atnasyan-gdz-7 (546185), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1+2=3 – противоречие с неравенством треугольникаб) треугольник не существует, так как 1,2+1<2,4.249.ВАСДано: AB=BC, а=25 см, b=10 см.Какая из сторон является основанием?B=AC=10 см, а+а=АВ+ВС>AC, 25+25>10 – верно;если АС=25, то АВ=ВС=10, 10+10<25 – противоречие с неравенством треугольника.Значит, основание b=10 см.80250а) а=5 см, b=3 см, с=?⎡5 + 5 > 3Из ∆АВС – равнобедренный, следует с=5 см или с=3 см ⎢—⎣3 + 3 > 5верно.б) а=8 см, b=2 см, с=?Из ∆АВС – равнобедренный, следует с=8 см. 8+8>2 – верно.в) а=10 см, ∆b=5 см, с=?Из ∆АВС – равнобедренный, следует с=10 см.
10+10>5 – верно.251.Решение приведено в книге252.Дано: ∠1>∠2, РАВС=74 см,АС=16 см, АВ, ВС=?BРешениеИз ∠1=∠2, следует ∠А=∠С12как целые смежные с равнымиАСDуглами, значит, ∆АВС – рав- Енобедренный по признаку.Пусть АС =16 см, и АВ=ВС=х см, тогда АВ+ВС+АС=74, илих+х+16=74, 2х=58, х=29, АВ+ВС=29 см; 29+29>16 – верно.Пусть АВ=ВС=16 см, и АС=х см, тогда 16+16+х=74, 32+х=74,х=74-32, х=42, АС=42 см, но 16+16<42 – противоречие с неравенством треугольника, значит второе предположение неверно, а вернотолько первое.Ответ: 16 см; 29 см; 29 см.253.Дано: АВ=ВСРАВС=25 см.∠DBC – острый.АВ, ВС, АС = ?РешениеПусть АВ=ВС =х см, тогда АС=х+4смРАВС=АВ+ВС+АС, значит25=х+х+х+4, 21=3х, тогда х=7, следовательно, АВ=ВС=7 см, АС=11 см.Ответ: 7 см, 7 см, 11 см.DВАС81§ 3 Прямоугольные треугольники254.ВАСДано: АС=ВС, ∠С=90°, ∠А, ∠В = ?Решение∠А+∠В=90° (по свойству прямоугольного треугольника),∠А=∠В, значит ∠А=∠В=90°:2=45°.Ответ: 45°, 45°.255.DFCE256.ВА 60СДано: CD=DE, ∠D=54°, ∠С=∠Е=126:2=63°∠FCD=90°-∠D (по свойству прямоугольноготреугольника),∠FCD=90°-54°=26°,∠ECF=∠C-∠FCD=63°-26°=37°.Ответ: 37°.Дано: ∠С=90°, ∠А=60°, АВ+АС=26,4 см, АВ=?Решение∠В=90°-∠А (по свойству прямоугольного треугольника), ∠В=90°-60°=30°Т.к.
