pogorelov-gdz-7-2002f (546197), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Но ∠3 и ∠2 являютсявнутренними накрест лежащими при прямых DD1 и KK1 и секущей FO. Т.к .∠3 = ∠2, то прямые, содержащие биссектрисы, параллельны.№ 10.Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.В ∆DEB и ∆АЕС:DE = EC, AЕ = ЕВ (из условия).∠АЕС = ∠DEB (как вертикальные).77Таким образом, ∆DEB = ∆АЕС по 1-му признаку равенстватреугольников.Откуда ∠CDB = ∠DCA (как углы, лежащие против равныхсторон в равных треугольниках), которые являются внутренниминакрест лежащими для прямых АС и DВ и секущей DC. Следовательно, AC || DB.№ 11.Треугольники АВС и BAD равны.
Точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.Т.к. ∆АВС = ∆ABD, то ∠САВ = ∠ABD, а они являются внутренними накрест лежащими для прямых АС, BD и секущей АВ.Таким образом, АС || BD, что и требовалось доказать.№ 12.Угол АВС = 80о, а угол BCD = 120о. Могут ли прямые АВ иCD быть параллельными? Обоснуйте ответ.78Т.к.
80о ≠ 120о и 80о + 120о ≠ 180о, то они и не накрест лежащие, и не односторонние, таким образом, прямые АВ и CD непараллельны.Ответ:не могут.№ 13.Прямые АС и BD параллельны, прячем точки А и D лежат поразные стороны от секущей ВС. Докажите, что1) углы DBC и АСВ — внутренние накрест лежащиеотносительно секущей ВС;2) луч ВС проходит между сторонами угла ABD;3) углы САВ и DBA — внутренние односторонниеотносительно секущей АВ.Задача решена в п. 32 учебника (стр.
45).№ 14.1) Разность двух внутренних односторонних углов придвух параллельных прямых и секущей равна 30о. Найдите этиуглы.2) Сумма двух внутренних накрест лежащих углов придвух параллельных прямых и секущей равна 150о. Чему равныэти углы?791)ние).∠1 = 180о – ∠2 (т.к. ∠1 и ∠2 — внутренние односторон-∠1 = ∠2 + 30о (из условия),180о – ∠2 = ∠2 + 30о, 2 · ∠2 = 150,∠2 = 75о, ∠1 = 105о.2) Т.к. ∠3 = ∠2 (внутренние накрест лежащие углы), то2(∠3) = 150о∠3 = ∠2 = 75о.Ответ:1) 75о и 105о;2) 75о и 75о.№ 15.Один из углов, которые получаются при пересечении двухпараллельных прямых секущей, равен 72о. Найдите остальныесемь углов.Пусть ∠1 = 72о.∠1 = ∠3 = 72о (как вертикальные).∠3 = ∠5 = 72о (как накрест лежащие).∠5 = ∠7 = 72о (как вертикальные).∠2 = 180о – 72о = 108о (т.к. ∠1 и ∠2 — смежные).Остальные находятся аналогично:∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 108о.Ответ:72о, 72о, 72о, 108о, 108о, 108о,180о.№ 16.Один из углов, которые получаются при пересечении двухпараллельных прямых секущей, равен 30о.
Может ли один из остальных семи углов равняться 70о? Объясните ответ.80По предыдущей задаче углы будут равны либо 30о, либо 150о,но не 70о.Ответ:не может.№ 17.Докажите, что две прямые, параллельные перпендикулярнымпрямым, сами перпендикулярны.Пусть a ⊥ b, тогдаb || ca || d∠1 = ∠2 = 90о (как соответственные углы).∠2 = ∠4 = 90о (как накрест лежащие углы).Т. о. c ⊥ d.№ 18.Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угларавны1) 50о и 30о;2) 40о и 75о;3) 65о и 80о;4) 25о и 120о.Т.к.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180о, то ∠3 = 180о – (∠1 + ∠2).1) ∠3 = 180о – 30о – 50о = 100о2) ∠3 = 180о – 40о – 75о = 65о3) ∠3 = 180о – 65о – 80о = 35о4) ∠3 = 180о – 25о – 120о = 35о.81Ответ:1) 100о;2) 65о;3) 35о;4) 35о.№ 19.Найдите углы треугольника, если они пропорциональнычислам1) 1, 2, 3;2) 2, 3, 4;3) 3, 4, 5;4) 4, 5, 6;5) 5, 6, 7.Пусть ∠1 = х, тогда∠2 = 2х∠3 = 3х1) х + 2х + 3х = 180 (т.к. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180о)6х = 180х = 30Т. о.
углы треугольника: 30о; 60о; 90о.1)Аналогично:2) 2х + 3х + 4х = 180о, х = 20о∠1 = 40о, ∠2 = 60о, ∠3 = 80о.3) 3х + 4х + 5х = 180о, х = 14о∠1 = 45о, ∠2 = 60о, ∠3 = 75о4) 4х + 5х + 6х = 180о, х = 12о∠1 = 48о, ∠2 = 60о, ∠3 = 72о5) 5х + 6х + 7х = 180о, х = 10о∠1 = 50о, ∠2 = 60о, ∠3 = 70о.Ответ:821) 30о, 60о, 90о;2) 40о, 60о, 80о;3) 45о, 60о, 75о;4) 48о, 60о, 72о;5) 50о, 60о, 70о.№ 20.Может ли в треугольнике быть:1) два тупых угла;2) тупой и прямой углы;3) два прямых угла?Ответ:1) не может;2) не может;3) не может. Т.к. сумма углов треугольника равна180о, а в данных случаях сумма будет больше.№ 21.Может ли быть тупым угол при основании равнобедренноготреугольника?Если угол будет тупым, то сумма углов треугольника будетбольше 180о, но это не может быть, т.к.
