pogorelov-gdz-7-2002f (546197), страница 8
Текст из файла (страница 8)
∠BKF и ∠BKA смежные).Ответ:60о, 120о.№ 11.Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдитерасстояние между центрам окружностей в случаях внешнего ивнутреннего касания.Точки О, А, О1 лежат на одной прямой. Рассмотрим 2 случая1) Случай внутреннего касания окружностей.ОО1 = ОА + О1А = 30 + 40 = 70 см1022) Случай внутреннего касания окружностей.О1О = ОА – О1А = 40 – 30 = 10 смОтвет:70 см, 10 см.№ 12.Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?Допустим, они касаются, тогда их центры и точка пересечения лежат на одной прямой и расстояние между центрами равнолибо 25 + 50 = 75, либо 50 – 25 = 25, но 75 ≠ 60 и 25 ≠ 60, такимобразом, пришли к противоречию.Ответ:не могут.№ 13*.1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — внепрямой.
Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ.1032) Могут ли окружность и прямая пересекаться болеечем в двух точках?1) Допустим, ∆АОВ и ∆ВОС — равнобедренные, такимобразом, АО = ОВ = ОС, и ∠А = ∠С = ∠АВО = ∠ОВС, а этовозможно лишь если ∠АВО = ∠ОВС = 90о, т.к.
они смежные, тоесть их сумма равна 180˚ но тогда ∠А = ∠С = 90о, что не можетбыть, т.к. в этом случае сумма углов треугольника будет больше 180о.2) Пусть прямая а пересекает окружность с центром в точкеО хотя бы в трех точках А, В, С. Тогда точки А, В, С принадлежатокружности, и ОА = ОВ = ОС (как радиусы) и лежат на прямой а.Треугольники ОАВ и ВОС — равнобедренные. Но это невозможно (в п.
1 мы это доказали). Значит, предположение не верно, могут пересекаться более чем в двцх точках.Ответ:1) Не могут;2) Не могут.№ 14*.1) Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямойОО1.2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.104Докажем, что АВ ⊥ ОО1.В ∆ОАО1 и ∆ОВО1:ОА = ОВ (как радиусы),О1А = О1В (как радиусы),ОО1 — общая.Таким образом, ∆ОАО1 = ∆ОВО1 по 3-му признаку равенстватреугольников, откуда ∠AOK = ∠KOB, ∠AO1K = ∠BO1K.В ∆АОВ:ОА = ОВ, следовательно, ∆АОВ — равнобедренный, ∠AOK =∠KOB, таким образом, OK — биссектриса, которая является ивысотой, т.к.∆АОВ — равнобедренный, то есть OK ⊥ АВ.Таким образом, АВ ⊥ ОО1.2) Докажем, что окружности не могут пересекаться болеечем в двух различных точках.Допустим, что две окружности с центрами О и О1 пересекаются хотя бы в трех различных точках А, В, С, тогда из п.
1 АС ⊥ОО1, АВ ⊥ ОО1, но это невозможно, так как через данную точкуА можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную ОО1.Таким образом, мы пришли к противоречию.1)№ 15*.1) Через точку А окружности с центром О проведенапрямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности.1052) Докажите, что если прямая имеет с окружностьютолько одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.3) Докажите, что если две окружности имеют толькоодну общую точку, то они касаются в этой точке.1) Так как прямая а не касается окружности, то она пересекает окружность в двух точках.В ∆АОС:ОВ — медиана (т.к. АВ = ВС (по условию)) и высота (т.к.
ОВ⊥ а (по условию)). Значит, ∆АОС — равнобедренный. Таким образом, ОА = ОС и таким образом точка С принадлежит окружности.2) Пусть прямая а имеет с окружностью только одну общую точку А, но не является касательной, т.е. не перпендикулярна радиусу ОА, таким образом, из точки О можно провести кпрямой перпендикуляр ОВ, не совпадающий с ОА. На продолжении отрезка АВ отложим отрезок ВС, равный отрезку АВ.
Тогда,из п. 1, точки А и С лежат на окружности.Противоречие, т.к. поусловию прямая а имеет с окружностью только однук общуюточку.3) Если две окружности касаются в некоторой точке А, тоони имеют общую касательную в этой точке.Пусть точки О1, О, А не лежат на одной прямой, тогда имеем∆ОО1А.
Прямая ОО1 разбивает плоскость на две полуплоскости,106в одной из которых лежит точка А. ∆ОО1А = ∆ОО1А1 по 1-мупризнаку. От луча О1О отложим в другую полуплоскость∠А1О1О = ∠АО1О и на нем отложим отрезок ОА1 = ОА. ОА =ОА1, О1А = О1А1, откуда точка А1 является общей точкой обеихокружностей. Противоречие. По условию окружности имеюттолько одну точку пересечения.
Таким образом, точки О, О1, Алежат на одной прямой.Через точку А проведем прямую а, а ⊥ ОА. Таким образом, а— касательная к первой окружности. Так как точки О, О1, А лежат на одной прямой, то О1А ⊥ а. Таким образом, а — касательная ко второй окружности. Откуда получаем, что окружностикасаются в точке А.№ 16*.1) Из одной точки проведены две касательные кокружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQравны.
