pogorelov-gdz-7-2002f (546197), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Следовательно, точки Х и В совпадут, т.е. Х =13В, что неверно по предположению, значит такой точки Х не существует.№ 30.На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какаяиз трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объяснитеответ.Задача решена в п. 8 учебника (стр. 10).№ 31.На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если:1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м;2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см.1)ВС = АВ – АС = 1,5 м – 0,3 м = 1,2 м;2)ВС = АС – АВ = 4,4 см – 2 см = 2.4 см.Ответ:1) 1,2 м;2) 2,4 см.№ 33.На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равнасторона АВ треугольника, если AD = 5 см, а BD = 6 см?AB = AD + BD = 5 см + 6 см = 11 см.14Ответ:АВ = 11 см.№ 34.На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Найдитеугол С треугольника, если ∠ACD = 30°, а ∠BCD = 70°.По свойству измерения углов получим:∠ВСА = ∠ACD + ∠BCD = 30о + 70о = 100о.Ответ:∠ВСА = 100о.№ 36.Треугольники АВС и PQR равны.
Известно, что АВ = 5 см,ВС = б см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR.Объясните ответ.По условию треугольники АВС и PQR равны, значит, равны иих соответствующие стороны, тогда, AC = PR, АВ = PQ, BC =QR.15Получим: PQ = 5 см, PR = 7 см, QR = 6 см.Ответ:PQ = 5 см, PR = 7 см, QR = 6 см.№ 37.Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго треугольникаизвестны: ∠P = 40°, ∠Q = 60°, ∠R = 80°.
Найдите углы треугольника АВС.По условию треугольники АВС и PQR равны, значит, у нихравны и соответствующие углы, получаем:∠B = ∠Q, ∠С = ∠R, ∠A = ∠P.Следовательно, ∠С = 80о, ∠В = 60о, ∠А = 40о.Ответ:∠С = 80о, ∠В = 60о, ∠А = 40о.№ 38.Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВравна 10 м, а угол С равен 90°.
Чему равны сторона PQ и угол R?Объясните ответ.Задача решена в п. 9 учебника (стр. 12).№ 39.Треугольники АВС, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ=5см, QR=6 см, ZX=7 см. Найдите остальные стороны каждоготреугольника.По условию треугольники АВС, PQR и XYZ равны, значит, уних:АВ = PQ = XY, значит, PQ = XY = 5 см;СА = RP = ZX, значит, СА = RP = 7 см;ВС = QR = YZ, значит, ВС = YZ = 6 см;Ответ:16PQ = 5 см, XY = 5 см, СА = 7 см, RP = 7 см,ВС = 6 см, YZ = 6 см.№ 40.Дан треугольник АВС. Существует ли другой, равный емутреугольник ABD?Из основного свойства простейших фигур, существует равный ему треугольник относительно данной полупрямой.
Чтобыего найти, достаточно построить точку D, симмитричную точкеС относительно прямой и соединить ее с точками А и В.Ответ:существует.№ 41.Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельныхпрямых, не пересекать другую? Объясните ответ.Задача решена в п. 11 учебника (стр. 13).№ 42.Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных?Пусть А — точка пересечения прямых а и b. Предположим,что мы провели прямую с, параллельную прямым а и b. Этозначит, что через точку А проходят две прямые а и b, парал17лельные с, что противоречит аксиоме: через точку, не лежащуюна прямой можно провести единственную прямую, паралельную данной.cAbaОтвет:нельзя.№ 43.Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершинтреугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?Не может.18По теореме: если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекаеттолько одну из двух других сторон.
Следовательно, не может.№ 44*.Даны четыре различные точки А, В, С и D. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D также лежатна одной прямой. Докажите, что все четыре точки А, В, С, D лежат на одной прямой.Прямые проходят через точки В и С. По аксиоме через любыедве различные точки можно провести единственную прямую иполучаем, что это одна и та же прямая. Так как она проходит через точки А, В, С и В, С, D, то все четыре точки А, В, С и D лежат на этой прямой.
Что и требовалось доказать.№ 45*.Даны четыре прямые а, b, с и d. Известно, что прямые а, b, спересекаются в одной точке и прямые b, с, d также пересекаютсяв одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку.Прямые а, b, c пересекаются в одной точке, следовательно,прямая а проходит через точку пересечения прямых b и с. Пря19мые b, с, d пересекаются в одной точке, следовательно, прямая dпроходит через точку пересечения прямых b и c.Две различные прямые не могут иметь двух точек пересечения, значит, прямые а и d проходят через одну точку пересечения прямых b и с, и, следовательно, все четыре прямые проходятчерез одну точку.
Что и требовалось доказать.№ 46*.Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Известно, чтопрямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются.Прямая АВ пересекает отрезок CD, следовательно, точка пересечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку CD.Прямая CD пересекает отрезок АВ, следовательно, точка пересечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку АВ.Точка пересечения прямых АВ и CD принадлежит отрезку АВи отрезку CD, получаем, что отрезки АВ и СD пересекаются вэтой точке.