сторона, лежащая против угла 30°, равнагипотенузы, то АС=АВ+АС=26,4 значит АВ+121АВ21АВ=26,4, т.е. АВ=17,6 см.2Ответ: 17,6 см.257.В120°А82СДано: ∠С=90°, внешний при : ∠СА=120°,АС+АВ=18 см, АС, АВ=?Решение∠ВАС=180°-120°=60° - по свойству смежных углов, ∠В=90°-∠А (по свойству углапрямоугольного треугольника)значит ∠В=90°-∠60°=30°, и следовательно,по свойству прямоугольного треугольникаимеем, что АС =1АВ, АВ=2АС.2АС+АВ=18, значит АС+2АС=18 т.е. АС=6 см.Ответ: 6 см; 12 см.258.ВАВ=ВС=АС=12 см, ВD=DC, ∠DMC=90°.АМ=?РешениеD∆АВС – равносторонний∠В=∠А=∠С=180°:3=60°М CА∠МDC=90°-∠С (по свойству прямоугольноготреугольника), ∠МDC=90°-60°=30°, и по свойству прямоугольноготреугольника МС=МС=11DC; BD=DC, значит DC= ВС, т.е.221ВС=3 см.4АМ=АС-МС=12-3=9 см.Ответ 9 см.259.NДано: АВ=ВС, ∠В=120°; ∠ANB=90°;BAN=9, АС=?Решение120°АВ=ВС, значит ∠ВАС=∠ВСА.30°30∠ВАС+∠ВСА=180°-120°=60° – по тео- АСреме о сумме углов треугольника.Тогда ∠ВАС=∠ВСА=60°:2=30°, следовательно по свойству прямоугольноготреугольникаАС=9 ⋅ 2=18 см.Ответ 18 см.AN=1АС,2значит260.Дано: АВ=ВС=15,2; ∠ВВ1С=90°, ВВ1=7,6 см∠А, ∠В, ∠С=?РешениеВ1Из условия видим ВВ1= ВС, тогда по свой2ствупрямоугольного∠ВАС=∠ВСА=300°треугольникаАС=AN ⋅ 2,А∠ВСВ1=30°,В1Сзначит83∆АВС – равнобедренный, но ∠АВС=180°-∠А-∠С=180°-30°30°=120° (сумма углов треугольника).Ответ: 30°; 30°; 120°.261.Дано: АВ=ВС, АА1, СС1 – высоты.Доказать: АА1=СС1.ВС1А1Доказательство∆АВСравнобедренный,значит∠С1АС=∠А1САС ∠А1АС=90°-∠ А1СА=А=90°-∠ С1АС=∠АСА1Рассмотрим ∆А1АС и ∆С1СА: сторона АС – общая∠А1АС=∠ С1СА, ∠ С1АС=∠ А1СА по 2-му признаку равенства треугольников.Значит ∆А1АС=∆С1САСледовательно, АА1=СС1Что и требовалось доказать.262.В1СС1DD1AВ12A1Дано: ∠А=∠А1=90°, ∠В=∠В1, BD, B1D1 – биссектрисы, BD= B1D1.Доказать ∆АВС=∆А1В1С1Доказательство:∠В=∠В1, BD и B1D1 – биссектрисы, ∠1=∠2Рассмотрим ∆А1В1D1 и ∆АВD: BD=B1D1, ∠1=∠2Значит ∆АВD=∆А1В1D1 (по гипотенузе и острому углу)Следовательно АВ=А1В1Рассмотрим ∆А1В1С1 и ∆АВС:АВ=А1В1∠В=∠В1∠А=∠А1=90°Значит ∆АВС=∆А1В1С1 по второму признаку равенства треугольников.84263.Дано: АВ=АС, СС1, ВВ1 –высота, ∠ВМС=140°, ∠А, В,С=?ВС1М140°Решение1180°-140°=∠1 (как смежные)∠1=40°, значит ∠В1СС1=90°-40°=50° ( по свойству углов АСВ1прямоугольного треугольника), ∠А=90°-∠В1СС1=90°-50°=40°, ∠В+∠С=180°-∠А (сумма угловтреугольника).Тогда ∠В+∠С=180°-40°140°; т.к.
