alimov-10-gdz (546276), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1) lim 1 . Если n неограниченно возрастает, то 1 как угодно близnnn →∞ 4411ко приближается к нулю, т.е.→ 0 при n → ∞ или lim n = 0 .n →∞ 44n2) lim (0,2)n . Если n неограниченно возрастает, то (0,2) n как угодноn →∞близко приближается к нулю, т.е. (0,2) n → 0 при n → ∞ или lim (0,2)n = 0 .n →∞3) lim (1 +n →∞17n) . Если n неограниченно возрастает, тоблизко приближается к нулю, т.е.17n17nкак угодно1→ 0 при n → ∞ или lim n = 0 . Поn →∞ 7этому, lim (1 + 1 ) = 1 .nn →∞7nn4) lim   3  − 2  . Если n неограниченно возрастает, то  3  как угодно5n →∞   5 nnблизко приближается к нулю, т.е.  3  → 0 при n → ∞ или lim  3  = 0 .5nПоэтому, lim   3  − 2  = − 2 .n→∞   5 10www.5balls.run →∞  5 1111 2 1 .818.

1) q = − , b1 = S = b1 == ⋅ =281− q 1− − 18 3 122( )1111112) q = , b5 = ; b5 = b5 ⋅ q 4 ;= b1 ⋅ ;= b1 ⋅ , значит,3818134 8181b1 = 1 ; S = b1 = 1 = 1 = 1,5 .121− q1−3399 273) q = − 1 , b1 = 9 ; S = b1 ==4== 6,75 .31− q 1− − 143( )334) q = − 1 , b 4 = 1 ; b4 = b1 ⋅ q3 ; 1 = b1  − 1  , откуда получаем b1 = −1 ,2значит, S =−1( )1− −12=8−132 282=− .319. 1) 6, 1, 1 … b1 = 6, b 2 = 1 ; q = b 2 = 1 ; S = b1 = 6 = 6 = 36 = 7,2 .156b11− q61−5662) −25 , −5 , −1 ,… b1 = −25, b 2 = −5 ; q = b 2 = 1 ;b15b−25 −25 −125S= 1 == 4 == −31,25 .1− q 1− 145520. 1) 0,(5).

Составим следующую последовательность приближенныхзначений данной бесконечной дроби:a 1 = 0,5 =5, a 2 = 0,55 = 5 + 5 , …1010 10 2a 3 = 0,555 =555++,...10 102 103Запись приближений показывает, что данную периодическую дробьможно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрическойпрогрессии:555+++…a=10 10 2 10 3Получаем a = S =51011−10=5.92) 0,(8). Составим следующую последовательность:888,…, a 2 = 0,88 =+a 1 = 0,8 =10 10 210Запись приближений показывает, что данную периодическую дробьможно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрическойпрогрессии:888a = + 2 + 3 +…10 10 10Получаем a = S =81011−10=8.911www.5balls.ru3) 0,(32).

Составим следующую последовательность:323232,…+a 1 = 0,32 =, a 2 = 0,3232 =100100 1002Запись приближений показывает, что данную периодическую дробьможно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрическойпрогрессии:a=323232+++ ...100 100 2 100 3Получаем a = S =3210011−100=32.994) 0,2(5). Составим следующую последовательность:a 1 = 0,05 =555 ,,…+a 2 = 0,055 =100 1003100Запись приближений показывает, что данную периодическую дробьможно представить в виде суммы бесконечной убывающей геометрическойпрогрессии и числа 0,2:Получаем a = 0,2 + S = 1 +5510011−10=1 5 18 + 5 23 .+==5 90909021.

1) b n = 3 ⋅ (−2)n ; b1 = −6 ; b 2 = 12 ; b 3 = −24 ;q=bb2−2412, так как q = 2 > 1 , то данная последова== −2 = 3 =b1 − 6b212тельность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.2) b n = −5 ⋅ 4n ; b1 = −20 ; b 2 = −80 ; b 3 = −320 ;q=b−320b 2 80, так как q = 4 > 1 , то данная последова==4= 3 =b2− 80b1 20тельность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.n −1883) b n = 8 ⋅  − 1  ; b1 = 8 ; b 2 = − ; b3 = − ;3938q=b2 − 31 b==− = 3 =b183 b2898−3−, так как q =1< 1 , значит, данная последо3вательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.n −1334) b n = 3 ⋅  − 1  ; b1 = 3 ; b 2 = − ; b3 = ;24 23q=31b2 − 21 b== − = 3 = 43 , q = < 1 , значит, данная последователь2b182 b2 −2ность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.122.

