atnasyan-gdz-7 (546185), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогдав итоге имеем 12 углов, какэто показано на рисунке.a162534bc1774.MNPДано: МР=24 смNM в 2 раза больше NPNP, NM=?Решение:Пусть NP=х см, тогда MN=2х см2х+х=24, значит, 3х=24,х=8, следовательно, NP=8 см, MN=16 см.Ответ: 8 см, 16 см.75.6 см10 смKLM10 см6 смL?MKа) 1-ый случайКМ=?Имеем:КМ=KL+LM; KM=6+10=16 смб) 2-ой случайКМ=?Имеем:КМ=LM-LKKM=10-6=4 см76.АМРQЕВДано: АВ=а,АР=2PQ=2QBQE=EB, AM=MPAE, ME=?Решение:а) АР=2PQ=2QB, значит PQ=QB и Q – середина РВзначит Р – середина АВ, значит, АР=РВ=1a41E – середина QB, то EB=QE= a817АЕ=АВ-ВЕ=a- a= a881 15б) МЕ=АВ-АМ-ЕВ=а- а- а= а4 8875Ответ: a; а88Q – середина РВ, то PQ=QB=181а277.а) Дано: АВ=m, Q – середина АЕ,L – середина NBАЕ=EN=NB.АQL=?Решение:Имеем: АЕ=EN=NB=QLЕ ? NВm3Q, L – середины соответственных отрезков, значит,AQ=QE=NL=LB=m6Тогда:QL=AB-AQ-LB; QL=mОтвет:m m 2- = m.6 6 32m.3б) Дано: EF=m;EA=AB=BC=CD=DFEM=MADN=NFMN=?Решение:NMЕАB?CEA=AB=BC=CD=DF, тогда, AE=AB=BC=CD=DF=FDm5Далее:EM=NF=Ответ:11mm 4AE= DF= ; MN=EF-EM-NF=m- = m.22105 54m.578.36 смДано: AF=36 см,MN=30 смBC КЕAM=MB, DN=NF,MА?BE=EC, CK=KDEK=?30 смРешение:AF=MN=(AM+NF); 36-30=6см-(AM+NF)AM=MBNF=ND, следовательно, AM=NF=MB+DN=6 смBD=BC+CD=30-6=24 см, тогда,DхNхF19BC=BE+EC=2EC, CD=CK+KD=2CK, EK=EC+CK=Учитывая, что ЕК=1BD21BD получаем ЕК=12 см.2Ответ: 12 см.79.BAMДано: АМ=МВ,AN=NCДоказать: ВС=2MNCNДоказательство:Пусть ВМ=а, NC=bИз ВМ=МА следует АВ=2аИз NC=NА следует АС=2b, значит, ВС=ВА+АС=2а+2b=2-(a+b);MN=MA+AN=a+b.Тогда: BC=2 ⋅ (a+b), значит ВС=2MN.Тогда: MN=a+b.80.Дано: ∠ AOB= 35o , ∠ BOC= 50o∠ AOC=?Решение:Рассмотрим два случая:а)∠ АОС= ∠ АОВ+ ∠ ВОС∠ АОС= 35o + 50o = 85oCB50o35oOA∠ АОС= ∠ ВОС- ∠ ВОАб)∠ АОС= 50o - 35o = 15oCA50oO35oB81.Дано: ∠ hk= 120 o , ∠ hm= 150 o∠ km=?Решение:Рассмотрим два случая:20∠ km= ∠ hm- ∠ hkа)m∠ km= 150 o - 120 o = 30okoh∠ km= ∠ kh+ ∠ hmб)h∠ km= 120 o + 150 o = 270 okm82.Дано: а) ∠1 больше ∠2 на 45°1б) ∠1-∠2=35°2∠1, ∠2=?Решение:а) Пусть ∠2=х, тогда∠1=х+45°, ∠1+∠2=180° (по свойству смежных углов)то х+х+45=180, 2х=135, х=67°30’∠2=67°30’, ∠1=112°30’б) Пусть ∠2=х, тогда, ∠1+∠2=180°, значит, х+х+35=180, 2х=145,х=72°30’∠1=105°30’.83.mbno2a1lДано: a,b – биссектрисы ∠1, ∠2∠ab=?Решение:∠nb+∠bm+∠ma+∠al=180°=2∠bm+2∠ma=2∠ab, откуда∠ab=90°.Ответ: 90°.2184.b’a32d0a’1cbДано: ∠1=∠2 – вертикальные углыc,d – биссектрисы ∠1,∠2 соответственно.Доказать, что c,d лежат на одной прямой.∠1 и ∠3 – смежные углы, тогда ∠1+∠3=180°.
