pogorelov-gdz-7-2002f (546197), страница 3
Текст из файла (страница 3)
21).№ 4.Найдите смежные углы, если1) один из них на 30° больше другого;2) их разность равна 40°;3) один из них в 3 раза меньше другого;4) они равны.По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных угловравна 180о.1) Пусть градусная мера одного угла х, тогда другого — х +30. Составим уравнение:х + х + 30 = 180,2х = 150,х = 75х + 30 = 75 + 30 = 105.Получаем, что смежные углы равны 75о и 105о.2) Пусть градусная мера одного угла х, тогда второго — х +40. Составим уравнение:х + х + 40 = 180,2х = 140,х = 70;х + 40 = 70 + 40 = 110.Получаем, что смежные углы равны 70о и 110о.263) Пусть градусная мера одного угла х, тогда второго — 3х.Составим уравнение:х + 3х = 180,4х = 180,х = 45;3х = 3 · 45 = 135.Получаем, что смежные углы равны 45о и 135о.4) Получаем, что градусная мера каждого из углов равна180 : 2 = 90, следовательно, смежные углы равны по 90о.Ответ:1) 75о и 105о;2) 70о и 110о;3) 45о и 135о;4) 90о и 90о.№ 5.Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают1) 6 ч;2) 3 ч;3) 4 ч?1)2)273)Ответ:1) 180о;2) 90о;3) 120о.№ 6.Найдите смежные углы, если их градусные меры относятсякак1) 2:3;2) 3:7;3) 11:25;4) 22:23.По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных угловравна 180о.1) Пусть градусная мера одного угла 2х, тогда второго —3х.
Составим уравнение:2х + 3х = 180,5х = 180,х = 36;2х = 2 · 36 = 72;3х = 3 · 36 = 108.Получаем, что смежные углы равны 72о и 108о.2) Пусть градусная мера одного угла 3х, тогда второго —7х. Составим уравнение:3х + 7х = 180,10х = 180,х = 18;283х = 3 · 18 = 54; 7х = 7 · 18 = 126.Получаем, что смежные углы равны 54о и 126о.3) Пусть градусная мера одного угла 11х, тогда второго —25х. Составим уравнение:11х + 25х = 180,36х = 180,х = 5;11х = 11 · 5 = 55;25х = 25 · 5 = 125.Получаем, что смежные углы равны 55о и 125о.4) Пусть градусная мера одного угла 22х, тогда второго —23х. Составим уравнение:22х + 23х = 180,45х = 180,х = 4;22х = 22 · 4 = 88;23х = 23 · 4 = 92.Получаем, что смежные углы равны 88о и 92о.Ответ:1) 72о и 108о;2) 54о и 126о;3) 55о и 125о;4) 88о и 92о.№ 7.Один из углов, которые получаются при пересечении двухпрямых, равен 30°.
Чему равны остальные углы?Пусть ∠АОВ = 30о (см. рис.)29∠АОВ = ∠COD, как вертикальные углы, значит, ∠COD = 30о.∠АОВ и ∠ВОС — смежные углы. Сумма смежных углов равна 180о. Значит, ∠ВОС = 180о – ∠АОВ = 180о – 30о = 150о.∠ВОС и ∠AOD — вертикальные углы, а следовательно ониравны. Значит, ∠AOD = 150о.Ответ:30о, 150о, 150о.№ 8.Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют всумме 100°?Из рисунка:∠ВОС и ∠COD — смежные углы;∠ВОС и ∠АОВ — смежные углы.∠COD и ∠АОВ — вертикальные углы, которые равны междусобой и по условию в сумме составляют 100о. Значит, каждый изэтих углов равен 100о : 2 = 50о.∠АОВ + ∠ВОС = 180о (по теореме о сумме смежных углов).Следовательно, ∠ВОС = 180о – 50о = 130о.Ответ:130о.№ 9.Сумма двух углов, которые получаются при пересечениидвух прямых, равна 50°.
