pogorelov-gdz-7-2002f (546197), страница 9
Текст из файла (страница 9)
№ 35, но гипотенузу надо откладывать в обе полуплоскости.№ 37.Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.См. № 35.Существует два решения:1) от высоты откладывать отрезки данной длины в однусторону2) в разные стороны.№ 38.Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.Проводим прямую, затем строим на ней высоту. От вершинывысоты откладываем отрезок, равный первой стороне, он пересечет нашу прямую в некоторой точке, от которой мы отложимпо первоначальной прямой вторую сторону. Затем соединим всевершины и получим искомый треугольник.№ 39.Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.Сначала строим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — заданная медиана треугольника, а катет — заданнаявысота.
Затем от основания медианы в обе стороны откладываем115отрезки, равные ½ стороны треугольника. Потом соединяемвершины и получим искомый треугольник.№ 40.Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.Построим окружность данного радиуса, затем проведем хорду, равную данной стороне. После проведем серединный перпендикуляр к полученному отрезку. Точку пересечения окружности с серединным перпендикуляром соединим с концами хорды.
Получим равнобедренный треугольник.№ 41.Докажите, что геометрическое место точек, удаленных отданной прямой на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на h.•DbChaAhcТ.к. расстояние от прямой до некоторой точки — это естьперпендикуляр к этой прямой через эту точкуДокажем, что любая точка, удаленная от а на h лежит либо нас, либо на b.Пусть точка D не лежит ни на b, ни на с, и расстояние от D доточки А на прямой равно h.Тогда DA = h и AD ⊥ a.Но СА также равно h и СА ⊥ а.116Следовательно, точки С и D либо совпадают, либо противоположны относительно прямой а.То есть точка D лежит на прямой b или на с.№ 42.На данной прямой найдите точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.Согласно задаче № 41, геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двухпараллельных прямых, параллельных данной, и отстоит от нее наданное расстояние.№ 43.Даны три точки А, В, С.
Постройте точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии отточки С.Точка х должна быть:1) одинаково удалена от точек А и В;2) находится на данном расстоянии от точки С.1) Точка х лежит на серединном перпендикуляре к отрезкуАВ.2) Точка х лежит на окружности данного радиуса, с центром в точке С.117Искомая точка х лежит на пересечении серединного перпендикуляра и окружности.№ 44.На данной прямой найдите точку, равноудаленную от двухданных точек.Точка х лежит на пересечении серединного перпендикуляра котрезку АВ и прямой а.№ 45.Даны четыре точки А, В, С, D.
Найдите точку х, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D.118Точка х лежит на пересечении серединных перпендикуляровк отрезкам АВ и CD.№ 46*.Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий кней угол и сумма двух других сторон.Пусть даны два отрезка а и m и угол α. Надо построить ∆АВСтакой, что ВС = а, ∆BCD АВ + АС = m.Решение возможно лишь при а < m т.к. сумма любых двухсторон треугольника больше третьей стороны.Построим ∆BCD по двум сторонам (ВD = m, ВС = а) и углумежду ними (∠В = α).Проведем серединный перпендикуляр от CD, он пересечетBD в точке А.
AD = АС. Получаем искомый ∆BCD, где ВС = а,∆BCD В = α, АВ + АС = т, т.к. АС = AD.Если т = а, то в ∆BCD ∠С будет больше ∠D. Серединныйперпендикуляр d к сторонеCDпо теореме 1.1. долженпересекать либо сторону ВС, либо СD.Докажем, что серединный перпендикуляр пересекает именноBD.Допустим, d пересекает сторону ВС в точке М, а прямую BD вточке K. Т.к. KD > BD, то ∠KCD < ∠BCD.По свойству серединного перпендикуляра ∆DKC — равнобедренный, таким образом, ∠KCD = ∠D, но тогда ∠D > ∠BCD(т.к.
m > a), то есть в ∆BCD ∠D < ∠С. Противоречие, т.е. d пересекает именно ВD.Таким образом, задача имеет единственное решение.119№ 47*.Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий кней угол и разность двух других сторон.Пусть даны два отрезка а и d и угол α.Нужно построить ∆АВС, в котором ВС = а, ∠В = α, а |AC –AB| = d.Задача имеет решения лишь при d < a, т.к. из нер-ва треугольника следует, что любая сторона должна быть больше разности двух сторон.I. Допустим такой треугольник уже построен. Рассмотрим дваслучая:1) ∠ α — острый.120Если АВ > АС, d = АС, то отложим на стороне АВ отрезок ВD= d, тогда AD = AB – d = AC, т.е. точка А лежит на серединномперпендикуляре к CD.Если АС > АВ, то отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD = d.d = AC – AB, AD = AB + BD = AB + d, т.е.