АВ=АС, то ∠В=∠С=70°.Ответ: 40°; 70°; 70°.264.Дано: АА1 и ВВ1 – высоты,∠А=55°, ∠В=67°, ∠АМВ=?Решение∠АВВ1=90°-∠ВАВ1=90°-55°=35°(свойство углов прямоугольноготреугольника)Тогда, ∠АМВ=180°-∠ВАМ-∠АВМ= А=180°-23°-35=122.Ответ: 122°.265.Дано: ∠FAH, ∠HFA=?АВ=ВС, ∠В=112°; ∠1=∠2;∠AHF=90°Решение∠А+∠С=180°-∠В;∠А+∠С=180°-112° (по теореме1о сумме углов треугольника).2∠А+∠С=68°, ∠А=С,А∠А=∠С=68:2=34° (АВ=ВС)∠BFA=180°-∠В-∠BAF, ∠BAF=∠1=34°:2=17°,Тогда ∠BFA=180°-112°-17°=51°.∠HAF=90°-∠HFA=90°-51°=39°.Ответ: 90°, 51°, 39°.ВА1МВ1СHBFС85266В1АСОА112ВДано: ОА=ОВ, АА1=ВВ1.Доказать: ОС – биссектрисаДоказательство:Рассмотрим ∆ОВС и ∆ОАС:Сторона ОС – общая, ОА=ОВЗначит ∆ОВС = ∆ОАС (по катету и гипотенузе), следовательно, ∠1=∠2 и ОС –биссектриса что и требовалось доказать.267.ВВ1C2АC А1 N1B2С1Дано:СС2, ВВ2, С1М1, В1N1 высоты,ВВ2=В1N1, СС2=С1М1,ВС=В1С1,Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.Доказательство:Рассмотрим ∆N1В1С1 и ∆В2ВС:ВС=В1С1, ВВ2=B1N1.Значит ∆В2ВС=∆N1B1C1 (по гипотенузе и катету)Следовательно ∠С=∠С1Рассмотрим ∆М1В1С1 и ∆С2ВС:ВС=В1С1, С2С=М1С1, ∆С2ВС=∆М1В1С1 (по гипотенузе и катету).Следовательно ∠В=∠В1Рассмотрим ∆А1В1С1 и ∆АВС:ВС=В1С1, ∠В=∠В1, ∠С=∠С1Значит ∆АВС и ∆А1В1С1 (по 2-му признаку равенства треугольников)268.ВАС А1В1С1Дано:∠С=∠С1=90°∠В=∠В1АС=А1С1Доказать:∆АВС=∆А1В1С1Доказательство:∠А=90°-∠В=90°-∠В1=∠А1Рассмотрим ∆А1В1С1 и ∆АВС:АС=А1С1, ∠С=∠С1, ∠А=∠А1 (по второму признаку равенства треугольников)Значит ∆АВС= ∆А1В1С1 чтд.86269.ВАНВ1С А1С1Н1Дано: ∠А=∠А1, ∠В=∠В1, ВН=В1Н1 – высоты, ВН=В1Н1Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1Доказательство:∆А1В1Н1 и ∆АВН:ВН=В1Н1∠А=∠А1Значит ∆АВН=∆А1В1Н1 (по катету и острому углу)Следовательно АВ=А1В1∆А1В1С1 и ∆АВС:АВ=А1В1∠А=∠А1∠В=∠В1 (по второму признаку равенства треугольников)Значит ∆АВС=∆А1В1С1 чтд.270.C1В2AODПостроитьа – прямую через А,где ВС=ВDПлан построения:построим биссектрису ВМ данного угла ∠Вчерез А проведем перпендикуляр CD к ВМрассмотрим ∆BOD и ∆ВОС:ВО общая∠1=∠2Значит ∆ВОС=∆BOD (по катету и острому углу)Следовательно, ВС=BD и прямая CD искомая.87§4.
Построение треугольника по трем элементам271.АаСВДано: ∠АВС=90°, АВ+АС=17 см,АС-АВ=1 см, АВ=?РешениеПусть АВ=х, АС=у, тогда⎧ х + у = 17 ⎧2 у = 18 ⎧ у = 9⎨ у − х = 1 ⎨2 х = 16 ⎨ х = 8 Значит АВ=8 см.⎩⎩⎩Ответ 8 см.272.Дано: АВ=ВС=АС, ∠ВАD=∠САD,∠DКА=90°, DК=6 см, AD=?DРешение∆АВС – равносторонний, значит∠BDA=∠CDA=90°, ∠А=∠В=∠С=60°.∠DКA=90°, ∠DAК=30°, (т.к. AD – биссекАС триса).КDK=6 см;DK – лежит против угла 30°, значит AD=2DK; (по свойству)т.е.