1) q = ; b5 = 2 ; b5 = b1 ⋅ q 4 ; 2 = b1 ⋅ 1 ,216161612www.5balls.ruоткуда получаем: b1 = 2 , S = b1 =21− q1−12=2 2 .9393 3; b 4 = ; b 4 = b1 ⋅ q 3 ; = b1 ⋅,82882) q =откуда получаем: b1 = 3 , S = b1 =1− q23. 1) S = 30 , q =3= 2 3(2 + 3) .321−1. Итак, S = b1 , значит, b1 = S ⋅ (1 − q ) = 30(1 − 1 ) = 24.551− q2) S = 30 , b1 = 20 . Итак, S = b1 , значит, 1 − q = b1 ,1− qSа q = 1 − b1 = 1 − 2 = 1 .S3 3n24. 1) lim 3 − 2 = lim ( 3 − 1) .nnn →∞n →∞223Если n неограниченно возрастает, то3ется к нулю, т.е.2n2nкак угодно близко приближа3→ 0 при n → ∞ или limn →∞ 2n= 0.Поэтому lim ( 3 − 1) = −1 .nn →∞2) limn →∞n+232+2n= lim9 ⋅ 3n + 23nn →∞3= lim (9 +n →∞23n2Если n неограниченно возрастает, тоется к нулю, т.е.32n).3nкак угодно близко приближа2→ 0 при n → ∞ или limn →∞ 3n=0.Поэтому lim (9 + 2 ) = 9 .nn →∞3) limn →∞(5n + 1) 252n3= lim52n + 1 + 2 ⋅ 5nn →∞52n= lim (1 +n →∞Если n неограниченно возрастает, то15152 n2nи+25n25n).как угодно близко при-21→ 0 и n → 0 при n → ∞ или55 2n122lim= 0 .

Поэтому lim (1 + 2n + n ) = 1 .n →∞ 5nn →∞55ближается к нулю, т.е.lim1n → ∞ 52 n=0 и25. Стороны поставленных друг на друга кубов составляют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию13www.5balls.rua , a , a , a , … значит, высота получившейся фигуры равна сумме248бесконечно убывающей геометрической прогрессией с q =S=a2a1= ;2b1a== 2a .1− q 1− 1226. Расстояние от точки касания первой окружности со второй естьсумма бесконечно убывающей прогрессии диаметров окружностей с радиусами R2 R3… Rn…, то есть 2(R2+R2+…+R2+…), а, значит, расстояние отцентра первой окружности до вершины угла равно R1+2(R2+R2+…+R2+…).Расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно1R1 : sin 30o = R1 : = 2R1 .2Расстояние от вершины угла до центра второй окружности равно 2R1––R2–R1=R1–R2Из подобия треугольника следует R1 =R22R1 , откуда 2R 2 − R R =11 2R1 − R 2= 2R1R 2 , R 2 = R1 , аналогично, R 3 = R 2 = R1 , таким образом R n = R1 .n −133227.

