arctg + πk , k ∈ Z⎡⎡ 2 tg x − 1 = 0 ⎢ tg x =22, ⎢⎢ tg x − 1 = 0 , ⎢π⎣⎢⎣ tg x = 1 ⎢⎢ x = + πl , l ∈ Z⎣4тогда наибольший отрицательный корень равен −3π.42.4.B04. а) 2(cos3x–sin3x)=1,5(cos x–sin x)2(cos x–sin x)(cos2x+cos xsin x+sin2x)=1,5(cos x–sin x)⎛⎝1⎞(cos x–sin x)(2+sin 2x–1,5)=0, (cos x–sin x) ⎜ sin 2 x + ⎟ =02⎠π⎡⎡ cos x − sin x = 0 ⎡ tg x = 1⎢ x = 4 + πk , k ∈ Z⎢.,⎢,⎢11⎢sin 2 x + = 0 ⎢sin 2 x = − ⎢3π π± + 2πm, m ∈ Z⎣⎢2⎣⎢2 ⎢2 x =2 3⎣π⎡⎢ x = 4 + πk , k ∈ Zт.е.

⎢;⎢ 2 x = 3π ± π + πm, m ∈ Z⎢⎣4 6б) 2(cos3x+sin3x)=2,5(cos x+sin x)2(cos x+sin x)(cos2x–sin xcos x+sin2x)=2,5(cos x+sin x)(cos x+sin x)(2–sin 2x–2,5)=0⎡ cos x + sin x = 0 ⎡ tg x = −1⎢,⎢⎢ x = 3π ± π + πk , k ∈ Z⎢sin 2 x = − 1⎢⎣⎢⎣4 62π⎡⎢ x = − 4 + πm, m ∈ Z.⎢⎢ x = 3π ± π + πk , k ∈ Z⎢⎣4 62.4.B05. а) tg πx = tg ( πx + π ) −1 < x < 5 ;2 3πx π2⎧⎧⎪πx = 2 + 3 + πk ⎪ x = 3 + 2k⎪⎪11221⎪⎪; ⎨ x ≠ + k , k, l ∈ Ζ ; −1 < + 2k < 5 ; −1 < 2k < 4 .⎨x ≠ + k33322⎪⎪⎪x 1⎪1⎪ + ≠l⎪x ≠ − + l3⎩2 3⎩22222Значит, k = 0; 1; 2; x = ; x = + 2 = 2 ; x = + 4 = 4 .33333πx πб) tg πx = tg ( − ) ; 3 < x < 6 ;6 3962 6k⎧⎪x = − 5 + 5⎪2 6k2 6k21⎪<6 ;; 3< − +<6; 3 <⎨x ≠ + l555552⎪⎪ x ≠ 5 + 6m⎪⎩17 6k 321732123<<<k<; 17 < 6k < 32 ;, т.е. k = 3, 4, 5 ; x = 3 ; 4 ; 5 .55566555π2.4.B06.

а) 3tg (πx − ) = 1 ; −2 < x < 1 ;7π π13⎧⎧⎪⎪πx − 7 = 6 + πk ⎪⎪ x = 42 + kππ; ⎨;tg (πx − ) = tg ( + πk ) ; ⎨76⎪πx − π ≠ π + πk ⎪ x ≠ 9 + k⎪⎩⎪⎩7 214131329, т.е. k = −2, −1, 0 ;−2 <+ k < 1 ; −2<k<4242421371132913− 2 = − ; k = −1 ; x =−1 = −k = −2 ; x =; k =0; x=.4242424242πππб) 3tg (πx − ) = −3 ; −1 < x < 2 ; tg (πx − ) = tg (− + πk ) ;5332πππx − = − + πk ; x = − + k , k ∈ Z;531521328k = 0; x = − ;k = 1; x = ;k = 2; x =.151515x 1⎧⎪x = 6 − 3 + k⎪1⎪;⎨x ≠ + l2⎪⎪x 1 1⎪ − ≠ +m⎩6 3 2π⎛π⎞22.4.B07. а) 2 cos(2πx − ) + 2 = 0 ; 2 < x < 4 ; cos ⎜ 2πx − ⎟ = −;3⎠23⎝13⎡⎢ x = 24 + n, n ∈ Z3ππ2πx − = ± + 2πk , k ∈ Z; ⎢.34⎢x = − 5 + k, k ∈ Z⎢⎣2461 85 67 91Условию 2 < x < 4 удовлетворяют только x =;;;;24 24 24 24π⎞ 1π⎛б) 2 cos(2πx − ) − 1 = 0 ; −1 < x < 1 ; cos ⎜ 2πx − ⎟ = ;4⎠ 24⎝7⎧+ n, n ∈ Zx=ππ⎪⎪242πx − = ± + 2πk , k ∈ Z; ⎨.43⎪x = − 1 + k, k ∈ Z⎪⎩24Условию –1 < x < 1 удовлетворяют только x = −1717 23; − ;;.2424 24 242.4.B08.

Характеристики

Список файлов книги