atnasyan-gdz-7 (546185), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть DE – отрезок с концами на разныхсторонах треугольника АВС.Не ограничивая общности достаточно рассмотреть два возможныхрасположения отрезка DE:1) Один из концов отрезка лежит на наибольшей стороне треугольника (см. рисунок).115Если отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне, то этот отрезокDменьше большей из двух других сторон(см. задачу №312).В ∆ АВС AD – отрезок, соединяющийACEвершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне, а сторона АС – наибольшая сторона ∆ АВС, следовательно, AD<AC.Теперь рассмотрим ∆ ADC, DE – отрезок, соединяющий вершинутреугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне, значит, DE ≤ AD или DE ≤ DC, но AD<AC (по доказанному) иDC ≤ BC<AC (так как АС – наибольшая сторона ∆ АВС), следовательно, DE<AC.2) Ни один из концов отрезка DЕ не леBжит на наибольшей стороне треугольниDка (см.
рисунок).EВ ∆ АВС АЕ – отрезок, соединяющийC вершину треугольника с точкой, лежаAщей на противоположной стороне, значит, АЕ<AC, т.к. АС – наибольшая сторона ∆ АВС.Теперь рассмотрим ∆ АЕВ, DE – отрезок, соединяющий вершинутреугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне, значит, DE ≤ AE или DE ≤ BE, но АЕ<АС (по доказанному) иВЕ ≤ ВС<АС (так как АС – наибольшая сторона ∆ АВС), следовательно, DE<AC.
Что и требовалось доказать.B339.Из того, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух другихуглов треугольника (задача №173), следует,что ∠ ВВ1С > ∠ В1ВА, так как ∠ ВВ1СAC смежный с ∠ АВ1В треугольника АВВ1.B1∠ АВВ1= ∠ СВВ1, так как ВВ1 – биссектрисаугла АВС. О доказанному ∠ ВВ1С > ∠ В1ВА, следовательно,∠ ВВ1С > ∠ СВВ1. В треугольнике против большего угла лежитбольшая сторона, рассмотрим ∆ В1ВС, по доказанному∠ ВВ1С > ∠ СВВ1, следовательно, ВС >В1С.Из того, что ∠ АВ1В смежный с ∠ СВ1В треугольника СВ1В, следует, что ∠ АВ1В > ∠ СВВ1.
На ∠ СВВ1= ∠ АВВ1, следовательно,∠ АВ1В > ∠ АВВ1. В треугольнике против большего угла лежитбольшая сторона, рассмотрим ∆ АВ1В, по доказанному ∠ АВ1В >∠ АВВ1, следовательно, ВА>В1А. Что и требовалось доказать.116B340Проведем луч ВD, он пересечет сторону АС вточке Р. В треугольнике АВР отрезок АD —отрезок, соединяющий вершину треугольникас точкой, лежащей на противоположной стороне.
Согласно задаче №312 AD < AB илиAD < AP, но по условию задачи AD = AB,следовательно, AD < AP и АВ = AD, то естьАВ < AP. АС= АР + РС,следовательно, АР < AC, тогда АВ < AP < AC,то есть АВ < AC, что и требовалось доказать.341По свойству биссектрисы можем записать отношение:BD CD.=AB ACА из того, что АВ > AC, можем заключить, что BD>CD.Из того, что АВ > АС, следует также, что ∠АСВ > ∠АВС.∠АDC = 180° – ∠CAD – ∠ACB, ∠ADC = 180° – ∠BAD – ∠ABC,∠CAD = ∠BAD, ⇒ ∠ADC < ∠ADB.342Рассмотрим ∆АВС, АН — биссектриса и медиана, проведенная извершины А. Проведем прямую СО⎪⎪АВ,точка D— точка пересечения СО с прямойАН.
