pogorelov-gdz-7-2002f (546197), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, углы при основании:1(180о –2110о) = 35о.Ответ:35о, 35о, 110о.№ 33.Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двухего вершинах равны 120о и 150о.Внутренний угол треугольника, смежный со внешним углом150о, равен 180о – 150о = 30о, а с углом 120о – равен 180о – 120о =60о. Третий угол равен: 180о – 60о – 30о = 90о.Ответ:30о,60о, 90о.№ 34.Два внешних угла треугольника равны 100о и 150о. Найдитетретий внешний угол.89Внутренний угол, смежный со внешним углом в 150о, равен:180о – 150о = 30о, а с углом 100о: 180о – 100о = 80о.
По теореме,третий внешней угол равен сумме двух внутренних, не смежныхс ним углов, т.е. 80о + 30о = 110о.№ 35.В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые?Задача решена в п. 34 учебника (стр. 47).№ 36.В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если угол А тупой?Обоснуйте ответ.Пусть точка В лежит между точками А и D, тогда ∠В = ∠D +∠С, но ∠В < 90o, ∠D = 90о.
Таким образом, получили противоречие. Пусть точка D лежит между точками А и В, тогда ∠D =∠А + ∠С, но ∠D = 90о, ∠А > 90о. Таким образом, получили противоречие. Таким образом, точка А лежит между В и D.Ответ:А.№ 37.Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.90∠KBD + ∠DBC = ∠А + ∠С (по теореме 4.5),∠А = ∠С (т.к. это углы при основании в равнобедренном треугольнике).∠CBD = ∠KBD, таким образом, ∠KBD = ∠DBC = ∠A = ∠C.Т.к.
∠DBC = ∠C, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых DB и АС и секущей ВС, то BD || АС.№ 38.Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах А и В,взятых по одному для каждой вершины, равна 240о. Чему равенугол С треугольника?Сумма внутренних углов треугольника при вершинах А и Впо теореме 4.5 равна 360о – 240о = 120о. Таким образом, ∠С =180о – 120о = 60о.Ответ:60о.№ 39.Треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложеныотрезки AD = АВ и СЕ = СВ.
как найти углы треугольника DBE,зная углы треугольника АВС?Треугольник ∆ABD — равнобедренный, BD — его основание. В ∆ABD: ∠А — внешний угол для ∆ABD.1∠AПоэтому ∠D = ∠BAC =.22Аналогично найдем угол Е треугольника BDE.911)∆DBA и ∆ВСЕ равнобедренные, таким образом, ∠D = (180о –1∠DAB) : 2 = (180о – 180о + ∠ВАС) : 2 = ∠BAC (т.к. ∠ВАС и2∠DAB смежные).11Аналогично ∠E = ∠BCA , ∠DBE = ∠ABC + (∠BCA + ∠BAC ) .221∠C.∠E = ∠BCA =22∠A ∠C∠A + ∠CСледовательно, ∠DBE = ∠B +, счи+= ∠B +222тая ∠А, ∠С, ∠В углами треугольника АВС.Ответ:∠DBE = ∠ABC +∠D =1∠BAC2∠BAC + ∠ACB,21∠E = ∠BCA .2№ 40.У треугольника один из внутренних углов равен 30о, а одиниз внешних 40о.
Найдите остальные внутренние углы треугольника.92∠ВАС = 180о – ∠DAB = 180о – 40о = 140о (т.к. ∠DAB и ∠ВАС— смежные).∠В = 180о – ∠С – ∠ВАС = 180о – 30о – 140о = 10о (т.к. суммавнутренних углов треугольника равна 180°).Ответ:140о, 10о.№ 41.Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота BD. Найдите угол CBD, зная, что1) ∠А = 20о;2) ∠А = 65о;3) ∠А = α.Так как угол В — прямой, то точка D лежит на гипотенузе (позадаче № 35 § 4).Т.к. ∆АВС — прямоугольный, то ∠С = 90о – ∠А.Т.к.
∆BCD — прямоугольный, то ∠CBD = 90о – 90о + ∠А =∠А.1) ∠CBD = 20o,2) ∠CBD = 65o,3) ∠CBD = α.Ответ:1) 20о;2) 65о;3) α.93№ 42.Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольника АВD и CBD, зная, что ∠А =α, ∠В = β.∠С = 180о – (α + β)Т.к. ∠CDB — прямоугольный, то ∠DBC = 90о – ∠С = 90о –180о + α + β = α + β – 90о.Т.к. ∠DBA — прямоугольный, то ∠D = 90о∠АВС = 90о – ∠А = 90о – α.Ответ:90о, α, 90о – α; 90о, 180о – (α + β), (α + β) – 90о.№ 43.Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30о катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.Задача решена в п.
