alimov-10-gdz (546276), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

1) ( x + 7) ⋅ 3 = 2 x + 14; 3x + 21 = 2x + 14; x + 7 = 0; x = −7.2) x 2 +1x2 − 4= 4+1x2 − 43X2; x − 4 = 0 , но решения этого уравнения обра-щают знаменатели дробей исходного уравнения в 0, значит решений нет.3) x − 2 = 1 − 2x , умножая обе части данного уравнения на x 2 − 1 мы22x −1x −1можем прибрести новые корни, значит, необходимо выполнить проверку.x − 2 = 1 − 2 x; 3x = 3; x = 1 , но при x = 1 знаменатель дробей в исходном уравнении обращается в 0, значит корней нет.44www.5balls.ru4)5x − 152−= 0;( x − 3)( x + 2) x + 25x − 152=;( x − 3)( x + 2) x + 25x − 15 − 2 x + 6 = 0;3x = 9; x = 3, но при x = 3 знаменатель дробей в исходном уравнениипревращается в 0, значит корней нет.139. 1) 3x − 7 = 5x + 5 равносильно уравнению 2x + 12 = 0 , т.к. каждоеиз них имеет единственный корень x = −6 .12) (2x − 1); 2x − 1 = 5; 2x = 6; x = 3 ;53x − 1= 1; 3x − 1 = 8;83x = 9; x = 3 , значит, данные уравнения равно-сильны.3) x 2 − 3x + 2 = 0; D = 9 − 8 = 1; x = 3 + 1 = 2 или x = 1 .2−3 + 1x + 3x + 2 = 0; D = 9 − 8 = 1; x == −1 или x = −2 , значит, данные22уравнения не равносильны.4) (x − 5)2 = 3(x − 5); x 2 − 10x + 25 = 3x − 15; x 2 − 13x + 40 = 0;D = 169 − 160 = 9; x = 13 + 3 = 8 или x = 5 .2x − 5 = 3; x = 8 , значит, данные уравнения не равносильны.5) x 2 − 1 = 0; x 2 = 1; x = 1 или x = −1 ;2 x −1 = 0 — не имеет действительных корней, значит, данные уравненияне равносильны.6) x − 2 = −3 — не имеет действительных корней,3x = (−1)3 — не имеет действительных корней, значит, данные уравнения равносильны.140.

1) 2 x − 1 ≥ 2; 2 x ≥ 3; x ≥ 1,5 .2( x − 1) ≥ 1; x − 1 ≥ 0,5; x ≥ 1,5 , значит, данные неравенства равно-сильны.2) ( x − 1)( x + 2) < 0 . Решая это неравенство методом интерваловполучаем:+–+−2 < x < 1–21x 2 + x < 2;x 2 + x − 2 < 0;x 2 + x − 2 = 0;решим уравнениеD = 1 + 8 = 9; x =−1 + 3= 1 или x = −2 . Ветви этой параболы направ2лены вверх, значит, x 2 + x − 2 < 0 при −2 < x < 1 , значит, данные неравенства равносильны.45www.5balls.ru3) ( x − 2)( x + 1) < 3x + 3 ; x 2 + x − 2x − 2 − 3x − 3 < 0 ; x 2 − 4x − 5 < 0 ;решим уравнение x 2 − 4x − 5 = 0 , x =4+6= 5 или x = −1 , ветви этой2параболы направлены вверх, значит, x 2 − 4x − 5 < 0 при −1 < x < 5 .x − 2 < 3 ; x < 5 , значит, данные неравенства не равносильны.4) x ( x + 3) ≥ 2x ; x 2 + 3x − 2x ≥ 0 ; x ( x + 1) ≥ 0 ;x ≥ 0 и x ≤ −1 ;x 2 ( x + 3) ≥ 2 x 2 ; x 2 ( x + 3 − 2) ≥ 0 x 2 ( x + 1) ≥ 0 , т.к. x 2 ≥ 0 ,то x + 1 ≥ 0 ; x ≥ −1 , значит, данные неравенства не равносильны.141.

