shestakov-all-gdz-2004 (546287), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

а) (2sin x+1)(tg x–3)=0971⎡⎢sin x = − 2 , очевидно, наименьший положительный корень будет при tg⎢⎢⎣ tg x = 31x=3, в I–ой четверти, корни sin x = − лежат в III и IV четверти.2Итак, x=arctg 3;б) (2cos x+1)(tg x–4)=0аналогично решения уравнения 2cos x+1=0 лежат во II и III четверти, а tgx=4 – в I и III четверти.

Наименьший положителньый корень лежит в I–ойчетверти: является решением tg x=4.Итак, x=arctg 4.2.4.B09. а) (cos x–sin x)2((cos x–sin x)2–1)=0⎡ cos x = sin x ⎢⎡ x =⎢ cos x = 0⎢⎢⎢⎢⎣sin x = 0⎢⎣ x =π+ πk4πn2Ответ:πn π, + πk ;2 4б) (sin x+cos x)2((sin x+cos x)2–1)=0π⎡sin x = − cos x ⎡⎢ x = − + πk4⎢sin x = 0⎢⎢πn⎢⎣⎢ cos x = 0⎢⎣ x = 2Ответ:πn π, − + πk .242.4.B10. а) 5–10sin2x–6sin x–1=0 5sin2x+3sin x–2=02⎡⎢sin x = 5⎢⎢⎣sin x = −1Ответ: (−1)n arcsin + πn, − + 2πk ;1⎡⎢ cos x = − 3⎢⎢⎣ cos x = −1Ответ: ± arcsin ⎜ − ⎟ + 2πn, π + 2πk .325π2б) 6cos2x+8cos x+2=0 3cos2x+4cos x+1=0(3cos x+1)(cos x+1)=0⎛ 1⎞⎝⎠⎛⎝π⎞⎛⎠⎝3π⎡⎡⎢ x + 4 = πn⎢ x = 4 π + πn⎢⎢⎢ 4 x + π = π + πk ⎢ x = πk⎢⎣⎢⎣2 24π⎞π⎞⎛⎛б) sin ⎜ x + ⎟ cos ⎜ 3x − ⎟ = 06⎠4⎠⎝⎝π⎞2.4.B11.

а) sin ⎜ x + ⎟ cos ⎜ 4 x + ⎟ = 042π⎡⎢ x + 6 = πn⎢⎢3x − π = π + πk⎢⎣4 298⎡⎢x =⎢⎢x =⎣⎢5π+ πn6π πk+4 3⎠Ответ:π;4Ответ:π.42.4.B12. а) 4cos4x=12–13cos2x 4cos4x+13cos2x–12=0−13 ± 169 + 192−13 + 361 3cos2x≥0 ⇒ cos 2 x ==884π33cos x = ±x = ± arccos+ πnОтвет: ± + πn ;226cos 2 x =б) 4sin4x+11sin2x–3=04sin4x+12sin2x–sin2x–3=0(4sin2x–1)(sin2x+3)=0sin x = ±12π6Ответ: ± + πn .Уровень C.2.4.C01.

а) cos 4 13x − sin 4 13x = cos 7 x ;(cos 2 13 x − sin 2 13x)(cos 2 13x + sin 2 13x ) = cos 7 x ;cos 26 x = cos 7 x⎡ 26 x = 7 x + 2πk , k ∈ Z⎡19 x = 2πk , k ∈ Z⎢ 26 x = −7 x + 2πn, n ∈ Z ; ⇒ ⎢33x = 2πn, n ∈ Z ; ⇒⎣⎣б) cos 4 14 x − sin 4 14 x = cos9 x ; cos 28 x = cos9 x ;⎡⎢x =⎢⎢x =⎣⎢⎡⎢x =⎡ 28 x = 9 x + 2πk , k ∈ Z⎡19 x = 2πk , k ∈ Z⇒>⎢ 28 x = −9 x + 2πn, n ∈ Z⎢37 x = 2πn, k ∈ Z ⎢⎢⎣⎣⎢⎣ x =2.4.C02 а) sin 4 9 x − cos 4 9 x = cos11x ;sin 2 9 x − cos 2 9 x = cos11x ; − cos18 x = cos11x ;2πk, k∈Z19;2πn, n∈Z332πk, k∈Z19.2πn, n∈Z372πk + π⎡, k∈Z⎢x =⎡18 x = 11x + π(2k + 1), k ∈ Z7cos18 x = cos(π + 11x) ⇒ ⎢⇒ ⎢.⎣18 x = −11x + π(24 − 1), n ∈ Z⎢ x = 2πn − π , n ∈ Z⎢⎣29б) sin 4 12 x − cos 4 12 x = cos9 x ; – cos 24 x = cos9 x ; cos 24 x = cos(π + 9 x) ⇒2πk + π⎡⎢ x = 15 , k ∈ Z⎡ 24 x = π + 9 x + 2πk , k ∈ Z⇒ ⎢.⇒ ⎢⎣ −24 x = −9 x + π(2n − 1), n ∈ Z⎢ x = 2πn − π , n ∈ Z⎢⎣33ππ2.4.C03.