(по свойству).∠1=∠2, значит ∠ас=∠bc=∠b’d=∠a’d, значит∠ab’+∠3+∠ac=180°, тогда∠dc=180° - развернутый угол и тогда согласно определению развернутого угла лучи d и c – лежат на одной прямой.85.NCEADBДано: ВЕ –биссектриса угла ∠CBDBN – биссектриса угла ∠АВС∠EBN=90°Доказать, что A,B,D лежат на одной прямой.Доказательство:∠EBN=90°; ∠EBN=∠EBС+∠СBNПусть ∠EBС=х, тогда ∠СBN=90°-хBN – биссектриса ∠АВС, значит ∠ABN=∠NBC=90°-хBE – биссектриса ∠CBD, значит ∠DBE=∠EBC=x∠ABD=∠АВС+∠DBC=2(90°-х)+2x=180-2x+2x=180°?значит, ∠ABD – развернутый, и точки A,B,D лежат на одной прямой.86.nДано: n⊥b; m⊥aДоказать, что m, n – не совпадают.Доказательство от противного:AПусть m и n совпадают, значит лежат наaOодной прямой l, тогда имеем, что l⊥a и l⊥b,т.е.
одна прямая перпендикулярна двум различным прямым a и b,тогда a и b не пересекаются согласно теореме о прямых, а это противоположно условию, что a ∩ b=0, значит наше предположение неверно, а верно то, что m и n не совпадают, ч.т.д.22b mГлава II§ 1. Первый признак равенства треугольников.87.стороны: MN, NP, MPуглы: ∠NMP, ∠MPN, ∠PNMMN=12 мм; NP=25 мм; MP=34 мм;Значит Р∆MNP=71 мм.NMP88.а) против углов D, E, F – лежат соответственноEF; FD; DE.б) против сторон DE; EF; FD лежат соответственно углы F; D; E.в) ∠D и ∠E; ∠E и ∠F; ∠F и ∠D – углы прилежащие соответственно к сторонам ОЕ; EF; FO.90.Дано: АС=2АВ, АВ=17 см, ВС=АС-10РАВС=?Решение:АС=2АВ=2⋅17=34 смВС=АС-10=34-10=24 смР=АВ+ВС+АС=17+34+24=75 смОтвет: 75 см.DEFBA91.Дано: РАВС=48 см, АВ=18 см, ВС-АС=4,6 смВС, АС=?Решение:РАВС=АВ+ВС+АС=4818+ВС+АС=48 см, тогда, ВС+АС=30.Пусть АС=х, тогда, ВС=х+4,6 и 2х=25,4х=12,7, значит, АС=12,7 см, ВС=17,3 см.Ответ: 12,7 см; 17,3 см.CBCA92.Нет, не могут. Если треугольники равные, то у них равные соответственные стороны, а значит равны их перпендикуляры, что не такпо условию.2393.ACBDEДано: АВ=ВЕ, DB=BCДоказать:а) ∆АВС=∆EBDб) ∠D=47°, ∠Е=42°∠А, ∠С=?Доказательство:1) Рассмотрим ∆EBD и ∆АВСАВ=ЕВ по условию; СВ=DB как вертикальные;∠АВС=∠DBE по 2-му признаку, значит ∆АВС=∆EBD, тогда,∠А=∠Е=42°;∠D=∠C=47°.94.B Дано: АВ=АС, ∠1=∠21АС=15 см, DC=5 смAD2Доказать: 1) ∆АВD=∆АCDC2) BD, AB=?Доказательство:∠1=∠2; АВ=АСсторона AD – общая, значит, ∆АВD=∆АCD по 1-му признаку.Далее, т.к.