1) x − 3 = 0; x = 3 ;x 2 − 5x + 6 = 0 , корни этого уравнения x = 3 и x = 2 . Значит, второеуравнение является следствием первого.2 2( x − 2)(x − 1) = 02) x − 3x + 2 = 0; x − 3x + 2 = 0; . Значит, это уравнениеx −1x − 1 ≠ 0x − 1 ≠ 0имеет единственный корень х = 2, а уравнение х2 – 3х + 2 = 0 имеет два корняx = 1 и x = 2 , значит второе уравнение является следствием первого.142. 1)x ( x − 1) + 2x ( x + 1)4xx2x4x;+== 2 ;2x + 1 x −1 x2 −1x −1x −1x 2 − x + 2x 2 + 2x − 4x3x 2 − 3x3x3x ( x − 1)= 0; x = 0 ;= 0;= 0;x +1( x − 1)( x + 1)x −1x2 −12) x − 1 − 2 = 1 ; x − 1 − 1 − 2 = 0; x − 2 − 2 = 0; 1 − 2 = 0; x − 2 = 0;xx−2 x x−2x−2xx−2 xx2= 0;x = 2;3) ( x − 3)( x − 5) = 3( x − 5); ( x − 3)( x − 5) − 3( x − 5) = 0;( x − 3 − 3)( x − 5) = 0; ( x − 6)( x − 5) = 0; x = 6 или x = 5 ;4) ( x − 2)( x 2 + 1) = 2( x 2 + 1); ( x − 2)( x 2 + 1) − 2( x 2 + 1) = 0;( x − 2 − 2)( x 2 + 1) = 0; ( x − 4)( x 2 + 1) = 0; x = 4 , т.к.

x 2 + 1 = 0 не имеетдействительных корней.143. 1)x+32+x−3x 2 + x − 32+x22< 0;< 3;x + 3 − 3(2 + x 2 )2+x3x 2 − x + 32 + x22< 0;x + 3 − 6 − 3x 22 + x2< 0;> 0; т.к. 2 + x 2 > 0 , найдем где 3x 2 − x + 3 > 0решим 3x 2 − x + 3 = 0; D = 1 − 36 = 35 < 0 , т.к. ветви этой параболы направлены вверх, то она не пересекает ось абсцисс, и 3x 2 − x + 3 > 0 при x ∈ R .x−2x −2−5+ x2x − 72)> 1;> 0;> 0;5−x5−x5−x46www.5balls.ru 2x − 7 > 05 − x > 0или 2x − 7 < 05 − x < 0 x > 3,5x < 5или x < 3,5Эта система не имеет решений.x > 5Значит 3,5 < x < 5 .144. 1) 2x − 1 = 3; 2x − 1 = 3 или 2x − 1 = −3 ;x = 2 или x = −1 ;2x − 1 = 3; x = 2 , значит, эти уравнения не равносильны.2) 3x − 2 − 4 − x − 3x − 5 = 2x − 2; 6x − 4 − 12 + 3x − 3x + 5 − 12x + 12 = 0;32661 − 6x11011= 0; x = ; 2x + 3 = ; 2x = ; x = .66336Значит данные уравнения равносильны.3145.

1) 2 x − 1 = 4 − 1,5x; 3,5x = 5; x = 1 ;733,5x − 5 = 0; 3,5x = 5; x = 1 , значит, данные уравнения равносильны.72) x ( x − 1) = 2 x + 5; x 2 − x − 2 x − 5 = 0; x 2 − 3x − 5 = 0 . Поскольку в ходе этих преобразований мы данное уравнение не умножали и не делили напеременную, то мы не потеряли и не приобрели корней, значит, данныеуравнения равносильны.3) 23x +1 = 2−3 ; 3x + 1 = −3 , значит, данные уравнения равносильны.x + 2 = 3;4)( x + 2) 2 = (3)2 ;x + 2 = 9;x = 7 , делаем проверку7 + 2 = 9 = 3 , значит, данные уравнения равносильны.146. 1) x = 5 ; x = 5 или x = − 5 ;x 2 = 5; x 2 = 25; x = 5 или − 5 , все корни различны, значит,ни одно из данных уравнений не является следствием другого.( x − 2)( x + 2) = ( x − 3)( x + 3);x + 2 ≠ 02) x − 2 = x − 3 ; x + 3 ≠ 0x+2x+3x 2 − 4 = x 2 − 9.x + 3 ≠ 0x + 2 ≠ 0Эта система не имеет действительных решений.( x − 2)( x + 2) = ( x − 3)( x + 3) , это уравнение не имеет действительных решений, значит, каждое из данных уравнений является следствием другого.147.125x3x 23x − 1 − 2(3x + 1) − 5x3x 2−= 0;;−−=23x + 1 3x − 1 9x 2 − 1 1 − 9x 29x − 11 − 9x 2− 2 x − 1 − 6x − 2 + 3x 229x − 1= 0;3x 2 − 8x − 39x 2 − 1=0;47www.5balls.ru3x 2 − 8x − 3 = 0 ; x = 3 или x = − 1 , но при x = − 1 знаменатель исходной33дроби обращается в 0, значит x = 3 .148.

