pogorelov-gdz-7-2002f (546197), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Известно,что ∠(ab) = ∠(ac) = ∠(bc) = 120о.1) Проходит ли какой-нибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами?2) Может ли прямая пересекать все три данных луча?Объясните ответ.1) Пусть один из этих лучей проходит между сторонамиугла, образованного двумя другими лучами. Тогда он образуетсо сторонами этого угла углы, равные120о, значит, этот луч является биссектрисой угла в 240о, а он, по условию, равен 120о.Противоречие.
Таким образом, ни один из этих лучей не можетпроходить между сторонами угла, образованного двумя другимилучами.412) Пусть прямая d не проходит через общую точку лучей а,b, с и пересекает их в точках А, В, С. Одна из этих точек лежитмежду двумя другими точками. Предположим, это точка С. тогдалуч С пересекает отрезок АВ, а т.к. отрезок АВ находится внутриугла ∠(аb), то это означает, что луч С проходит между сторонами ∠(аb), но этопротиворечит доказанному в п. 1 данной задачи.Таким образом, не существует прямой, пересекающей все трилуча.42§ 3. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ№ 1.Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая являетсясерединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезокАС = 10 м?Задача решена в п.
20 учебнике (стр. 29).№ 2.Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка Х этой прямойодинаково удалена от точек А и В.Возьмем на прямой произвольную точку Х и соединим ее сточками А и В.Рассмотрим полученные треугольники: В ∆АОХ = ∆ВОХ АО =ОВ, т.к. О — середина отрезка АВ;∠АОХ = ∠ВОХ = 90о, т.к.
АВ ⊥ ХО;ОХ — общая сторона.43Таким образом, ∆АОХ = ∆ВОХ по 1-му признаку равенстватреугольников. В равных треугольниках против равных угловлежат равные стороны. Отсюда АХ = ВХ.Что и требовалось доказать.№ 3.На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на сторонеА1В1 треугольника А1В1С1 взята точка D1.
Известно, что треугольники АDC и A1D1C1 равны и отрезки DB и D1B1 равны. Докажите равенство треугольников АВС и А1В1С1.Т.к. ∆ADC = ∆A1D1C1, то АС = А1С1, AD = A1D1, ∠А = ∠А1.АВ = AD + DB, A1B1 = A1D1 + D1B1, т.к. АВ = А1В1, DB = D1B1,то AD = A1D1В ∆АВС и ∆А1В1С1:∠А = ∠А1 АС = А1С1, т.к. ∆АDC = ∆ A1D1C1, АВ = А1В1, следовательно, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 1-му признаку равенства треугольников.44№ 4.Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку С, из которой можно пройти и к точке А, и кточке В и из которой видны обе эти точки.
Измеряют расстоянияАС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD = AC и ЕС =СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию. Объяснитепочему.Т.к. ∠АСВ = ∠ECD (т.к. они вертикальные), ЕС = СВ, АС =CD (по построению), то ∆АСВ = ∆ECD (по 1-му признаку оравенства треугольников).В равных треугольниках против равных углов лежат равныесторроны. Таким образом, АВ = ED.№ 5.Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО = СО.45Т.к. СО = ВО, ∠АСО = ∠DBO, а ∠АОС = ∠DOB (как вертикальные углы), то ∆АСО = ∆DBO по 2-му признаку равенстватреугольников.№ 6.Отрезки АС и BD пересекаются в точке О.
Докажите равенство треугольников ВАО и DCO, если известно, что угол ВАО равен углу DCO и АО = СО.В ∆АВО и ∆DCO:АО = ОС (из условия)∠ВAO = ∠DCO (из условия)∠АОВ = ∠DOC (как вертикальные углы).Таким образом, ∆АВО = ∠DCO по 2-му признаку равенстватреугольников.№ 7*.Докажите равенство треугольников по медиане и углам, накоторые медиана разбивает угол треугольника.Сделаем дополнительные построения:46Продолжим AD до точки K, так, что DK = AD.Продолжим A1D1 до точки K1, так, что D1K1 = A1D1.В ∆ADC и ∆DBK:AD = DK∠ADC = ∠BDK (как вертикальные)BD = DC (т.к. AD — медиана)Таким образом, ∆ADC = ∆DBK по 1-му признаку, и ∠DAC =∠DKBАС = BK.Аналогично ∆A1D1C1 = ∆D1B1K1 и ∠D1A1C1 = ∠D1K1B1А1С1 = B1K1.В ∆АВK и ∆A1B1K1:AK = A1K1 (т.к.