сумма угло в треугольнике = 180о, т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.Ответ:не может.№ 22.Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренноготреугольника, если угол при основании у него равен1) 40о;2) 55о;3) 72о.Т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны и сумма углов треугольника равна 180о, то1) 180о – 2 · 40о = 100о;2) 180о – 2 · 55о = 70о;833)180о – 2 · 72о = 36о.Ответ:1) 100о;2) 70о;3) 36о.№ 23.Найдите угол при основании равнобедренного треугольника,если угол между боковым сторонами равен1) 80о;2) 120о;3) 30о.Пусть х — угол при основании, тогда, т.к. треугольник равнобедренный, то составим уравнение:1) 2х + 80о = 180о,х = (180о – 80о) : 2,х = 50о;2) (180о – 120о) : 2 = 30о;3) (180о – 30о) : 2 = 75о.Ответ:1) 50о;2) 30о;3) 75о.№ 24.Один из углов равнобедренного треугольника равен 100о.Найдите остальные углы.Т.к.
этот угол не может быть угло при основании (сумма углов в треугольнике тогда будет больше 180о), то это будет уголмежду боковыми сторонами.Из предыдущей задачи:1(180о – 100о) = 40о.2∠1 = 40о, ∠2 = 40о, ∠3 = 100о.Ответ:8440о, 40о.№ 25.Один из углов равнобедренного треугольника равен 70о. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?Пусть угол, равный 70о, является углом при вершине треугольника, тогда угол при основании будет:11(180о – 70о) = 110о = 55о.22∠1 = 55о, ∠2 = 55о, ∠3 = 70о.Пусть угол, равный 70о, является углом при основании, тогда:180о – 2 · 70о = 180о – 140о = 40о.∠1 = 70о, ∠2 = 40о, ∠3 = 70о.Ответ:2 решения:1) 40о и 70о или2) 55о и 55о.№ 26.Докажите, что если один из углов равнобедренного треугольника равен 60о, то этот треугольник равносторонний.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.1) Пусть угол при вершине треугольника равен 60о, тогда,т.к.
∠1 = ∠2, то 60о + ∠1 + ∠2 = 180о, ∠1 = ∠2 =1(180о – 60о) =260о. Таким образом, треугольник равносторонний.2) Пусть ∠60о — угол при основании, тогда 60о + 60о + ∠3= 180о, ∠3 = 60о. Таким образом, треугольник равносторонний.№ 27.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника АВС, еслиугол ADC равен1) 60о;2) 75о;3) α.85Пусть ∠1 = х, тогда:∠А + ∠1 + ∠CDA = 180о, ∠1 = ∠2 =1∠A (т.к. треугольник2равнобедренный).Исходя из условия, составим уровнения:1) 2х + х + 60 = 180,3х = 120,х = 40.∠А = 80о, ∠С = 80о, ∠АВС = 180о – 2 · 80о = 20о.2) 2х + х + 75 = 180,3х = 105,х = 35.∠А = 70о, ∠С = 70о, ∠В = 40о.3) 2х + х + α = 180,3х = 180 – α,αх = (180 – α) : 3 = 60 − ,3αααo∠A = 120 − 2 ⋅ , ∠C = 120 o − 2 ⋅ , ∠B = 4 ⋅ − 60 o333Ответ:1) 80о, 80о, 20о;2) 70о, 70о, 40о;ααα3) 120 o − 2 ⋅ , 120 o − 2 ⋅ , 4 ⋅ − 60 o .333№ 28.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36о, проведена биссектриса AD.
Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.86Углы при основании треугольника:1(180о – 36о) = 72о,21∠BAD = ∠DAC = 72о = 36о (т.к. AD — биссектриса).2∠ADC – 180о – (72о + 36о) = 72о.Т.к. ∠С = ∠ADC; ∠В = ∠BAD, то треугольники ABD и ADCравнобедренные.Что и требовалось доказать.№ 29.В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А иВ. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB, если1) ∠А = 50о, ∠В = 100о;2) ∠А = α, ∠В = β;3) ∠С = 130о;4) ∠С = γ.Так как BK и AL — биссектрисы, то ∠BAD = ∠DAC, ∠ABD =∠DBC.Рассмотрим ∆АВD:8711∠A + ∠B + ∠ADB = 180 o (т.к. сумма углов треугольника22равна180°).1∠ADB = 180o − (∠A + ∠B ) .211) ∠ADB = 180o − 50o + 100o = 180о – 75о = 105о21o2) ∠ADB = 180 − (α + β )23) ∠А + ∠В + ∠С = 180о, ∠А + ∠В = 180о – 130о1∠ADB = 180 o − ⋅ 50 o = 180о – 25о = 155о24) ∠А + ∠В = 180о – γ,γγ1∠ADB = 180 o − ⋅ 180 o − γ = 180 o − 90 o + = 90 o + .222((Ответ:))1) 105о;2) 180о – (α + β)/2;3) 155о;4) 90о + γ/2.№ 30.Чему равны углы равностороннего треугольника?Т.к.
у равностороннего треугольника все углы равны, то ∠1 =180o= 60o .∠2 = ∠3 =3Ответ:60о, 60о, 60о.№ 31.Под каким углом пересекаются биссектрисы двух внутренниходносторонних углов при параллельных прямых?Т.к. сумма двух односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180о, тогда сумма половины этих угловравна 90о, а угол пересечения биссектрис равен 180о – 90о = 90о.88Ответ:90о.№ 32.Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен70о. Найдите углы треугольника.Внутренний угол треугольника, смежный со внешним углом70о, равен 180о – 70о = 110о. Это может быть только угол междубоковыми сторонами, т.к. иначе сумма углов треугольника былабы больше 180о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