а) sin(3 x − ) = cos( x − ) ;89⎛π ⎛π ⎞⎞π⎞⎛cos ⎜ − ⎜ 3x − ⎟ ⎟ = cos ⎜ x − ⎟ ⇒8 ⎠⎠9⎠⎝⎝2 ⎝π⎡ 5π⎢ 8 − 3 x = x − 9 + 2πk , k ∈ Z⇒⎢⎢ 5π − 3 x = − x + π + 2πn, n ∈ Z⎢⎣ 8953π πk⎡⎢ x = 288 + 2 , k ∈ Z⇒ ⎢;⎢ x = 37π − πn, n ∈ Z⎢⎣144992π6ππ2π6π) = cos(3x + ) ; cos( − x + ) = cos(3x + ) ⇒35235π πk6π⎡ 7π⎡⎢ − x = 3x + 5 + 2πk , k ∈ Z⎢ x = − 120 + 2 + 2πk , k ∈ Z⇒ ⎢.⇒ ⎢6⎢ 7π − x = −3x − 6π + 2πn, n ∈ Z⎢ x = 71π + πn, n ∈ Z⎢⎣ 6⎢⎣605б) sin( x −(2.4.C04.

а) 2 sin x + 3)− cos x = 0⎡⎧3⎡2⎢ ⎪sin x = −⎢ x = − 3 π + 2πn⎨2⎢⎢⎢ ⎪⎩cos x ≤ 0⎢ x = π + πk⎢⎢⎣2cosx=0⎢⎣(б) 2 cos x − 3⎡⎧3⎢ ⎪cos x =2⎢⎨⎢ ⎪⎩sin x ≤ 0⎢⎢⎣sin x = 0)23Ответ: − π + 2πn,π+ πk ;2− sin x = 0π⎡⎢ x = − 6 + 2πn⎢⎣⎢ x = πkπ6Ответ: − + 2πn, πk .2.4.C05.а)⎧22 cos x − 1π⎪cos x ==0 ⎨2 x = − + 2πntg x − 14⎪ tg x ≠ 1⎩б)⎧22 sin x + 13⎪sin x = −=0 ⎨2 x = − π + 2πntg x + 14⎪ tg x ≠ −1⎩π4Ответ: − + 2πn ;34Ответ: − π + 2πn .2.4.C06.π4π⎡⎢sin( 4 − x) = 0;⎢⎢ cos( x − π ) = 0⎢⎣6π6π⎡⎡⎢ 4 − x = πk , k ∈ Z⎢x =; ⎢⎢⎢ x − π = π + πm, m ∈ Z ⎢ x =⎢⎣⎢⎣6 2а) tg ( − x)ctg ( x − ) = 0 ;π+ πk , k ∈ Z4⇒2π+ πm, m ∈ Z3π⇒ наибольший отрицательный корень xн = − .3π⎡π⎡⎢ x = 6 − πk , k ∈ Z⎢ 6 − x = πk , k ∈ Zππ; ⎢⇒б) tg ( − x)ctg ( x − ) = 0 ; ⎢64⎢ x − π = π + πl , l ∈ Z ⎢ x = 3π + πl , l ∈ Z⎢⎣⎢⎣4 24π⇒ наибольший отрицательный корень xн = − .4100⎛⎝π⎞⎛⎝π⎞2.4.C07.