AK = 2AD = 2A1D1 = A1K1)∠BAK = ∠B1A1K1 (по условию)∠BKA = ∠B1K1A1 (т.к. ∠BKA = ∠KAC = ∠K1A1C1 = ∠B1K1A1),(∠KAC = ∠K1A1C1 по условию)Таким образом, ∆ABK = ∆A1B1K1 по 2-му признаку равенстватреугольников, и АВ = А1В1, и BK = B1K1 = А1С1 = АС.Т.к. в ∆АВС и ∆А1В1С1ВА = В1А1АС = А1С1∠ВАС = ∠В1А1С1, то ∆АВС = ∆А1В1С1. A1B1K1 по 1-му признаку равенства треугольников.№ 8.Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешиваютнаправление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок ВЕ. Выбирают на местности точку D, из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и Е.
Провешиваютпрямые BDQ и EDF и отмеряют FD = DE и DQ = BD. Затем идутпо прямой FQ, глядя на точку А, пока не найдут точку Н, котораялежит на прямой AD. Тогда HQ равно искомому расстоянию.Докажите это.В ∆FDQ и ∆BDE: FD = DE, BD = DQ (по условию)47∠FDQ = ∠BDE (как вертикальные).Таким образом, ∆FDQ = ∆BDE (по 1-му признаку равенстватреугольников).Отсюда ∠DFQ = ∠DEB.В ∆EDA и ∆FDH:FD = DE∠DFQ = ∠DEB∠FDH = ∠ADE (как вертикальные)Таким образом, ∆EDA = ∆FDH по 2-му признаку равенстватреугольников.Откуда: AD = DH, ∠EAD = ∠DHF.Рассмотрим ∆ABD и ∆QHD:AD = DH∠EAD = ∠FHD∠ADB = ∠QDH (как вертикальные)Таким образом, ∆ABD = ∆QHD по 2-му признаку равенстватреугольников.Откуда АВ = QH, что и требовалось доказать.№ 9.Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м.
Найдите длину боковой стороны.Т.к. ∆АВС — равнобедренный, то АВ = ВС и Р = 2АВ + АС.1 = 2АВ + 0,4482АВ = 0,6АВ = 0,3.АВ = ВС = 0,3 м.Ответ:0,3 м.№ 10.Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найдите основание.Т.к. ∆АВС — равнобедренный, то АВ = ВС и Р = АВ + ВС +АС = 2АВ + АС, АС = Р – 2АВАС = 7,5 м – 2 ⋅ 2 м = 3,5 м.Ответ:3,5 м.№ 11.Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если основание:1) меньше боковой стороны на 3 м;2) больше боковой стороны на 3 м.491) Пусть боковая сторона — х м, тогда основание — (х – 3).Тогда:Р = х + х + (х – 3),Р = 3х – 3,15,6 = 3х – 3,3х = 18,6,х = 6,2 м.2) Пусть боковая сторона — х м, тогда основание — (х + 3)м.
Тогда:Р = х + х + (х + 3),Р = 3х + 3,15,6 = 3х + 3,3х = 12,6х = 4,2 м.Ответ:1) 6,2 м; 6,2 м; 3,2 м;2) 4,2 м; 4,2 м; 7,2 м.№ 12.Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны.Задача решена в п. 23 учебника (стр. 31).№ 13.От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА1 на стороне СА и СВ1 настороне СВ.
Докажите равенство треугольников1) САВ1 и СВА1;2) АВВ1 и ВАА1.1) В ∆САВ1 и ∆СВА1: АС = ВС, т.к. ∆АВС — равнобедренный А1С = СВ1 (по условию).∠С — общий, таким образом, ∆САВ1 = ∆СВА1 по 1-мупризнаку равенства треугольников.502) В ∆АВВ1 и ∆ВАА1: АА1 = ВВ1 (АА1 = АС – СА1 = АВ – АВ1= ВВ1)АВ — общая сторона.∠САВ = ∠СВА (т.к. АВС — равнобедренный, а у равнобедренных треугольников углы при основании равны).Таким образом, ∆АВВ1 = ∆ВАА1 по 1-му признаку равенстватреугольников.№ 14.На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даныточки А1 и В1. Известно, что АВ1 = ВА1. Докажите, что треугольники АВ1С и ВА1С равны.В ∆АВ1С и ∆ВА1С:АС = ВС (т.к. ∆АВС — равнобедренный)∠САВ = ∠СВА (т.к. ∆АВС — равнобедренный).АВ1 = ВА1 (из условия)51Таким образом, ∆АВ1С = ∆ВА1С по 1-му признаку равенстватреугольников.№ 15.Треугольники АСС1 и ВСС1 равны. Их вершины А и В лежатпо разные стороны от прямой СС1.