∆АВD=∆АCD, то BD=DC=5 см; АВ=АС=15 см.95.B4A12C3DДано: ВС=AD ∠1=∠2AD=17 см, DC=14 смДоказать: 1) ∆АВС=∆CDА2) АВ, ВС=?Доказательство:1) Рассмотрим ∆CDА и ∆АВСВС=AD, сторона АС – общая; ∠1=∠2тогда ∆АВС=∆CDА по 1-му признаку;следовательно, AB=CD и АВ=14 см, ВС=17 см.96.B1D3O2A4CДано: ОА=OD, OB=OC∠1=74°, ∠2=36°Доказать: 1) ∆АОВ=∆DOC2) ∠ACD=?Доказательство:1) Рассмотрим ∆DOC и ∆АОВВО=ОС; АО=OD; ∠3=∠4 т.к. они вертикальные,24значит ∆АОВ=∆DOC по 1-му признаку; ∠1=∠OCD=74°,значит, ∠ACD=∠2+∠OCD=36°+74°=110°.Ответ: 110°.97.BCДано: АО=ОС, ВО=OD1Доказать: ∆АВС=∆CDAOДоказательство:2Рассмотрим ∆CОВ и ∆AODADBO=OD; AO=OC∠AOB=∠COD т.к.
они вертикальные, значит ∆AOD=∆COB по 2-мупризнаку, тогда СВ=AD и ∠1=∠2.Рассмотрим ∆CDA и ∆АВСВС=AD, АС – общая сторона; ∠1=∠2, значит, ∆АВС=∆CDAпо 1-му признаку равенства ∆, ч.т.д.98.BB1Дано: АВ=А1В1, АС=А1С1,∠А=∠А1, АР=А1Р1P1PДоказать: ∆ВРС=∆В1Р1С1.Доказательство:AC A1C1Рассмотрим ∆А1В1С1 и ∆АВСАВ=А1В1,∠А=∠А1,АС= А1С1,значит ∆АВС=∆А1В1С1 по 1-му признаку равенства треугольников,тогда ВС=В1С1, ∠В=∠В1.Рассмотрим ∆В1Р1С1 и ∆ВРС∠В=∠В1,ВР=В1Р1 т.к.ВС=В1С1,ВР=АВ-АР=А1В1-А1Р1=ВР1, тогда ∆РВС=∆ Р1В1С1 по 1-му признаку, ч.т.д.99.Дано: АС=AD, AB=AECДоказать: ∠CBD=∠DECBДоказательство:AРассмотрим ∆ADB и ∆АСЕEАС=AD; АЕ=АВD∠А – общий угол ∆ADB и ∆ACEтогда ∆АСЕ=∆ADB по 1-му признаку∠ABD=∠AEC следовательно, ∠CBD, ∠ABD – смежные, тогда∠CBD=180°-∠ABD, тогда ∠DCE, ∠AEC – смежные, тогда∠CED=180°-∠AEC, отсюда ∠CBD=∠CED, т.к.
∠ABD=∠AEC.25§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника100.101.•ABKa•BANCM102.103.KNBENPFA104.a)MMCKб)BNCAEугол ∠В — острыйв)угол ∠N — прямойPMугол ∠P — тупой26KF105.Дано: АВ, CD⊥aAB=CD, ∠ADB=44°Доказать: ∆ABD=∆CDB∠ABC=?Доказательство:1) Рассмотрим ∆CDB и ∆ABDсторона BD — общаяАВ=CD; ∠B=∠D=90° по условиюзначит ∆ABD=∆CDB по 1-му признаку2) тогда ∠ADB=∠CBD следовательно∠АВС=∠ABD–∠CBD=90°–44°=46°ACBDa106.BДано: AD=DE; BD=DCD∠ACD=56°, ∠ABD=40°1Доказать: ∆ABD=∆ECD2∠ACE=?Доказательство:AC1) Рассмотрим ∆ECD и ∆ABDBD=DC; AD=DE; ∠1=∠2 т.к.