Найдите эти углы.Задача решена в п. 15 учебника (стр. 23).30№ 10.Один из углов, образованных при пересечении двух прямых,в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.Из рисунка:∠1 и ∠3 — вертикальные, следовательно, они равны.∠2 и ∠4 — вертикальные, следовательно, они равны.∠1 и ∠2 — смежные углы, ∠1 + ∠2 = 180о.∠4 и ∠3 — смежные углы, ∠3 + ∠4 = 180о. Получаем, что∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360о.Пусть градусная мера первого угла х, тогда второго — 4х. Составим уравнение:х + 4х + х + 4х = 360,10х = 360,х = 36;4х = 36 · 4 = 144.Имеем: ∠1 = 36о; ∠2 = 144о; ∠3 = 36о; ∠4 = 144о.Ответ:36о; 144о.№ 11.Один из углов, которые получаются при пересечении двухпрямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы.∠1 и ∠3 — вертикальные углы, следовательно, они равны.∠2 и ∠4 — вертикальные углы, следовательно, они равны.∠1 и ∠2 — смежные углы, ∠1 + ∠2 = 180о.∠3 и ∠4 — смежные углы, ∠3 + ∠4 = 180о.31Получаем, что ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180о + 180о = 360о.Пусть градусная мера второго угла х, тогда первого — х + 50.Составим уравнение:х + х + 50х + х + х + 50 = 360, 4х + 100 = 360, 4х = 260, х = 65.Итак, ∠2 = 65о, ∠4 = 65о, ∠1 = 115о, ∠2 = 115о.Ответ:65о, 115о.№ 12.Найдите углы, которые получаются при пересечении двухпрямых, если сумма трех из этих углов равна 270°.При пересечении двух прямых получается две пары смежныхуглов, сумма каждой 180о, значит, сумма всех четырех углов360о.
Если сумма трех из этих углов 270о, то четвертый угол равен 360о – 270о = 90о. Из рисунка: ∠1 = 90о.∠1 и ∠3 — вертикальные, значит, ∠1 = ∠3 = 90о.∠1 и ∠2 — смежные, следовательно, ∠1 + ∠2 = 180о, ∠2 =о90 .∠2 и ∠4 — вертикальные, следовательно, ∠2 = ∠4 = 90о.32При пересечении двух прямых получились углы 90о, 90о, 90о,90 .оОтвет:все углы прямые.№ 13.Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.Пусть градусная мера каждого из трех равных углов равна х.Сумма четырех углов при пересечении двух прямых равна 360о.Из рисунка: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360о, х + х + х + ∠4 = 360о, но∠4 и ∠2 — вертикальные, значит, ∠2 = ∠4, поэтому его градусная мера также равна х.
4х = 360, х = 90. При пересечении двухпрямых получились прямые углы, значит, они пересекаются подпрямым углом, следовательно, они перпендикулярны. Что и требовалось доказать.№ 14.Как с помощью линейки проверить, является ли прямым уголв чертежном угольнике?См. рис. 42 на стр.
27 учебника.№ 15.Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного угла, равного1) 30°;332) 52°;3) 172°?По определению биссектриса делит угол пополам, значит,угол между биссектрисой и стороной угла равен половине данного угла:1) 30о : 2 = 15о;2) 52о : 2 = 26о;3) 172о : 2 = 86о.Ответ:1) 15о;2) 26о;3) 86о.№ 16.Найдите угол, если его биссектриса образует со сторонойугол, равный1) 60°;2) 75°;3) 89°.По определению биссектриса делит угол пополам, следовательно, искомый угол равен удвоенному углу между биссектрисой и стороной искомого угла.1) 60о · 2 = 120о;2) 75о · 2 = 150о;3) 89о · 2 = 178о.Ответ:1) 120о;2) 150о;3) 178о.№ 17.Докажите, что биссектриса угла образует с его сторонами углы не больше 90°.Задача доказана в п. 18 учебника (стр.
25).34№ 18*.Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует сего сторонами равные острые углы, то он является биссектрисойугла.Пусть луч С образует равные острые углы со сторонами а и b.Проведем отрезок АВ, как показано на рисунке. Он пересекает прямую с либо на луче С, либо на его дополнении, но его дополнение он пересекать не может, т.к. в этом случае дополнениелуча С являлось бы биссектрисой, но по определению биссектриса не может образовывать со сторонами угла тупы углы.Таким образом, луч С проходит между сторронами угла.По определению биссектрисы луч С является биссектрисой,что и требовалось доказать.№ 19.Найдите угол между биссектрисами смежных углов.∠АОВ и ∠ВОС — смежные, и их сумма равна 180о (по свойству смежных углов).Пусть OK — биссектриса ∠АОВ; OD — биссектриса ∠ВОС.Выведем обозначения:∠BOD = х, а ∠AOK = у.Тогда 2х + 2у = 180о,х + у = 90о.∠KOD = х + у = 90о.35Ответ:90о.№ 20.Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.∠1 и ∠3; ∠2 и ∠4 — вертикальные.Проведем биссектрисы ∠1; ∠2; ∠3 и ∠4.∠1 и ∠2 — смежные.
