pogorelov-gdz-7-2002f (546197), страница 5
Текст из файла (страница 5)
СА = СО – АО = OD – OB = BD)Таким образом, ∆САЕ = ∆EBD, следовательно, ∆CED — равнобедренный, (т.к. СЕ = ∠ED как лежащие против равных угловв равных треугольниках), что и требовалось доказать.№ 23.Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.Пусть AD = A1D1 — равные биссектрисы, ∠A = ∠A1, AC =A1C1 — равные стороны.В ∆АDС = ∆A1D1C1: ∠DAC = ∠D1A1C1 (т.к. ∠DAC половинаугла ∠BAC ∠DAC = ∠BAC : 2 = ∠B1A1C1 : 2 = ∠D1A1C1).AD = A1D1, АС = А1С1. (по условию: AD = A1D1 — равные биссиктрисы, AС = A1С1 — равные прилежащие стороны).58Таким образом, ∆ADC = ∆A1D1C1 по 1-му признаку равенстватреугольников, откуда ∠С = ∠С1 как лежащие против равныхсторон в равных треугольниках)В ∆АВС и ∆А1В1С1: АС = А1С1, ∠А = ∠А1 (по условию)∠С = ∠С1.Таким образом, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 1-му признаку равенствотреугольников, что и требовальсь доказать.№ 24.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ.
На ней взята точка D.Докажите равенство треугольников:1) ABD и CBD;2) AMD и CMD.Т.к. ВМ — медиана равнобедренного треугольника, то онаявляется и высотой и биссектрисой. Таким образом, ∠AMD =∠DMV = 90о, ∠ABD = ∠DBC,В ∆ABD и ∆DBC: АВ = ВС (т.к. ∆АВС равнобедренный),BD — общая.∠ABD = ∠DBC (т.к. ВМ — биссектриса).Таким образом, ∆ABD = ∆DBC по 1-му признаку равенстватреугольников.2)В ∆ADM и ∆MDC:АМ = МС (т.к. ВМ — медиана)591)DM — общая∠AMD = ∠DMC = 90оТаким образом, ∆ADM = ∆MDC по 2-му катетам, что и требовалось доказать.№ 25.Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него1) медиана BD является высотой;2) высота BD является биссектрисой;3) биссектриса BD является медианой.В ∆ABD и ∆DBC:1) Если BD — медиана и высота, то AD = DC, ∠ADB =∠CDB = 90°, BD — общая.
∆ABD = ∆CBD по двум катетам.Откуда АВ = ВС, таким образом, ∆АВС — равнобедренный.2) Если BD — высота и биссектриса, то ∠ABD = ∠DBC,∠ADB = ∠BDC, BD — общая. ∆ABD = ∆CBD по 2катету и двумприлежащим углам.Откуда АВ = ВС, таким образом, ∆АВС — равнобедренный.3) Если BD — биссектриса и медиана:Продлим BD до точки В1, так, что BD = DB1.В ∆ABD и ∆СDB1:AD = DC (т.к. ВD — медиана)BD = DB1∠ADB = ∠CDB1 (из построения, как вертикальные).60Таким образом, ∆ABD = ∆CDB1 по 1-му признаку равенстватреугольников.Откуда ∠ABD = ∠CB1D, АВ = В1С.Аналогично ∆ADB1 = ∆BDC.∠AB1D = ∠DBC, АВ1 = ВС.Т.к. ∠АВD = ∠DBC (т.к.
BD — биссектриса), то ∠ABD =∠DBC = ∠AB1D.∆ВВ1А — равнобедренный, т.к. ∠ABD = ∠AB1D,Таким образом, АВ = АВ1; т.к. АВ1 = ВС, то АВ = ВС.Следовательно, ∆АВС — равнобедренный по определению.№ 26.Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведенные к основанию, лежатна одной прямой.В ∆АВС: ВО — медиана, а значит, и высота (∆АВС — равнобедренный). Таким образом, ВО ⊥ АС.В ∆ADC: DO — медиана, а значит, и высота (∆ADC — равнобедренный). Таким образом, DO ⊥ АС.Таким образом, к отрезку АС через точку О проведены дваперпендикуляра. По теореме 2.3 через точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикуляр, и притом единственный.Таким образом, медианы лежат на одной прямой.61№ 27.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника ABD — 40 м.РАВС = АВ + ВС + АСРАВС = 2АВ + АС (т.к.