а) 2 cos 2 ⎜ x − ⎟ − cos ⎜ x − ⎟ − 1 = 044⎠⎠⎛π ⎞ ⎞⎛π⎞ ⎞⎛⎛⎜ cos ⎜ x − ⎟ − 1⎟⎜ 2 cos ⎜ x − ⎟ + 1⎟ = 044⎠ ⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎡ ⎛π⎞π⎡⎢ cos ⎜ x − ⎟ = 1 ⎢ x − = 2πn4⎝⎠4⎢⎢⎢ ⎛πππ⎞1⎢⎢ cos ⎜ x − ⎟ = − ⎢ x − = π ± + 2πk43⎣42⎠⎣ ⎝π5π πОтвет: + 2πn ,± + 2πk ;44 3π⎞π⎞⎛⎛б) 2 sin 2 ⎜ x − ⎟ + 3 sin ⎜ x − ⎟ + 1 = 03⎠3⎠⎝⎝⎡⎢x =⎢⎢x =⎢⎣π+ 2πn45π π± + 2πk4 3⎛π ⎞ ⎞⎛ ⎛π⎞ ⎞⎛⎜ 2 sin ⎜ x − ⎟ + 1⎟⎜ sin ⎜ x − ⎟ + 1⎟ = 03 ⎠ ⎠⎝ ⎝3⎠ ⎠⎝⎝⎡ ⎛π⎞1⎢sin ⎜ x − ⎟ = −32⎝⎠⎢⎢ ⎛π⎞⎢sin ⎜ x − ⎟ = −13⎠⎣ ⎝⎡⎢x =⎢⎢⎢⎣ x =⎛π⎝6ππ+ (−1)n+1 + πn36π π− + 2πk3 2⎞⎠⎛π⎝6Ответ:πππ+ (−1) n+1 + πn; − + 2πk .366⎞⎠2.4.C08.

а) 6 sin 2 ⎜ − 2 x ⎟ + sin ⎜ − 2 x ⎟ − 2 = 0⎛π⎞⎛π⎞⎛π⎞6 sin 2 ⎜ − 2 x ⎟ + 4 sin ⎜ − 2 x ⎟ − 3 sin ⎜ − 2 x ⎟ − 2 = 066⎝⎠⎝⎠⎝6⎠⎛⎛π⎞ ⎞⎛⎛π⎞ ⎞⎜ 3 sin ⎜ − 2 x ⎟ + 2 ⎟⎜ 2 sin ⎜ − 2 x ⎟ − 1⎟ = 066⎝⎠⎝⎠ ⎠⎝⎠⎝⎡ ⎛π2 ⎡π⎞2n +1⎢sin ⎜ − 2 x ⎟ = − ⎢ − 2 x = (−1) arcsin + πn63⎝⎠63⎢⎢⎢ ⎛π⎞ 1 ⎢ π − 2 x = (−1)k π + πk⎢sin ⎜ − 2 x ⎟ =⎢6⎠ 2 ⎣6⎣ ⎝6π 12 πn ππ πkОтвет:;+ (−1) n arcsin + ; − (−1)k +12 23 2 1212 2π⎞π⎞⎛⎛б) 10 cos 2 ⎜ 2 x − ⎟ + 3 cos ⎜ 2 x − ⎟ − 1 = 04⎠4⎠⎝⎝π⎞π⎞π⎞⎛⎛⎛10 cos 2 ⎜ 2 x − ⎟ + 5 cos ⎜ 2 x − ⎟ − cos ⎜ 2 x − ⎟ − 1 = 04⎠4⎠4⎠⎝⎝⎝⎛π ⎞ ⎞⎛π⎞ ⎞⎛⎛⎜ 2 cos ⎜ 2 x − ⎟ + 1⎟⎜ 5 cos ⎜ 2 x − ⎟ − 1⎟ = 04 ⎠ ⎠⎝4⎠ ⎠⎝⎝⎝1011⎡ ⎛π⎞⎢ cos ⎜ 2 x − ⎟ = −42⎠⎢ ⎝⎢ ⎛π⎞ 1⎢ cos ⎜ 2 x − ⎟ =4⎠ 5⎣ ⎝Ответ:2ππ⎡⎢ 2 x − 4 = ± 3 + 2πn⎢⎢ 2 x − π = ± arccos 1 + 2πk⎢⎣45π ππ 11± + πn; ± arccos + πk .8 38 252.4.C09.а) 4 sin 2 x cos 4 x =⎧2 sin 4 x cos 4 x = 11⇔⎨⇔cos 2 x⎩cos 2 x ≠ 0π πnπ⎧⎧x= +8 x = + 2πn⎧sin 8 x = 1⎪⎪⎪⎪16 42⇔ ⎨⇔⎨⇔⎨⎩cos 2 x ≠ 0⎪2 x ≠ π + πk⎪ x ≠ π + πk⎪⎩⎩⎪24 2б) 4 cos 3x cos 6 x =Ответ:⎧sin 12 x = 11⇔⎨⇔sin 3x⎩sin 3x ≠ 0⎧πx=⎧⎪12 x = + 2πn⎪⎪⇔ ⎨⇔⎨2⎪⎩3x ≠ πk⎪x ≠⎪⎩π πn+24 6πk3Ответ:π πn+.24 62.4.C10.31cos x − sin x = cos 4 x22πππ⎞⎛⇔ cos cos x − sin sin x = cos 4 x ⇔ cos ⎜ x + ⎟ = cos 4 x666⎠⎝ππ3x −5x +6 sin6 =0⇔ 2 sin22π⎡⎢ 3x − 6ππ 2⎡⎡= 0 ⎢3x − = 2πn ⎢ x = + πn⎢sin618 32⎢⎢⎢⎢π⎢5 x + π = 2πk ⎢ x = − π + 2 πk⎢ 5x + 6⎢630 5⎣⎢=0⎣⎢sin2⎣π 2π 2+ πn; − + πk ;Ответ:18 330 5ππб) sin x − cos x = 2 sin 5 x sin x cos − cos x sin = sin 5 x44ππ4x +6x −π⎞⎛4 cos4 =0sin ⎜ x − ⎟ = sin 5 x 2 sin4⎠22⎝а)1023 cos x − sin x = 2 cos 4 x ⇔π πn+;16 4π⎡⎢ 4 x + 4 = 2πn⎢⎢ 6 x − π = π + 2πk⎢⎣4Ответ: −π πn 5π πk+ ;+.16 2 24 32.4.C11.