1)34x − 1 x 2 + 53( x + 1) − (4x − 1)(x − 1) − ( x 2 + 5) + 5( x 2 − 1)−=− 5;= 0;2x −1 x + 4x2 −1x −13x + 3 − 4x 2 + 4 x + x − 1 − x 2 − 5 + 5x 2 − 5x2 −18x − 8= 0;x2 −1= 0; 8x = 8;x = 1 , но приx = 1 знаменатель обращается в 0, значит, действительных корней нет.222) x + 2 − x ( x − 4) = x − 2 − 4(3 + x ) ; ( x + 2) − x ( x − 4) − ( x − 2) − 4(3 + x ) = 0;222x−2x+2x −422x −44−x2x + 4x + 4 − x + 4 x − x + 4x − 4 − 12 − 4x2x −42= 0;− x + 8x − 122x −4= 0;x 2 − 8x + 12x2 −4=0;x 2 − 8x + 12 = 0; x = 6 или x = 2 , но при x = 2 знаменатель обращается в 0, значит x = 6 .149. 1) x 3 − 3x 2 + 2x − 6 > 2 x 3 − x 2 + 4x − 2 ;x 3 − 3x 2 + 2 x − 6 − 2x 3 + x 2 − 4 x + 2 > 0 ;x 3 + 2x 2 + 2x + 4 < 0 ;− x 3 − 2x 2 − 2x − 4 > 0 ;x 2 ( x + 2) + 2( x + 2) < 0 ;( x 2 + 2)( x + 2) < 0 .Т.к.

x 2 + 2 > 0 для любого действительного х, значит, x + 2 < 0 x < −2 .2) x 3 − 3x 2 − 4 x + 12 > −3x 3 + x 2 + 12x − 4 ;x 3 − 3x 2 − 4 x + 12 + 3x 3 − x 2 − 12x + 4 > 0 ; 4 x 3 − 4 x 2 − 16 x + 16 > 0 ;2 x 3 − 2 x 2 − 8x + 8 > 0 ;x 3 − x 2 − 4 x + 4 > 0 ; x 2 (x − 1) − 4(x − 1) > 0 ;( x 2 − 4)( x − 1) > 0 ;––2+( x − 2)( x + 2)( x − 1) > 0 .–+12хРешая это неравенство методом интервалов получаем: −2 < x < 1 и x > 2 .150. 1) ( x − 3) x2−x −2x= 1; ( x − 3)2−x −2x − 3 ≠ 0x 2 − x − 2 = 0= ( x − 3)0 ; ;x ≠ 3x − 3 = 1x1 = 2или x 2 = −1 или x 3 = 4 .2) ( x 2 − x − 1) xx 2 − 1 = 02x − x − 1 = 1 ; 2x − x −1 ≠ 02−1x 2= 1; ( x − x − 1)2x 2 − x − 1 ≠ 0( x − 1)( x + 1) = 0( x − 2)( x + 1) = 1 . 2x − x − 1 ≠ 0−1= ( x 2 − x − 1)0 ;Итак, x1 = 1; x 2 = −1 или x 3 = 2 .48www.5balls.ru3) ( x + 3) x2−4= ( x + 3)−3x ;x + 3 = 1;x + 3 = 0 2x43x−=−4) ( x + 3) x2−3x − 3 = 2 xx + 3 = 0 ;x + 3 = 12 x1 = −2. x 2 = −3 2 x + 3x − 4 = 0Итак, x 1 = −4, x 2 = −3, x 3 = −2, x 4 = 1.= (x + 3)2 x ;x 2 − 2x − 3 = 0.