АВ = ВС)50 = 2АВ + АС.25 = AB +621AC ,2PABD = AB + BD + AD = АВ + BD +1AC (т.к. ВD — медиана)240 = 25 + BDBD = 40 – 25 = 15.Ответ:15 м.№ 28.Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника,проведенная из вершины, противолежащей основанию, являетсямедианой и высотой.Задача решена в п. 26 учебника (стр. 34).№ 29.У треугольников АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, ∠С =∠С1 = 90о.
Докажите, что ∆АВС = ∆А1В1С1.63Доказано в п. 27 учебника (стр. 35.).№ 30.Докажите, что у равнобедренного треугольника высота а,опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.Исходя из утверждения задачи № 29, выходит, что ∆ABD =∆DBC, таким образом, AD = DC как стороны, лежащие в равныхтреугольниках против равных углов, следовательно, BD — медиана.∠ABD = ∠DBC (следовательно, BD — биссектриса), что итребовалось доказать.№ 31.Треугольники АВС и АВС1 равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников АСС1 и ВСС1.64В ∆АСС1 и ∆ВСС1:АС = СВ,АС1 = С1В (т.к. ∆АСВ и ∆АВС1 — равнобедренные)СС1 — общая.Таким образом, ∆АСС1 = ∆ВСС1 (по 3-му признаку равенстватреугольников).№ 32*.Точки А, В, С, D лежат на одной прямой.
Докажите, что еслитреугольники АВЕ1 и АВЕ2 равны, то треугольники CDE1 и CDE2тоже равны.ВЕ1 = ВЕ2, ∠АВЕ1 = ∠АВЕ2, т.к. ∆АВЕ1 = ∆АВЕ2.(из условия)В ∆Е1ВС и ∆Е2ВС:ВС — общая∠Е1ВС = ∠Е2ВС (т.к. ∠Е1ВС = 180о – ∠АВЕ1 = 180о – ∠АВЕ2= ∠Е2ВС) (смежные с рвными углами).ВЕ1 = ВЕ2.(по условию)Таким образом, ∆Е1ВС = ∆Е2ВС по 1-му признаку равенстватреугольников.Откуда Е1С = Е2С как лежащие против равных углов в равныхтреугольникахи ∠ВСЕ1 = ∠ВСЕ2.В ∆CDE1 и ∆CDE2:Е1С = Е2С,65∠E1CD = ∠E2СD, т.к.
∠Е1CD = 180o – ∠ACE1 = 180o – ∠ACE2= ∠E2CD (смежные с равными углами).Таким образом, ∆CDE1 = ∆CDE2 по 1-му признаку равенстватреугольников.№ 33.Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.В ∆AOD и ∆COВ:АО = ОВ, СО = OD (т.к. О — середина отрезков АВ и CD).∠СОВ = ∠AOD (как вертикальные).Таким образом, ∆AOD = ∆СОВ по 1-му признаку равенстватреугольников. Откуда AD = CВ (как лежащие против равныхуглов в равных треугольниках).Аналогично ∆АОС = ∆DOB и АС = DB.В ∆ACD и ∆BDC:AD = CB (из условия),AC = DB (из условия),CD — общая.Таким образом, ∆ACD = ∆BDC по 3-му признаку равенстватреугольников.№ 34.Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.66BD = B1D1, т.к.