Что и требовалось доказать.№ 47*.Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка B1 а на стороне ВС — точка A1. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются.Прямая ВВ1 пересекает сторону АС в точке В1, следовательно, точки А и С располагаются в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ1. Две прямые не могут иметь двух точекпересечения, следовательно, отрезок А1С не пересекает прямуюВВ1, и точки А1 и С лежат в одной полуплоскости относительнопрямой ВВ1.Так как точки А1 и С расположены в одной полуплоскости, аточки А и С — в разных полуплоскостях относительно прямойВВ1, то точки А и А1 расположены в разных полуплоскостях, иследовательно отрезок АА1 пересекает прямую ВВ1.20Рассмотрим положение точек относительно прямой АА1.
Точки В и С лежат в разных полуплоскостях, а точки В1 и С — в одной полуплоскости относительно прямой АА1. Значит, точки В иВ1 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АА1 иследовательно отрезок ВВ1 пересекает прямую АА1.Точка пересечения прямых АА1 и ВВ1 лежит и на отрезке АА1,и на отрезке ВВ1, следовательно, эти отрезки пересекаются. Чтои требовалось доказать.№ 48*.Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямуюBD.Две прямые не могут иметь двух точек пересечения, значит,отрезок ЕС не пересекает прямую DB, и точки Е и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой DВ.Отрезок АЕ не пересекает прямую DB и точки А и Е лежат водной полуплоскости относительно прямой DB.Точки А и Е и точки С и Е лежат в одной полуплоскости относительно прямой DB, значит, точки А и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой DВ, и отрезок АС не пересекаетпрямую DB.
Что и требовалось доказать.21№ 49*.Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пересекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересекает1) отрезок АС с концами на сторонах угла;2) любой отрезок CD с концами на сторонах угла.1) Пусть K — точка пересечения луча с отрезком АВ. Прямая OK пересекает отрезок АВ, следовательно, точки А и В лежатв разных полуплоскостях относительно прямой OK. Точки В и Слежат в одной полуплоскости, так как отрезок ВС не пересекается с прямой OK, а точки А и С лежат в разных полуплоскостях,получаем, что прямая OK пересекает отрезок АС в некоторойточке, обозначим ее буквой Е.Прямая ВС разбивает плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит данный луч OK и точка А (поскольку отрезок AK не пересекает прямую ОВ) и точка Е (посколькуотрезок АЕ не пересекает прямую ОВ).
Значит, точка Е должналежать на луче OK.2) Пусть CD — произвольный отрезок с концами на сторонах угла, и точка С лежит на стороне ОВ, а точка D на сторонеОА. Отрезок АВ пересекает луч OK, значит, луч OK пересекает иотрезок АС, а если луч пересекает АС, то луч будет пересекать иотрезок CD.Что и требовалось доказать.22№ 50.Докажите, что две прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.Пусть даны две не параллельные прямые а и b, следовательно, они имеют общие точки.
Если они имеют одну общую точку,то, это значит, что они пересекаются, если бы они имели две общие точки, то через эти точки проходили бы две различные прямые, что противоречит основному свойству принадлежноститочек и прямых: через две различные точки можно провестипрямую и притом только одну.Что и требовалось доказать.№ 51*.Точки А и С принадлежат прямой а. На полупрямой СА отложен отрезок СВ, больший отрезка СА.1) Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.2) Докажите, что точка А разбивает прямую а на двеполупрямые АВ и АС.Точки А и В лежат на одной полупрямой с началом в точке С,следовательно, точка С не лежит между точками А и В.Пусть В лежит между А и С, тогда АС = АВ + СВ и АС > СВ,что противоречит условию: СВ > АС, следовательно, В не лежитмежду точками А и С.23Из трех точек одна и только одна лежит между двумя другими. На основании предыдущих рассуждений приходим к выводу,что точка А лежит между точками В и С.Через точку А проведем прямую b, отличную от прямой а.Точка А лежит между точками В и С, следовательно, отрезок ВСпересекает прямую b, получаем, что точки В и С лежат в разныхполуплоскостях относительно прямой b, и по разные стороны отточки А.
Все точки прямой а, лежащие в одной полуплоскости сточкой С, расположены по одну сторону от точки А и образуютодну полупрямую АС, а все точки прямой а, расположенные водной полуплоскости с точкой В, тоже будут лежать по однусторону от точки А и образуют полупрямую АВ.Что и требовалось доказать.24§ 2. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ№ 1.Найдите углы, смежные с углами 30°; 45°; 60°; 90°.По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных угловравна 180о, имеем:1) 180о – 30о = 150о;2) 180о – 45о = 135о;3) 180о – 60о = 120о;4) 180о – 90о = 90о.Ответ:150о; 135о; 120о; 90о.№ 2.Могут ли два смежных угла быть оба1) острыми,2) тупыми;3) прямыми? Обоснуйте ответ.По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных угловравна 180о, имеем:1) Угол, меньший 90о, называется острым.
Сумма двух острых углов меньше 180о, значит, оба смежных угла не могут бытьострыми.2) Угол, больший 90о и меньший 180о, называется тупым.Сумма двух тупых углов больше 180о, значит, оба смежных углане могут быть тупыми.3) Угол, равный 90о, называется прямым. Сумма двух прямых углов равна 180о, значит, оба смежных угла могут быть25прямыми (заметим, что если один из смежных углов прямой, тодругой обязательно будет прямым).Ответ:1) не могут;2) не могут;3) могут.№ 3.Найдите смежные углы, если один из них в два раза большедругого.Задача решена в п. 14 учебника (стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