AD=12 смОтвет 12 см.В273.ЕДано: ∠D=90°, СЕ+СD=31 см, СЕ-СD=3 см, СD=?Решение:Пусть СЕ=х см, СD=у см, тогда⎧ х + у = 31 ⎧2 х = 34 ⎧ х = 17⎨ х − у = 3 ⎨2 у = 28 ⎨ у = 14 значит СD=14 см.⎩⎩⎩СD274.Ответ: 14 см.Дано: АВ=ВС, АК=КС, КМ⊥ВС, КN⊥ АВДоказать: КN=КМДоказательство:МРассмотрим ∆СКМ и ∆AKN:NАК=КС, ∠А=∠С (из ∆АВС – равнобедренАС ный)Значит, ∆AKN=∆СКМ (по гипотенузе и острому углу)Следовательно, KN=KM, чтд.В88275.Дано: АС=СВ, МЕ⊥АС, МК⊥ВС, МЕ=МК.СДоказать: СМ⊥АВ.Доказательство:ЕКРассмотрим ∆ЕАМ и ∆ВКМ:КМ=ЕМ, ∠В=∠А (из ∆АВС – равнобедВАренный)Значит ∆ВКМ=∆ЕАМ (по катету и острому углу)Следовательно, ВМ=МА, значит, СМ – медиана равнобедренноготреугольника, опущенная на основание, СМ⊥АВ, по свойству равнобедренного треугольника, чтд.276.Дано: АО=ОВ, АА1⊥BB1⊥l.Доказать: АА1=BB1.Доказательство:Рассмотрим ∆ВВ1О и ∆АА1О:АО=ВО, ∠1=∠2 т.к.
они вертикальные, значит, ∆АА1О=∆ВВ1О(по гипотенузе и острому углу)Следовательно, АА1=BB1 чтд.В12Аl277.Дано: a⏐⏐b, АВ⊥а, АВ=3 см,a⏐⏐с, MN⊥а, MN=5 смНайти: расстояние между с и b.Решение:a⏐⏐b, a⏐⏐с, b⏐⏐с ( по свойству параллельных прямых).Рассмотрим 2 случая:А1АМK 5FKF=5-3=2 см.аbВNса3В1 Оа3bb5cFKF=3+5=8 см.cОтвет 2 см или 8 см.89278.ABA1CДано: АВ||CD, ∠ADC=30°,AD=6 см, ВС⊥АВ, ВС=?Решение:∠A1=90°, ∠D=30°, АА1 лежитпротив угла 30°, значит6DАА1=АА1=ВС, ВС=3 см.Ответ 3 см.279.АВСА1В1С1аАВbСh111AD, АА1= ⋅6=3 см.22Дано: АА1⊥а, ВВ1⊥а, СС1⊥а,АА1= ВВ1= СС1Доказать: А, В, С – принадлежатодной прямой.Доказательство:по аксиоме параллельных прямыхчерез А проведем прямую b, b||а.Тогда, все точки b||а равноудаленыот точек прямой а. Докажем, что В,С ∈b.Пусть В∉b, С∉b, значит расстояниеотточки В до а и С будет большеаили меньше, чем расстояние h. НоА1С1В1это противоречит АА1=ВВ1=СС1.Следовательно, наше предположение неверно, и А, В, С ∈ b чтд.h2h280.Найти множество всех точек,внутри ∠АВС, удаленных отВС на расстояние РQ.CРQABСQNА90PВNQ||BC, BN⊥BCЗначит луч NQ и есть искомоемножество точек.281.Ответ: прямая с параллельнаяданным и находящаяся на равных расстояниях от них(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