а) ( x 2 − 7 x + 10 ) cos x = 0π⎡⎡ cos x = 0⎢ x = 2 + πn⎢ 2⎢⎢ ⎪⎧ x − 7 x + 10 = 0 ⎢ ⎧ x = 2, x = 5 .⎢ ⎨⎪cos x ≥ 0⎢ ⎨cos x ≥ 0⎣⎩⎣⎩Ответ: 5,π+ πn ;2б) ( x 2 − 6 x + 8 ) sin x = 0⎡sin x = 0⎡ x = πn⎢ 2⎢⎧−+=xx680⎪⎢⎢ ⎧ x = 2, x = 4⎨⎢ ⎪sin x ≥ 0⎢ ⎨⎩sin x ≥ 0⎣⎣⎩Ответ: 2, πn.⎧sin x = 1⎩cos 4 x = 12.4.C12. а) sin x+2cos 4x=3 ⇔ ⎨⎧πx=⎧⎪ x = + 2πn ⎪⎪2⎨⎨⎪⎩4 x = 2πk ⎪ x =⎩⎪б) cos x + 3 sinπ+ 2πn2πk2Ответ:π+ 2πn ;2⎧cos x = 1x⎪=4⇔⎨ x⇔4⎪⎩sin 4 = 1⎧ x = 2πn⎧ x = 2πn⎪⇔⎨π2=+πk⎩ x = 2π + 8πk⎪⎩ 4 2⇔ ⎨xОтвет: 2π + 8πk .Уровень D.2.4.D01.