Докажите, что треугольникиАВС и АВС1 равнобедренные.Т.к. ∆АСС1 = ∆ВСС1, то: АС = ВС, АС1 = ВС1.Таким образом, ∆АВС и ∆АВС1 равнобедренные по определению.Что и требовалось доказать.№ 16.Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждениюзадачи 12.Задача решена в п. 24 учебника (стр. 32).№ 17.На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки С1 и С2.Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники АВС1 и ВАС2 равны.52Т.к. ∆АС1В = ∆АС2В, то ∠А = ∠В. Следовательно, ∆АВС равнобедренный.Что и требовалось доказать.№ 18.1) Докажите, что середины сторонугольника являются также вершинамиугольника.2) Докажите, что середины сторонугольника являются также вершинамиугольника.равнобедренного треравнобедренного треравностороннего треравностороннего тре-1)53В ∆АА1В1 и ∆В1С1С:АА1 = СС1 как половины равных сторон (т.к.
АА1 = АВ : 2 = ВС: 2 = СС1)∠А = ∠С, т.к. ∆АВС — равнобедренный и ∠А и ∠С — углыпри основании.Таким образом, ∆АА1В1 = ∆В1С1С по 1-му признаку равенстватреугольников.Отсюда А1В1 = В1С1.Таким образом, ∆А1В1С1 — равнобедренный (по определению).2)В ∆АА1В1, ∆А1ВС1, ∆СС1В1:∠А = ∠В = ∠С (т.к. ∆АВС — равносторонний).АА1 = А1В = ВС1 = С1С = СВ1 = В1А (как половины равных сторон).Таким образом, ∆АА1В = ∆А1ВС = ∆СС1В1 по 1-му признакуравенства треугольников.Откуда А1С1 = С1В1 = А1В1.Таким образом, ∆А1В1С1 равносторонний по определению.№ 20.Докажите, что у равнобедренного треугольника:1) биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;542) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны.1) ∠BAK = ∠KAC = ∠OCA = ∠OCK, т.к.
∠А = ∠С, и СО иКА — биссектриссы.В ∆AKB и ∆СОВ: АВ = ВС (т.к. ∆АВС — равнобедренный)∠BAK = ∠ВСО (т.к. АК и СО — биссиктриссы равных углов).∠В — общий. Таким образом, ∆AKB = ∆СОВ по 2-му признаку равенства треугольников.Откуда AK = СО, что и требовалось доказать.2) AQ = QB = BF = FC, т.к. AF и CQ — медианы.В ∆AFB и ∆CQB:АВ = ВС (т.к. ∆АВС — равнобедренный)QB = BF∠В — общий. Таким образом, ∆AFB = ∆CQB по 1-му признаку равенства треугольников.Откуда AF = CQ.55№ 21.Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В1С1:1) медианы, проведенные из вершин А и А1, равны;2) биссектрисы, проведенные из вершин А и А1, равны.1)∠С = ∠С1, ∠А = ∠А1, ∠В = ∠В1.ВО = ОС = В1О1 = О1С1, т.к. АО и А1О1 — медианы, и ВС =В1С1.В ∆АОС и ∆А1О1С1: АС = А1С1, ОС = О1С1, ∠С = ∠С1.Таким образом, ∆АОС = ∆А1О1С1 по 1-му признаку, откудаАО = А1О1.2)56Т.к.
∆АВС = ∆А1В1С1, то: АС = А1С1, ∠А = ∠А1, ∠С = ∠С1.∠BAK = ∠KAC = ∠B1A1K1 = ∠K1A1C1, т.к. AK и A1K1 — биссектрисы равных углов.В ∆AKC и ∆A1K1C1: АС = А1С1, ∠С = ∠С1, ∠KAC = ∠K1A1C1.Таким образом, ∆АKC = ∆A1K1C1 по 2-му признакуравенстватреугольников.Откуда AK = A1K1.№ 22.Точки А, С, В, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ иCD имеют общую середину.
Докажите, что если треугольникАВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD.Т.к. ∆АВЕ — равнобедренный, и (∠САЕ и ∠EАВ), (∠ЕВА и∠EBD) — смежные, то ∠САЕ = 180о – ∠ЕАВ = 180о – ∠ЕВА =∠EBD.57В ∆САЕ и ∆EBD:АЕ = ВЕ (т.к. АВЕ — равнобедренный)∠САЕ = ∠EBDСА = BD (т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