35 учебника (стр. 48).№ 44.Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника.94Прямой угол может быть только при вершине, т.к. иначесумма углов треугольника будет больше 180о. Углы при основании равныОтвет:1(180о – 90о) = 45о.290о, 45о, 45о.№ 45.В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана AD.Найдите углы треугольника ABD.∠С = ∠А = ∠В = 60о (по свойству равностороннего треугольника). Т.к. медиана является высотой, то ∠D = 90о, ∠В = 60о,∠DAB = 90о – ∠В = 30о.Ответ:30о, 60о, 90о.№ 46.Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С,пересекаются в точке М. Найдите ∠АМС, если ∠А = 70о, ∠С =80о.В ∆АСС1:∠А = 70о (из условия), ∠С1 = 90о, ∠АСС1 = 90о – 70о = 20о.В ∆АСА1:∠С = 80о (из условия), ∠А1 = 90о, ∠А1АС = 90о – 80о = 10о.В ∆АМС: т.к. сумма внутренних углов треугольника равна180°, то∠АМС = 180о – (∠А1АС + ∠С1СА) = 180о – 20о – 10о = 150о.Ответ:150о.95№ 47.В треугольнике АВС медиана BD равна половине стороны АС.Найдите угол В треугольника.Пусть ∠ADB = х, тогда ∠BDC = 180о – х (смежный угол).∆ADB и ∆DBC равнобедренные (по построению).
Таким образом, ∠А = ∠ABD =∠С = ∠DBC =1(180о – х).21(180о – 180о + х).2∠В = ∠DBC + ∠ABD = 90 o −Ответ:x x+ = 90 o .2 290о.№ 48.Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите,что точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а.Проведем через точки В и С прямые, перпендикулярные прямой а. В ∆АВВ1 и ∆АСС1:∠ВАВ1 = ∠САС1 (как вертикальные),∠В1 = ∠С1 = 90оАВ = АС (по условию).∠В = 90о – ∠ВАВ1 = 90о – ∠С1АС = ∠С96Таким образом, ∆АВВ1 = ∆АСС1 по по гипотезе и прилежащему к ней углу, откуда ВВ1 = СС1.№ 49.Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния отточек В и С до прямой а равны.
Докажите, что точка О являетсясерединой отрезка ВС.В ∆ОВВ1 и ∆ОСС1:∠ВОВ1 = ∠СОС1 (как вертикальные),∠В1 = ∠С1 = 90о∠В = 90о – ∠ВОВ1 = 90о – ∠С1ОС = ∠СОВ = ОС (из условия)Таким образом, ∆ОВВ1 = ∆ОСС1 по 2-му признаку равенстватреугольников, откуда ОВ = ОС. Таким образом, точка О — середина отрезка ВС.№ 50.Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой допараллельной прямой равны.97Задача решена в п.
36 учебника (стр. 49).№ 51.Докажите, что расстояния от вершин равностороннего треугольника до прямых, содержащих противолежащие им стороны,равны.Построим высоты АА1, ВВ1, СС1.В ∆АВВ1, ∆В1ВС и ∆АС1С:АС = АВ = ВС∠А = ∠С = ∠В (т.к. ∆АВС — равнобедренный), таким образом,∆АВВ1 = ∆В1ВС = ∆АС1С по гипотенузе и острому углу, откуда ВВ1 = АА1 = СС1.98§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ№ 1.Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности,пересекает окружность в одной точке.Луч пересечет окружность на расстоянии радиуса от центраокружности. Другой точки окружности на луче быть не может,т.к. на луче можно отложить только один отрезок данной длины.Утверждение доказано.№ 2.Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности,пересекает окружность в двух точках.Прямая — это два луча, исходящих из одной точки, междукоторыми угол равен 180о. Таким образом, на основе предыдущей задачи доказываем эту.№ 3.Докажите, что диаметр окружности, проходящей через середину хорды, перпендикулярен ей.Задача решена в п.
38 учебника (стр. 55).№ 4.Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждениюзадачи № 3.Теорема: Доказать, что диаметр окружност, препендикулярный хорде, проходит через ее середину.99В ∆АОС и ∆СОВ:ОА = ОВ, т.к. ОА и ОВ — радиусы окружности, СО — общаясторона, таким образом, ∆АОС = ∆ОСВ по гипотенузе и катету,откуда АС = СВ.№ 5.1) Из точки данной окружности проведены диаметр ихорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.2) Из точки данной окружности проведены две хорды,равные радиусу. Найдите угол между ними.1) ОВ = ВА = ОА (по условию), таким образом, ∆АОВ —равносторонний, откуда ∠ОАВ = 60о.2) Аналогично ∠ОАС = 60о∠ВАС = ∠ОАВ + ∠ОАС = 60о + 60о = 120о.Ответ:1001) 60о;2) 120о.№ 6.Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонамтреугольника пересекаются.Задача решена в п.
39 учебника (стр. 56).№ 7.Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ.Допустим, окружность с центром О касается прямой в двухточках А и В, таким образом, у треугольника АОВ: ∠ОАВ =∠ОВА = 90о, а этого не может быть.Ответ:не может.№ 8.Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.Задача решена в п. 40 учебника (стр.
57).№ 9.Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, скасательной в точке А?101ОВ = ОА = АВ (по условию), таким образом, ∠ОАВ = 60о (т.к.∆АВО — равносторонний).Т.к. ОА ⊥ а, то ∠BAK = 90о – 60о = 30о.Ответ:∠BAK = 30о.№ 10.Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.∠ABK = ∠BAK = 30о (из предыдущей задачи)∠BKA = 180o – (∠BAK + ∠ABK) = 180o – 30o – 30o = 120o (т.к.сумма внутренних углов треугольника равна 180˚).∠BKF = 180o – 120o = 60o (т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