Итак, x1 = −3 , x 2 = −2 , x 3 = −1 , x 4 = 3 . x1 = −3 x = −2 2x = 2; ( x )2 = 22 ; x = 4 ; 2)151. 1)x = 7; ( x )2 = 7 2 ; x = 49 ;3)3x = 2; ( 3 x )3 = 23 ; x = 8 ;x = −3; ( 3 x )3 = −33 ; x = −27 ;15) 3 1 − 3x = 0; ( 3 1 − 3x )3 = 03 ; 1 − 3x = 0; x = ;36)4x = 1; ( 4 x )4 = 14 ; x = 1 ;7)42 − x = 0; ( 4 2 − x )4 = 04 ; 2 − x = 0; x = 2 .4)3x + 1 = 3; ( x + 1) 2 = 32 ; x + 1 = 9; x = 8 ;152. 1)2)x − 2 = 5; ( x − 2)2 = 52 ; x − 2 = 25; x = 27 ;3)4 + x = 2 x − 1; ( 4 + x ) 2 = ( 2x − 1) 2 ; 4 + x = 2 x − 1; x = 5 .153. 1)32x + 3 = 1; ( 3 2x + 3)3 = 13 ; 2 x + 3 = 1; x = −1 ;2) 3 1 − x = 2; ( 3 1 − x )3 = 23 ; 1 − x = 8; x = −7 ;3)333x 2 − 3 = 3 8x ; ( 3x 2 − 3)3 = ( 3 8 x )3 ; 3x 2 − 3 = 8x;3x 2 − 3 − 8x = 0; x 1 = 3; x 2 = − 1 .3154.

1) x + 1 = 1 − x ;2( x + 1)= ( 1 − x )2 ; x 2 + 2x + 1 = 1 − x ;x 2 + 3x = 0; x ( x + 3) = 0; x1 = 0 , x 2 = −3 ;Проверка показывает, что x 2 = −3 — посторонний корень, значит, х=0.2) x = 1 + x + 11;( x − 1)2 = (x + 11)2 ; x 2 − 2 x + 1 = x + 11 ;x 2 − 3x − 10 = 0; x1 = 5, x 2 = −2 ;Проверка показывает, что x 2 = −3 — посторонний корень, значит, х=5.3)x + 3 = 5 − x ; ( x + 3)2 = ( 5 − x )2 ; x + 3 = 5 − x; 2 x = 2; x = 1 ;4) x2 − x − 3 = 3; ( x2 − x − 3)2 = 32; x2 − x − 3 = 9; x 2 − x − 12 = 0; x1 = 4; x2 = −3 ;155. 1)x − x = −12;2x = x − 12; ( x ) 2 = ( x − 12 ) ; x = x 2 − 24x + 144;49www.5balls.rux 2 − 25x + 144 = 0; x1 = 16, x 2 = 9 .Проверка показывает, что x 2 = 9 — посторонний корень, значит, х=16.2) x + x = 2( x − 1);x = 2 x − 2 − x;2x = x − 2; ( x )2 = ( x − 2 ) ;x 2 − 5x + 4 = 0; x1 = 4 , x 2 = 1 .Проверка показывает, что x 2 = 1 — посторонний корень, значит, x = 4 .3)x − 1 = x − 3; x − 1 = x 2 − 6x + 9; x 2 − 7 x + 10 = 0; x1 = 5 , x 2 = 2 ;Проверка показывает, что x 2 = 2 — посторонний корень, значит, х=5.4)6 + x − x 2 = (1 − x ); ( 6 + x − x 2 ) 2 = (1 − x) 2 ;6 + x − x 2 = x 2 − 2 x + 1; 2 x 2 − 3x − 5 = 0; x 1 = 2,5 , x 2 = −1 .Проверка показывает, что x 1 = 2,5 — посторонний корень, значит, x = −1 .156.