1) 1 = 1 = 1;0= 031 = 13 = 1;16 = 41(17) 230 = 0 3 = 0;33=2= 4;1.173125 = 5 3 = 5;333111 3333= 3 3 = ; 0,027 = (0,3) = 0,3; 0,064 = (0,4) = 0,4.273333)439= 0;1=2890,81 = (0,9) 2 = 0,9;2)2440 = 0 4 = 0;16 4  2 =  81328. 1)3)4431 230. 1)3=41 = 14 = 1;2;344416 = 2 4 = 2;256 4  4 =  625546=36 3 = 6 (6 2 ) 3 = 6 6 = 6 ; 2) 1  25 29. 1)3)6442=4 1 522=41 54=4 4 0,0016 = 4 (0,2) 4 = 0,2.;51264 2 = 12 ( 2 6 ) 2 =1;54)810 6 = 3 (10 2 ) 3 = 10 2 = 100 ;12 1 3 =    2  443− 8 = 3 (−2) 3 = −2 ;4)2)154283 121  3= 3 (3 4 ) 3 = 3 4 = 81 ;316 1 4 =    3  4− 1 = 15 (−1)15 = −1 ;14www.5balls.ru=2;225 4 = 8 (15 2 ) 4 = 15 8 = 15 .2)11=  = ;28 12 12441 .1=  =381 311 1= 3 −  = − ;273 33)3−5)3− 34 3 = − 34 3 = −34 ;34)5− 1024 = 5 (−4) 5 = −4 ;6)7− 8 7 = − 8 7 = −8 .7431.

1) x 4 = 256; x = ± 4 256 ; x = ± 4 4 ; x = 4 или x = −4.2) x 5 = −5111; x = 5 − ; x = − 5  1  ; x = − .323222 53) 5x 5 = −160; x = 5 − 32 = − 2 5 = −2.64) 2 x 6 = 128; x 6 = 64; x = 6 64 = 26 = 2, отсюда, x = 2 или x = – 2.32. 1)3− 125 +1616 621364 = − 5 3 +2 = −5 + = −5 + = −4,75 ;88845332 − 0,53 − 216 = 2 5 + 0,5 6 3 = 2 + 3 = 5 ;114 4 4 43) − 4 81 + 4 625 = −3 + 5 = −1 + 5 = 4 ;33114 434) 3 − 1000 − 4 256 = − 10 3 −4 = −10 − 1 = −11 ;44=2)55)51+ 3 − 0 ,001 − 4 0 ,0016 =24351 35+ 3 ( − 0 ,1) 3 − 4 ( 0 , 2 ) 4 =11310 − 91 .− 0 ,1 − 0 , 2 = −==33 10303033. 1)3343 ⋅ 0,125 = 3 (7) 3 ⋅ (0,5) 3 = 3 (7 ⋅ 0,5) 3 = 7 ⋅ 0,5 = 3,5 ;32)3512 ⋅ 216 = 83 ⋅ 6 3 = 3 (8 ⋅ 6) 3 = 8 ⋅ 6 = 48 ;3)532 ⋅100000 = 2 5 ⋅10 5 = 5 (2 ⋅10) 5 = 2 ⋅10 = 20 .534. 1)353 ⋅ 7 3 = 3 (5 ⋅ 7) 3 = 5 ⋅ 7 = 35 ; 2) 4 114 ⋅ 34 = 4 (11 ⋅ 3) 4 = 11 ⋅ 3 = 33 ;73)5111(0,2)5 ⋅ 85 = 5 (0,2 ⋅ 8)5 = 0,2 ⋅ 8 = 1,6 ; 4) 7   ⋅ 217 = 7 ( ⋅ 21)7 = ⋅ 21 = 7 .33 335.

1)332 ⋅ 3 500 = 3 2 ⋅ 500 = 3 1000 = 10 3 = 10 ;2)30,2 ⋅ 3 0,04 = 3 0,2 ⋅ 0,04 = 3 0,008 = 3 (0,2) 3 = 0,2 ;3)4324 ⋅ 4 4 = 4 324 ⋅ 4 = 4 81 ⋅ 2 4 = 4 3 4 ⋅ 2 4 = 3 ⋅ 2 = 6 ;4)52 ⋅ 5 16 = 5 2 ⋅16 = 5 25 = 2 .36. 1)5310 ⋅ 215 = 32 ⋅ 2 3 = 9 ⋅ 8 = 72 ;15www.5balls.ru2)33)44)102 3 ⋅ 56 = 3 (2 ⋅ 5 2 ) 6 = 2 ⋅ 5 2 = 2 ⋅ 25 = 50 ;462  1 2 111312   = 4  33    = 33 ⋅   = 27 ⋅ = 3 ; 3 39314 30  2211= 4 3 ⋅   = 64 ⋅ = 16 .423337. 1)10  1 2 = 10  4 3    3 2064 x 3 z 6 = 4 3 x 3 z 6 = 3 (4 xz 2 ) 3 = 4 xz 2 ;2)4a 8 b 12 = 4 (a 2 b 3 ) 4 = a 2 b 3 ;3)532 x 10 y 20 = 5 2 5 x 2⋅5 y 4⋅5 = 5 ( 2 x 2 y 4 ) 5 = 2 x 2 y 4 ;4)6a 12 b 18 = a 2⋅6 b 3⋅6 = 6 (a 2 b 3 ) 6 = a 2 b 3 .6338.