а) cos 6πx sin 9πx = cos πx sin14πx ; x ∈ [3, 4] ;sin 9πx cos 6πx = sin14πx cos πx ;11[sin15 xπ + sin 3πx] = [sin15πx + sin13πx] ;22⎡3πx = 13πx + 2πk , k ∈ Zsin 3πx = sin13πx ; ⎢⎣3πx = π − 13πx + 2πn, n ∈ Zk⎡⎢x = − 5 , k ∈ Z⇒ ⎢, значит,2n + 1⎢⎢⎣ x = 16 , n ∈ Zчисло решений уравнения, принадлежащих отрезку [3; 4], равно 14.б) cos 4πx sin 8πx = cos πx sin11πx , x ∈ [ −2, −1] ;10311[sin12πx + sin 4πx ] = [sin12πx + sin10πx] ; sin 4πx = sin10πx ;22k⎡⎢x = − 3 , k ∈ Z⎡ 4πx = 10πx + 2πk , k ∈ Z.⎢ 4πx = π − 10πx + 2πn, n ∈ Z ⇒ ⎢⎢ x = 2n + 1 , n ∈ Z⎣⎢⎣14Отрезку [ −2, −1] принадлежат 11 корней уравнения.2.4.D02.3xxsin − 3 = −2 cos 2 x ; 4[cos x − cos 2 x] − 3 = −2 cos 2 x ;222 cos 2 x − 4 cos x + 3 = 0 ; 4 cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 ;1ππcos x = ; x = ± + 2πk ; xнаим = ;3233xxб) 8cos cos − 3 = 6 cos 2 x ; 4[cos 2 x + cos x] − 3 − 6 cos 2 x = 0 ;222 cos 2 x − 4 cos x + 3 = 0 ; 4 cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 ;πАналогично с а) xнаим = .3а) 8sin2.4.D03.7 π πxπ 2πx− ) = tg ( +);45457 π πxπ 2πx7π πxπ 2πxπxcos( − ) cos( +) = sin( − )sin( +) ; cos(2π + ) = 0 ;454545455151πx π2π += + πk , k ∈ Z ; x = − + 5k = −7 + 5k , k ∈ Z;225 27 π πx35⎡ 7π πx⎡⎡⎢sin( 4 − 5 ) ≠ 0 ⎢ 4 − 5 ≠ πl , l ∈ Z⎢ x ≠ 4 + 5l , l ∈ Z⎢; ⎢; ⎢.⎢ cos( π + 2πx ) ≠ 0 ⎢ π + 2πx ≠ π + πm, m ∈ Z ⎢ x ≠ 5 + 5 m, m ∈ Z⎢⎣ 4⎢⎣⎢⎣45524 2а) ctg (Решения не противоречат.12Первый положительный корень x1 = 2 =55475; x48 = + 47 ⋅ 5 =;2225 475+x1 + x482 ⋅ 48 = 480 ⋅ 48 = 480 ⋅12 = 5760 .S 48 =⋅ 48 = 22243π 3πx2π πxб) ctg ( +) = tg ( − ) ;54523π 3πx2π πx3π 3πx2π πxcos( +) cos( − ) = sin( +)sin( − ) ;54525452x1πxπx πcos(π + ) = 0 ; π += + πk , k ∈ Z; = − + k , k ∈ Z; x = −2 + 4k , k ∈ Z;4244 21043π 3πx⎡⎡ 3π 3πx⎢sin( 5 + 4 ) ≠ 0 ⎢ 5 + 4 ≠ πl , l ∈ Z; ⎢;⎢⎢cos( 2π − πx ) ≠ 0 ⎢ 2π − πx ≠ π + πm, m ∈ Z⎢⎣⎢⎣ 5522 23x34 4⎡⎡⎢ 4 ≠ l − 5, l ∈Z⎢ x ≠ 5 + 3 l, l ∈ Z⎢; ⎢.⎢ x ≠ − 1 + 2m, m ∈ Z ⎢ x ≠ − 1 + 2m, m ∈ Z⎢⎣⎢⎣55Область, где решения не существуют, не пересекается с решением.x1 = 2 ; x50 = 2 + 4 ⋅ 49 = 198 ;S50 =x1 + x502 + 198⋅ 50 =⋅ 50 = 5000 .222.4.D04.а) 35cox 4 x + 12 cos 2 x = 35sin 2 x + 12sin 4 x ;35(cos 4 x − sin 2 x) = 12(sin 4 x − cos 2 x) ;35(1 − sin 2 x − 2sin 2 2 x ) = 12(2sin 2 x cos 2 x − cos 2 x) ;−35(2sin 2 x − 1)(sin 2 x + 1) = 12cos 2 x(2sin 2 x − 1) ;(12 cos 2 x + 35sin 2 x + 35)(2 sin 2 x − 1) = 0 ;123535(2sin 2 x − 1)(cos 2 x +sin 2 x + ) = 0 ;2237136912 + 351π π2sin 2 x − 1 = 0 ; sin 2 x = ; 2 x = ± + 2πk , k ∈ Z;22 3π πx = ± + πk , k ∈ Ζ - І-серия решений.4 61235351235; arcsin + 2 x = (−1) n arcsin(− ) + πn ;cos 2 x + sin 2 x = −37373737373512(−1) n arcsin(− ) + πn − arcsin3737 , n ∈ Z — II серия решений.x=2б) 9 cos 3x + 40 cos 4 x = 9sin 4 x − 40sin 3x ;9(− cos3 x + sin 4 x) = 40(sin 3x + cos 4 x) .Воспользуемся формуламиα +βα +βα −βα −β+ cos+ sin)(cos);2222α +βα +βα −βα −β+ cos− sinsin α − cos β = (sin)(cos).22227x7xxx7x7xxxПолучим 9(sin + cos )(cos − sin ) = 40(sin + cos )(cos − sin ) ;222222227x⎡ 7xπ 7x⎡⎢sin 2 + cos 2 = 0 ⎢sin( 4 + 2 ) = 0; ⎢;⎢⎢ cos x − sin x = 0⎢sin( π − x ) = 0⎢⎣⎢⎣224 2sin α + cos β = (sin105π 2πk⎡⎡ π 7x⎢ 4 + 2 = πk , k ∈ Z ⎢ x = − 14 + 7 , k ∈ Z; ⎢.⎢⎢ x = π + 2πn, n ∈ Z⎢ π − x = πn, n ∈ Z⎢⎣⎢⎣ 4 222.4.D05.

Характеристики

Список файлов книги