BD =11BC = B1C1 = B1D1 (по условию).22В ∆ABD и ∆A1B1D1:AB = A1B1, AD = A1D1, BD = B1D1, таким образом, ∆ABD =∆A1B1D1 по 3-му признаку равенства треугольников.Откуда ∆ABD = ∆A1B1D1.В ∆АВС и ∆А1В1С1:АВ = А1В1ВС = В1С1 (по условию задачи)∠ABD = ∠A1B1D1, таким образом, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 1-мупризнаку равенства треугольников.№ 35.Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если отрезкиАС, СВ, BD и AD равны, то луч АВ является биссектрисой углаCAD и луч CD — биссектрисой угла АСВ.В ∆ACD и ∆BCD:По условию: AC = CB, AD = DB, CD — общая.67Таким образом, ∆ACD = ∆BCD (по 3-му признаку равенстватреугольников), откуда ∠ACD = ∠BCD, ∠ADC = ∠CDB (как углы, лежащие в равных треугольниках против равных сторон).Следовательно, CD — биссектриса ∠АСВ.Аналогично доказываем, что ∆АСВ = ∆ADB и ∠СВА = ∠DBA,∠DAB = ∠CАВ.Таким образом, АВ — биссектриса ∆АСВ, что и требовальсьдоказать.№ 36.Докажите, что в № 35 прямые АВ и CD перпендикулярны.∆ADC, ∆ACB, ∆CBD, ∆BDA являются равнобедренными поопределению (т.к.
у них 2 стороны равны), таким образом, биссектрисы АО, ОВ, СО, OD являются высотами соответствующихтреугольников.68Следовательно, АО ⊥ CD и ОВ ⊥ CD, а это по т. 2.3. возможнолишь если АВ ⊥ CD, что и требовалось доказать.№ 37.Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и D лежатпо разные стороны от прямой АВ. Докажите, что1) треугольники CBD и DAC равны;2) прямая CD делит отрезок АВ пополам.Т.к. ∆АВС = ∆ABD, то АС = BD, CB = AD, ∠CAO = ∠ОВD.1) В ∆CBD и ∆DAC:CD — общаяАС = DB, AD = CB (из условия).Таким образом, ∆CBD = ∆DAC по 3-му признаку равенстватреугольников, таким образом, ∠CDB = ∠DCA.2) В ∆АОС и ∆DOB:АС = BD, ∠CAO = ∠OBD, ∠CDB = ∠DCA.Таким образом, ∆АОС = ∆DOB по 2-му признаку, откуда АО= ОВ. Следовательно, отрезок BD делит отрезок АВ пополам, чтои требовалось доказать.№ 38.Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке О так,что АО = OD.
Докажите равенство треугольников АВС и DCB.В ∆АОС и ∆DOB:69AO = OD (по условию),ОС = ОВ (т.к. ОС = DC – DO = AB – AO = OD),∠АОС = ∠DOB (как вертикальные).Таким образом, ∆АОС = ∆DOB по 2-му признаку равенстватреугольников, откуда АС = DB (как лежащие в равных треугольниках против равных углов).В ∆АВС и ∆DCB:AC = DB (из условия),AB = CD (из условия),ВС — общая.Таким образом, ∆АВС = ∆DCB по 3-му признаку равенстватреугольников, что и требовалось доказать.№ 39.Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины.Продлим медианы так, чтобы:BD = DO, B1D1 = D1O1.В ∆ADO и ∆DBC:AD = DC (из условия)BD = DO (по построению)∠ADO = ∠BDС (как вертикальные).70Таким образом, ∆ADO = ∆BDC по 1-му признаку равенстватреугольников; откуда АО = ВС как лежащие в равных треугольниках против равных углов, ∠AOD = ∠DBC.Аналогично ∆A1D1O1 = ∆D1B1O1 и А1О1 = В1С1, ∠A1O1D1 =∠D1B1С1.Т.к.