Угол между биссектрисами смежныхуглов равен 90о (см. предыдущую задачу), т.е. ∠KOM = ∠MON =∠NOF = ∠FOK = 90o. Углы ∠KOM, ∠MON, ∠NOF и ∠FOKимеют общие стороны и общую вершину.Таким образом, KN ⊥ MF.36№ 21.Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной изсторон данного угла, равного1) 50о;2) 90о;3) 150о.Пусть угол KOC — данный, ОВ — его биссектриса.∠AOK + ∠KOC = 180о (т.к. они смежные).Т.к.
биссектриса по определению делит данный угол пополам, то ∠АОВ = 180о — ∠KOC : 2.1) 180о – 50о : 2 = 155о;2) 180о – 90о : 2 = 135о;3) 180о – 150о : 2 = 105о.Ответ:1) 155о;2) 135о;3) 105о.№ 22*.Из вершины О смежных углов АОВ и СОВ проведен луч OD вполуплоскость, где проходит общая сторона углов ОВ. Докажите, что луч OD пересекает либо отрезок АВ, либо отрезок ВС.Какой из отрезков пересекает луч OD, если угол AOD меньше(больше) угла АОВ? Объясните ответ.37Так как прямая OD пересекает сторону АС треугольника АВСв точке О, то она пересекает либо сторону АВ, либо сторону ВС(по теореме 1.1).Т.к. дополнительный луч к лучу OD лежит в разных полуплоскостях с отрезками АВ и ВС, точка пересечения прямой ODс одним из этих отрезков лежит на луче OD.Если ∠AOD больше ∠АОВ, то луч OD будет проходить между сторонами ∠ВОС и будет пересекать отрезов ВС; а в случае,когда угол AOD меньше угла АОВ, луч OD будет пересекать отрезок АВ.№ 23.Из вершины развернутого угла (аа1) в одну полуплоскостьпроведены лучи b и с.
Чему равен угол (bc), если1) ∠(ab) = 50o; ∠(ac) = 70о;2) ∠(a1b) = 50о; ∠(ас) = 70о;3) ∠(ab) = 60о; ∠(а1с) = 30о?1)38По свойству измерения углов∠(bc) = ∠(ac) – ∠(ab) = 70о – 50о = 20о.2)Т.к. ∠(аа1) = 180о, то по свойству измерения углов∠(аа1) = ∠(ас) + ∠(cb) + ∠(ba1)∠(bc) = ∠(aa1) – ∠(ac) – ∠(ba1) = 180о – 70о – 50о = 60о.3)∠(аа1) = ∠(ab) + ∠(bc) + ∠(ca1)∠(bc) = 180о – 60о – 30о = 90о.Ответ:1) 20о;2) 60о;3) 90о.№ 24.Из вершины развернутого угла (аа1) проведены лучи b и с водну полуплоскость. Известно, что ∠(ab) = 60о, ∠(ас) = 30о.
Найдите углы (a1b), (а1с) и (bc).∠(аа1) = 180о.∠(ab) + ∠(a1b) = 180о (т.к. они смежные).∠(a1b) = 180о – 60о = 120о.39∠(ас) + ∠(а1с) = 180о (т.к. они смежные).∠(а1с) = 180о – 30о = 150о, ∠(ab) = ∠(ас) + ∠(cb).∠(cb) = ∠(ab) – ∠(ас) = 60о – 30о = 30о.Ответ:120о; 150о; 30о.№ 25.От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углыВАС и BAD. Найдите угол CAD, если1) ∠ВАС = 80о, ∠BAD = 170о;2) ∠ВАС = 87о, ∠BAD = 98о;3) ∠ВАС = 140о, ∠BAD = 30о;4) ∠ВАС = 60о, ∠BAD = 70о.1)2)40∠CAD = ∠BAC + ∠BAD∠CAD = 80о + 170о = 250о, т.к. 250о > 180о, то ∠CAD =360о – 250о = 110о;∠CAD = 87о + 98о = 185о, т.к. 185о > 180о, то ∠CAD =360о – 185о = 175о;3)4)∠CAD = 140о + 30о = 170о;∠CAD = 60о + 70о = 130о.Ответ:1) 250о;2) 175о;3) 170о;4) 130о.№ 26*.Даны три луча а, b, с с общей начальной точкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