1)2 x − 34 = 1 + x ; ( 2x − 34)2 = (1 + x )2 ; 2 x − 34 = 1 + 2 x + x;( )2x − 35 = 2 x ; (x − 35)2 = 2 x ; x 2 − 70 x + 1225 = 4x ;x 2 − 74 x + 1225 = 0; x = 49 , x 2 = 25 .Проверка показывает, что х2 = 25 — посторонний корень, значит, х = 49.2)( 5x + 14 − x )2 = 82 ;5x + 14 − x = 8;70 x − 5x 2 = 25 − 2 x;5x + 2 5x (14 − x ) + 14 − x = 64;2( 70x − 5x 2 ) 2 = ( 25 − 2x ) ; 70x − 5x 2 = 625 − 100 x + 4x 2 ;9x 2 − 170 x + 625 = 0; x1 = 5 , x 2 = 3 8 .98Проверка показывает, что x 2 = 3 — посторонний корень, значит, х = 5.93)15 + x + 3 + x = 6; ( 15 + x + 3 + x )2 = 62 ;15 + x + 2 (15 + x )(3 + x ) + 3 + x = 36; ( 45 + 18x + x 2 )2 = (9 − x)2 ;45 + 18x + x 2 = 81 − 18x + x 2 ; x = 1 .4)3 − 2x − 1 − x = 1;( 3 − 2x −1− x) =1 ;2223 − 2 x − 2 (3 − 2x )(1 − x ) + 1 − x = 1; (2 3 − 5x + 2x 2 ) 2 = (3x − 3) ;12 − 20 x + 8x 2 = 9 x 2 − 18x + 9; x 2 + 2 x − 3 = 0 ; x 1 = 1 , x 2 = −3 .157.

1)x 2 + 1 + x 3 + x 2 = 0;x 2 + 1 = − x3 + x 2 ;( x 2 + 1) 2 = (− x 3 + x 2 ) 2 ; x 2 + 1 = x 3 + x 2 ; x 3 = 1; x = 1 .Проверка показывает, что x = 1 — посторонний корень, значит, данноеуравнение не имеет действительных корней.50www.5balls.ru2)33331 + x 4 = 1 + x 2 ; ( 1 + x 4 )3 = ( 1 + x 2 )3 ; 1 + x 4 = 1 + x 2 ;x 2 (x 2 − 1) = 0; x1 = −1 , x 2 = 0 , x 3 = 1 .5 − x − 5 + x = 2; ( 5 − x − 5 + x )2 = 22 ;158. 1)5 − x − 2 25 − x 2 + 5 + x = 4; (3)2 = ( 25 − x 2 ) 2 ; 9 = 25 − x 2 ;x 2 = 16; x1 = 4 , x 2 = −4 .Проверка показывает, что х1 = 4 — посторонний корень, значит, х = –4.12 + x − 1 − x = 1; ( 12 + x − 1 − x )2 = 12 ;2)12 + x − 2 12 − 11x − x 2 + 1 − x = 1; 6 = 12 − 11x − x 2 ;x 2 + 11x + 24 = 0; x1 = −3 , x 2 = −8 .Проверка показывает, что х = –8 — посторонний корень, значит, х = –3.x − 2 + x + 6 = 0; ( x − 2)2 = (− x + 6)2 ; x − 2 = x + 6;−2 ≠ 6 — неверное равенство, значит, данное уравнение не имеет корней.3)x + 7 + x − 2 = 9; ( x + 7 + x − 2)2 = 92 ;4)2x + 7 + 2 x 2 + 5x − 14 + x − 2 = 81; ( x 2 + 5x − 14)2 = (38 − x ) ;x 2 + 5x − 14 = 1444 − 76x + x 2 ; 81x = 1458; x = 18 .1 − 2x − 13 + x = x + 4; ( 1 − 2x − 13 + x )2 = ( x + 4)2 ;159.

Характеристики

Список файлов книги