ВС = В1С1, то АО = А1О1.В ∆АОВ и ∆А1О1В1:АВ = А1В1 (из условия),АО = А1О1 (по построению),ВО = В1О1 (по построению),Таким образом, ∆АВО = ∆А1В1О1 по 3-му признаку равенстватреугольников.Откуда ∠ABD = ∠A1B1D1, ∠A1O1D1 = ∠D1B1C1. Т.к. ∠AOD =∠DBC и ∠A1O1D1 = ∠D1B1C1, то ∠DBC = ∠D1B1C1.∠АВС = ∠ABD + ∠DBC71∠A1B1C1 = ∠A1B1D1 + ∠D1B1C1, т.к. правые части равны, то илевые должны быть равны.Следовательно ∠АВС = ∠А1В1С1.В ∆АВС и ∆А1В1С1:∠АВС = ∠А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1 (из условия).Таким образом, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 1-му признаку равенстватреугольников, что и требовалось доказать.№ 40.Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана.В ∆BDC и ∆B1D1C1:BD = B1D1 (из условия),11DC = D1C1 ( DC = AC = A1C1 = D1C1 ) (т.к.
D и D1 — середи22ны сторон АС и А1С1 соответственнно)∠BDC = ∠B1D1C1 (из условия).72Таким образом, ∆BDC = ∆B1D1C1 по 1-му признаку равенстватреугольников. Откуда ВС = В1С1.Аналогично ∆ADB = ∆A1D1B1 и АВ = А1В1.В ∆АВС и ∆А1В1С1:АВ = А1В1 (из равенства ∆ADB = ∆A1D1B1ВС = В1С1 (из равенства ∆ВDС = ∆В1D1С1АС = А1С1 (из условия)Таким образом, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 3-му признаку равенстватреугольников, что и требовалось доказать.73§ 4. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА№ 1.Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну издвух параллельных прямых, то она пересекает и другую.Пусть а и b — параллельные прямые, и пусть прямая с пересекает прямую а. Допустим, c не пересекает b, тогда через данную точку проходят 2 прямые, параллельные прямой b, но этоневозможно, таким образом, пришли к противоречию.№ 2.Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых.Пусть прямые а и b пересекаются в точке А.
Допустим, что bне пересекает с, тогда b || c, но исходя из предыдущей задачи, т.к.а пересекает b в точке А, то она пересекает и с в некоторой точке.№ 3.Дано: a || b || c || d. Докажите, что a || d.74Т.к. b || c и b || c, то по определению параллельности b || d. Т.к.a || b и b || d, то a || d.№ 4.Прямые АВ и CD параллельны. Докажите, что если отрезокВС пересекает прямую AD, то точка пересечения принадлежитотрезку AD.Задача решена в п. 29 учебника (стр. 42).№ 5.Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка В1, а настороне АС — точка С1.
Назовите внутренние односторонние ивнутренние накрест лежащие углы при прямых АВ, АС и секущей В1С1.1)2)внутренние односторонние углы:∠АВ1С и ∠АС1В1∠ВВ1С1 и ∠СС1В1внутренние накрест лежащие углы:∠АВ1С1 и ∠АС1В1∠ВВ1С1 и ∠СС1В1.№ 6.Назовите внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы на рисунке.75Внутренние односторонние углы:∠2 и ∠3, ∠1 и ∠4.Внутренние накрест лежащие углы:∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4.№ 7.Отрезки AD и ВС пересекаются. Для прямых АС и BD и секущей ВС назовите пару внутренних накрест лежащих углов.Для тех же прямых и секущей АВ назовите пару внутренних односторонних углов.
Объясните ответ.∠АСВ и ∠CBD — внутренние накрест лежащие углы, т.к.точки А и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ВС. ∠ABD и ∠САВ — внутренние односторонние углы, т.к.точки C и D лежат в одной полуплоскости относительно прямойАВ, в той полуплоскости, где лежит точка пересечения отрезковAD и ВС.76№ 8.Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой АВ.Задача решена в п. 31 учебника (стр. 44).№ 9.Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, тоесть лежат на параллельных прямых.∠MFO = ∠FOL как внутренние накрест лежащие углы.∠MFO = ∠1 + ∠2, ∠1 = ∠2, потому что FD — биссектриса.∠FOL = ∠3 + ∠4, ∠3 = ∠4, потому что OK — биссектриса.Таким образом, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