они вертикальные,тогда ∆ABD=∆ECD по 1-му признаку следовательно,2) ∠ABD=∠ECD и ∠АСЕ=∠ACD+∠DCE=56°+40°=96°.107.Дано: АВ=ВС, АВ=2АСРАВС=50 смАВ, ВС, АС=?Решение:Пусть АС=х, тогда АВ=ВС=2х,РАВС=АС+АВ+АС, значит, 50=х+2х+2х,50=5х, х=10, АС=10 см, АВ=ВС=20 см.Ответ: 10 см; 20 см; 20 см.EBAD108.Дано: АВ=АС; РАВС=40 см; DB=DC=BCAРАCD=45 см; АВ и ВС=?Решение:РАВС=АВ+ВС+АС=ВС+2АВ т.к. АВ=АСC40=ВС+2АВРАCD=DB+BC+CD=3BC т.к.
ВС=DC=BD; 45=3BC, значит,ВС=15 см и 40=15+2АВ; 2АВ=25, т.е. АВ=12,5 см.Ответ: 12,5 см; 15 см.CB27109.Дано: АС=АВ; СМ=МВРАВМ=24 см, РАВС=32 смАМ=?Решение:РАВМ=АВ+ВМ+АМ; 24=АВ+ВМ+АМ;РАВС=АВ+ВС+АС; 32=2АВ+2ВМ16=АВ+ВМ; 24=АВ+ВМ+АМ=16+АМ, тогда,ACMBАМ=8 см.Ответ: 8 см.110.Дано: АМ=СМ, ∠ВМС=90°Доказать: АВ=ВСBДоказательство:Рассмотрим ∆СВМ и ∆АВМАМ=МС; сторона ВМ – общая; ∠АМВ=∠СМВ=90°,значит, ∆АВМ=∆СВМ по 1-му признакуследовательно, АВ=ВС, ч.т.д.ACM111.B1AДано: CD=BD, ∠1=∠2Доказать: АВ=АСDДоказательство:Рассмотрим ∆ACD и ∆ABDсторона AD – общаяCBD=DC; ∠1=∠2значит, ∆ABD=∆ACD по 1-му признаку; тогда АВ=АС, ч.т.д.2112.Дано: АВ=ВС, ∠1=130°∠2=?B1Решение:углы ∠1 и ∠АСВ – смежные, т.е.2C∠1+∠АСВ=180°,значит ∠АСВ=180°-130°=50°; ∆АВС – равнобедренный, значит,∠ВАС=∠АСВ=50° как вертикальные, ∠2=∠ВАС, т.е.
∠2=50°Ответ: 50°.A28113.MДано: MN, PQ⊥bMN=PQ, NO=OQ∠MOP=105°1Доказать: ∠OMP=∠OPM∠NOM=?NOДоказательство:1) Рассмотрим ∆POQ и ∆HONMN=PQ; NO=OQ; ∠N=∠O=90° — по условию,тогда ∆ MON=∆ POQ — по 1-му признакуследовательно, ∠1=∠2, OM=OP,тогда ∆ MOP — равнобедренный, откуда ∠OMP=∠OPM.2) ∠1+∠MOP+∠2=180° — развернутый угол, т.е.∠1+105°+∠2=180°; ∠1+∠2=75°, но ∠1=∠2, значит,∠1=∠2=37°30′, т.е.∠NOM=37°30′.Ответ: 37°30′.P2bQ114.BAMB1CA1M1C1Дано: ∆ABC=∆A1B1C1BM, B1M1 — медианыДоказать: BM=B1M1Доказательство:Рассмотрим ∆А1В1М1 и ∆АВМАВ=А1В1; ∠А=∠А1 из равенства треугольниковАМ=А1М1 потому что АМ=11AC , A1 M 1 = A1C122и АС=А1С1 значит, ∆АВМ=∆А1В1М1 — по первому признакуследовательно, ВМ=В1М1 что и требовалось доказать.29115.Дано: ВМ=МС=АМДоказать: ∠А=∠В+∠СF1Доказательство:∆АВМ — равнобедренный, потому что2ВМ=МА, тогда ∠1=∠2.4 CA 3∆АМС — равнобедренный, потому чтоАМ=МС, тогда ∠3=∠4.∠А=∠2+∠3=∠1+∠4, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