1)332ab 2 ⋅ 4a 2 b = 2 ⋅ 4a 3 b 3 = 3 (2 ⋅ a ⋅ b) 3 = 2ab ;2)42a 2 b 3 ⋅ 27a 2 b = 3 4 a 4 b 4 = 4 (3ab) 4 = 3ab ;43)4ab 4 a 3 c 4 ab a 3 c 4 4⋅=⋅= a =a;cbc b4)316ab239. 1)343⋅3116a 1822=3⋅=3=3  = .2abbbb 2 2abb3364 3 4 3 3  4 4==   = ; 2)1255553416 4 2 4 4  2 ==  813344=2;3=3= 1,5 .233)333 3 27 3 3 3 3  3 3===   = = 1,5 .8822234)5719 5 32 ⋅ 7 + 19 5 224 + 19 5 243 5 35 5  3 =====  3232323225240. 1)45324 : 4 4 = 4 324 : 4 = 4 34 = 3 ;2) 3 128 : 3 2000 = 3 128 : 2000 = 3 0,064 = 3 (0,4) 3 = 0,4 ;3)33162:316 3 16 33== 8 = 23 = 2 ;225) ( 25 –45 ): 5 =5( 5 − 9)56) (3 625 − 3 5 ) : 3 5 =41.

1)5534)525658=5256 55= 32 = 2 5 = 2 ;8= 5 − 9 = 5 −3;5 (3 125 − 1) = 3 125 − 1 = 5 – 1 = 4.355a 6 b 7 : ab 2 = 5 (a 6 b 7 ) : (ab 2 ) = a 5 b 5 = ab ;16www.5balls.ru2)33)34)4381x 4 y : 3 3xy = 3 (81x 4 y) : 3xy = 27 ⋅ x 3 = 3x ;3xy22ba3y:3:49x 2a8b 3=3=43xy:y 2 9x 22ba:a 3 8b 3=4y316b 4a43) (10 32)2 =322 = 10 (25 ) 2 = 2b =4  a 4=2b .a2) ( 6 9)−3 = 6 9−3 = 6 1 = 6 1 = 1 ;3642. 1) ( 6 73 )2 = 6 73⋅2 = 6 76 = 7 ;103 3x 3x ;= 3   =y y 27 x 3=3910 10233= 2;4) ( 8 16)−4 = 8 16−4 = 8 1 = 8 1 = 8 1 = 1 .42⋅ 48164729 = 729 = 36 = 3 ;6441024 = 10 1024 =43. 1)3)3399 ⋅ 37 = 3 ⋅ 37 = 37 ⋅ 37 = 39 = 3 ;4)4325 ⋅ 5 5 =966532 9122)9610 102=2;96665 2 ⋅ 55 = 6 5 ⋅ 55 = 5 ⋅ 55 = 56 = 5 .44. 1) ( 3 x )6 = 3 x 6 = 3 (x 2 )3 = x 2 ; 2) ( 3 y 2 )3 = 3 (y2 )3 = y2 ;3) ( a ⋅ 3 b )6 = a 6 ⋅ 3 b6 = a 2⋅3 ⋅ 3 b3⋅2 = a 8 ⋅ b9 ;4) ( 3 a 2 ⋅ 4 b3 )12 = 3 (a 2 )12 ⋅ 4 (b3 )12 = (a 2 )4 ⋅ (b3 )3 = a8 ⋅ b9 ;5) (3 26a b )6 = ( a 2 b)6 = 6 (a 2 b)6 = a 2 b ;6) ( 3 4 27a 3 )4 = 12 (3a)3⋅4 = 12 (3a)12 = 3a .45.