2) Докажите, что через одну точку не может проходитьбольше двух касательных к окружности.107В ∆ОРМ и ∆OQM:ОМ — общая,ОР = OQ, как радиусы,ОР ⊥ МР, OQ ⊥ MQ (т.к. МР и MQ — касательные).Таким образом, ∆ОРМ = ∆OQM по1-му признаку равенстватреугольников. Откуда МР = МО.2) Пусть через точку М можно провести три касательных кокружности: МР, MQ, МА. Тогда из п. 1 следует, что МР = MQ =MA, откуда точки Р, Q, А лежат на одной окружности с центромМ. Получилось, что две окружности имеют три общие очки.Противоречие. В задаче 14 § 5 мы это доказали.
Таким образом,через данную точку нельзя провести более двух касательных кданной окружности.1)№ 17.Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.108Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкойпересечения его биссектрис.Центр окружности, описанной около треугольника, являетсяточкой пересечения серединных перпендикуляров.В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами и высотами, откуда они являются и серединными перпендикулярами. Значит, центры вписанной и описанной окружности совпадают.№ 18.Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его стоAB + AC − BCрон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 =.2Отрезки касательных к окружности, проведенные из однойточки, равны.АС1 = АВ1 (по свойству касательных)АС1 + АВ1 = АВ – ВС1 + АС – СВ1 = АВ + АС – (ВА1 + СА1) =АВ + АС – ВС = 2АСТаким образом, AC1 =AB + AC − BC.2№ 19.Постройте треугольник по трем сторонам a, b и с.109Задача решена в п.
43 учебника (стр. 58).№ 20.Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD.Построение ясно из рисунка.№ 21.Постройте окружность данного радиуса, проходящую черездве данные точки.Центр окружности будет лежать на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ, на расстоянии, равном r отА и В.№ 22.Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.110Построим окружность данного радиуса, отметим на ней произвольную точку и от нее отложим данные стороны.№ 23.Постройте треугольник АВС по следующим данным:1)по двум сторонам и углу между ними:а) АВ = 5 см, АС = 6 см, ∠А = 40о;б) АВ = 3 см, ВС = 5 см, ∠В = 70о.2) по стороне и прилежащим к ней углам:а) АВ = 6 см, ∠А = 30о, ∠В = 50о;б) АВ = 4 см, ∠А = 45о, ∠В = 60о.1) Построим угол (см.
п. 44 учебника, стр. 59) и на сторонах угла от вершины отложим две данных стороны. Соединимдве полученные точки на сторонах угла отрезком. Получим треугольник.Задача б) делается аналогично.2) Строим данный отрезок, от концов отрезка откладываемуглы (см. п. 1). Точка пересечения сторон углов будет третьейвершиной треугольника.№ 24.Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них.1) а = 6 см, b = 4 см, α = 70о;1112) а = 4 см, b = 6 см, β1) Построим отрезок, равный 4 см.
Конец отрезка будет являться вершиной данного угла, из другого конца проведем окружность с r = 6 см. Точка пересечений стороны угла и даннойокружности будет третьей вершиной треугольника.Пункт 2) аналогично.№ 25.Постройте равнобедренный треугольник по боковой сторонеи углу при основании.Т.к. у равнобедренного треугольника углы при основанииравны, то данная задача сводится к построению треугольника подвум углам и стороне (см.
№ 23).№ 26.Постройте окружность, вписанную в данный треугольник.Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении егобиссектрис, то задача сводится к построению биссектрис (см.п. 45 учебника, стр. 59).№ 27.Разделите угол на четыре равные части.Делим угол пополам, затем каждую половину еще пополам(п. 45 учебника, стр. 59).№ 28.Постройте углы 60о и 30оСтроим произвольный равносторонний треугольник, затемодин из его углов делим пополам.
60о : 2 = 30о (см. п. 45 учебника, стр. 59).112№ 29.Дан треугольник. Постройте его медианы.Медиана делит противоположную сторону пополам. Такимобразом, задача сводится к делению отрезка пополам (см. п. 46учебника, стр. 72).№ 30.Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.Сначала построим треугольник по стороне, половине стороныи медиане, затем продлим половину стороны до целой и соединим с третьей вершиной.№ 31.Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной кэтой стороне, и радиусу описанной окружности.Построим окружность данного радиуса, возьмем на нейпроизвольную точку и построим данную сторону, затем разделим ее пополам и построим медиану. Наконец, соединим вершины.№ 32.Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.(см.
рис. 110 учебника)Пусть две стороны будут а и b, а медиана — m.Построим треугольник по трем сторонам:АВ = а, BD = b, AD = 2m;Проведем медиану ВА1 и на ее продолжении отложим А1С =А1В;Проведем сторону АС.113∆АВС — искомый. Докажем это:∆BA1D = ∆CA1A (по 1-му признаку равенства треугольников).Таким образом, АС = BD = bAB = aAA1 = AD = 2m : 2 = mАА1 — медиана.Таким образом, ∆АВС — искомый.№ 33.Дан треугольник. Постройте его высоты.Построение высоты сводится к построению перпендикуляра(см.
п. 47 учебника, стр. 60).№ 34.Постройте окружность, описанную около данного треугольника.Т.к. центр окружности, описанной около треугольника —точка пересечения серединных перпендикуляров, то построение сводится к построению перпендикуляров (задача№ 33).№ 35.Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.На произвольной прямой строим перпендикуляр длины катета, затем от вершины катета строим окружность с радиусом гипотенузы, после соединяем вершины.114№ 36.Постройте равнобедренный треугольник по боковой сторонеи высоте, опущенной на основание.См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