AD = AC, поэтомуточка А будет лежать на серединном перпендикуляре к CD.2) ∠α — тупой.АС > АВ, тогда на продолжении сторона АВ отложим BD = d,тогда AD = AC и тогда точка А лежит на серединномперпендикуляре к CD.а) Если α — острый угол, d = АС – АВ.Построим ∠В = α.Отложим на одной стороне угла ВС = а, а на дополнительнойполупрямой к другой стороне BD = d.Найдем точку А, проведя серединный перпендикуляр к стороне CD. Т.к. АВ = AD – DB = AC – d, то d = AC – AB, и ∆АВС —искомый.б) Если α — острый угол, d = AB – AC.Построим ∠В = α.Отложим на одной стороне угла ВС = а, а на другой — BD= d.Найдем точку А, проведя серединный перпендикуляр к отрезку CD. Т.к.
ВА = d + AC, то d = AB – AC, таким образом, ∆АВС —искомый.121II.Если α’ — тупой угол, то d = АС – АВ (аналогично п. I, а)Выясним, всегда ли задача имеет решение.I.а) В ∆DBC ∠DBC — тупой (т.к. α и ∠DBC смежные) и DB< BC, то серединный перпендикуляр обязан пересечь сторонуВС < В и сторону ВА, таким образом, решение обязано существовать.б) Если ∠BDC ≤ 90о, то ∠CDA ≥ 90о. Тогда решений нет,иначе есть единственное решение.II.В ∆BDC ∠CBD — острый (т.к. α и ∠CBD смежные), а > d, таким образом, если ∠BDC прямой или тупой, то серединный пер122пендикуляр к DC не пересекает сторону ВА угла СВА и, значит,решений нет.
Если ∠DBC — острый, задача имеет единственноерешение.№ 48*.Постройте прямоугольный треугольник по катету и суммедругого катета и гипотенузы.См. задачу 46.№ 49.1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом Rпроведена касательная. Докажите, что точка С касания лежит наосновании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА =АВ, ОВ = 2R.2) Проведите касательную к окружности, проходящуючерез данную точку вне окружности.1231) ОС ⊥ АС по определению. Продлим ОС до точки В так,что СВ = ОС.
В ∆ОВА отрезок АС является высотой и медианой,так как ОС = ВС по построению, таким образом, ∆ОВА — равнобедренный. Откуда АО = АВ и ОВ = 2ОС = 2R.2) Проведем к данной окружности касательную, проходящую через данную точку А. Сначала соединим точки О и А.Затем проведем окружности с центром О и радиусом 2R и ОА.Они пересекаются в двух точках В и В1.ОВ и ОВ1 пересекают окружность в точках С и С1. Соединивих с точкой А, получим две касательные АС и АС1.∆ОАВ и ∆ОАВ1 — равнобедренные АС и АС1 — медианы,значит они являются и высотами.
Таким образом, АС ⊥ ОС = R,АС1 ⊥ ОС1 = R, следовательно, АС и АС1 — касательные. Т.к. кокружности можно провести не более двух касательных (задача№ 16 § 5), то построение закончено.№ 50*.Проведите общую касательную к двум данным окружностям.Сначала построим окружность с центром О1 и радиусом R1 –R2. Из центра О2 второй окружности проводим касательную кэтой окружности (задача № 49). Касательная касается этой окружности в точке K.124Продлим O1K до пересечения с окружностью с центром О1 ирадиусом R1.
Прямая O1K пересечет эту окружность в точке М.Теперь проводим касательную из точки М к окружности с центром О2 и радиусом R2. Таким образом, MN — первая касательная, т.к. MN ⊥ О1М, O2N ⊥ MN, следовательно, MN — общаякасательная.Затем строим окружность с центром в точке О1 и радиусом R1+ R2 и проводим касательную к ней О2Р. О1Н = R1 принадлежитО1Р.
Из точки Н проведем касательную HL к окружности с центром О2 и радиусом R2, таким образом, HL — вторая касательная, т.к. HL ⊥ O2L и HL ⊥ О1Н, следовательно, HL — общаякасательная.Рассмотрим всевозможные варианты:1) Если центр одной окружности лежит внутри другой иони не пересекаются, то касательную провести нельзя.2) Если центр одной окружности лежит внутри другой иони касаются в одной точке, то одна касательная.3) Если они пересекаются в двух точках, то две касательные.4) Если единственная точка пересечения лежит между ихцентрами, то три касательные.5) Если R1 + R2 < О1О2, то четыре касательных.6) Если R1 = R2 и О2 совпадает с О1, то бесконечное числокасательных.125.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