1) 6 2x − 3 , это выражение имеет смысл при 2х–3≥0; 2x ≥ 3; x ≥ 3 ; x ≥1,5 .22)6x + 3 , это выражение имеет смысл при x + 3 ≥ 0; 2 x ≥ 3; x ≥ −3 .22x 2 − x − 1 , это выражение имеет смысл при 2 x − x − 1 ≥ 0. Решим1+31− 32уравнение 2x 2 − x − 1 = 0. D = 1 + 8 = 9 = 3 ; x1 == 1 или x 2 == −0,5 .443)6Так как ветви параболы 2 x 2 − x − 1 = 0 направлены вверх и точки пересечения этой параболы с осью абсцисс: (1; 0) и (–0,5; 0), то 2 x 2 − x − 1 ≥ 0 приx ≤ −0,5 и x ≥ 1 .4)42 − 3x2 − 3x; Это выражение имеет смысл при совокупности≥ 0;2x − 42x − 42 − 3x≥ 0, что эквивалентно системе неравенств:x−22 − 3x ≤ 0 2 − 3x ≥ 0или x − 2 > 0x − 2 < 02 ≤ 3x2 ≥ 3xили x > 2x < 2 x ≤ 2 x ≥ 23 или 3 x < 2 x > 217www.5balls.ruПервая система не имеет действительных решений, значит 2 ≤ x < 2.346.

1) 9 + 17 ⋅ 9 ⋅ 17 = (9 + 17) (9 − 17) = 81 − 17 = 64 = 8 ;2) ( 3 + 5 − 3 − 5 )2 = 3 + 5 − 2 3 + 5 ⋅ 3 − 5 + 3 − 5 == 6 − 2 (3 + 5 )(3 − 5 ) = 6 − 2 9 − 5 = 6 − 2 22 = 6 − 4 = 2 ;3) ( 5 + 21 + 5 − 21)2 = 5 + 21 + 2 5 + 21 ⋅ 5 − 21 + 5 − 21 = 10 ++2 (5 + 21)(5 − 21) = 10 + 2 25 − 21 = 10 + 2 4 = 10 + 2 2 2 = 10 + 4 = 14 .2)3)34443242=456+ 272 −49 ⋅ 112 3 73 ⋅ 2 ⋅ 8 3 73 ⋅ 23 3  14 14=== 2,8 ;=   =250250553 5=325054 ⋅ 1204349 ⋅ 3 112347. 1)54 ⋅120 44= 54 ⋅ 24 = 3 4 ⋅ 2 4 = 4 (3 ⋅ 2) 4 = 6 ;5364 = 44) 3 3 3 + 4 18 ⋅ 4 4 1 −84 432 6 6 6 6 4+ 3 − 2 = 16 + 3 − 2 = 2 + 1 = 2 + 1 = 3 ;2256 = 3224 + 3 48 + 1 4 4 3 33 49+ 18 ⋅ 4− 4 = 3 + 9⋅2⋅ − 4 =82224= 1,5 + 34 − 4 = 3 − 2,5 = 0,5 ;5) 3 11 − 57 ⋅ 3 11 + 57 = 3 (11 − 57)(11 + 57) = 3 121 − 57 = 3 64 = 3 4 3 = 4 ;6) 4 17 − 33 ⋅ 4 17 + 33 = 4 (17 − 33)(17 + 33) = 4 289 − 33 = 4 256 = 4 4 4 = 4 .48. 1) 3 2ab ⋅ 3 4a 2b ⋅ 3 27b = 3 2ab ⋅ 4a 2b ⋅ 27b = 3 23 ⋅ 33a3b3 = 3 (2 ⋅ 3ab)3 = 6ab ;2)44444abc ⋅ a 3 b 2 c ⋅ b 5 c 2 = abc ⋅ a 3 b 2 c ⋅ b 5 c 2 = a 4 b 8 c 4 =3 3 1849.

Характеристики

Список файлов книги