∆АНВ = ∆DHC (по стороне и прилежащим к ней углам: СН=НВ, т.к. АН — медиана; ∠АНВ = ∠DHC как вертикальные;∠РDC = ∠HAB как накрестлежащие углыпри пересечении параллельных прямых CDи АВ секущей AD, следовательно,∠НСD = ∠HBA).Получаем, что ∠HDC = ∠HAB = ∠HAC (AH — биссектриса ∠САВ)и АВ = СD. ∆АDC — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника (∠СAD = ∠CDA), следовательно, Ас = CD = АВ,значит, ∆АВС — равнобедренный.Что и требовалось доказать.117343.Пусть АВС – данный треугольник, АВ >ВС, ВМ – медиана.Отметим точку Е, такую, что М являетсясерединой отрезка ВЕ.B∆ АМЕ= ∆ СМВ (по двум сторонам и углумежду ними: ВМ=МЕ по построению,MCAАМ=МС, так как ВМ – медиана,∠ АМЕ= ∠ СМВ - как вертикальные). Вравных треугольниках против равных угEлов лежат равные стороны, а против равных сторон лежат равные углы, следовательно, АЕ=ВС и∠ АЕМ= ∠ СВМ.
Из того, что АВ>ВС и АЕ=ВС следует, чтоАВ>АЕ. Рассмотрим ∆ АВЕ: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, следовательно, ∠ АЕВ > ∠ АВЕ, но∠ АЕВ= ∠ СВМ, значит, ∠ СВМ > ∠ АВМ, что и требовалось доказать.344.Если ∠ АМВ не равен ∠ АМС, то из того,что угол, смежный с углом треугольника,больше каждого из двух других углов треC угольника (задача №173), следует, чтоA∠ АМВ > ∠ МСА и ∠ АМВ > ∠ МАС, значит, у треугольника АМВ и АМС не равныуглы, следовательно, эти треугольники не равны.Если ∠ АМВ= ∠ АМС, допустим, что ∆ АМВ= ∆ АМС, но в равныхтреугольниках против равных углов лежат равные стороны, значит,АВ=АС, что противоречит условию, следовательно, наше предположение было неверно и ∆ АМВ не равен ∆ АМС.
Что и требовалось доказать.BM345.Продолжим отрезок ВА на отрезокAD=AC. Пусть АМ – биссектриса углаСАВ, следовательно, ∠ САМ= ∠ ВАМ. Поусловию прямая РА перпендикулярнаAHPбиссектрисе АМ (см. рисунок)., следовательно, ∠ ВАН= 90o – ∠ ВАМ и∠ РАС= 90o – ∠ САМ, ноC∠ САМ= ∠ ВАМ, следовательно,BM∠ ВАН= ∠ РАС. ∠ ВАН= ∠ DAP как вертикальные, значит, ∠ РАС= ∠ DAP.
∠ DAH= 180o - ∠ DAP,D118∠ САН= 180o - ∠ РАС, следовательно, ∠ DAH= ∠ САН.∆ САН= ∆ DAH (по двум сторонам и углу между ними: СА=AD попостроению, АН – общая сторона, ∠ DAH= ∠ CAH по доказанно-му). В равных треугольниках против равных углов лежат равныестороны, значит, СН=DH.
Из неравенства треугольника следует, чтоDH=НВ>DB, но DB=DA+AB=CA+AB. По доказанному DH=CH,следовательно, СН+НВ>СА+АВ.У треугольников ВСН и АВС сторона СВ – общая. Р ∆ВСН =СН+НВ+СВ;Р ∆АВС =СА+АВ+СВ, из того, что СН+НВ>СА+АВ следует, что Р ∆ВСН >>Р ∆АВС . Что и требовалось доказать.346.Из доказанного в задаче №341 следует, что ∠ ADC > ∠ ADB, но∠ ADC+ ∠ ADB= 180o , следовательно, ∠ ADC > 90o .ABD HCПредположим, что точка Н принадлежит лучу DC, тогда∠ АНD= 90o , так как АН – высота ∆ АВС. Рассмотрим ∆ DAH.Сумма углов треугольника равна 180o , но в ∆ DAH имеем:∠ ADH+ ∠ AHD > 180o , получаем противоречие, следовательно,точка Н лежит на луче DB. Что и требовалось доказать.347.Рассмотрим треугольник АВС, у которого АВ ≠ ВС, ВС ≠ АС,АВ ≠ АС, пусть ВН – высота ∆ АВС, BD – биссектриса ∆ АВС, ВМ– медиана ∆ АВС.НЕ ограничивая общности будем считать, что ВС<АВ, тогда, по доказанному в задаче №346, получим, что точка Н принадлежит лучу DC.BCHDMAПо доказанному в задаче №341, получим, что AD>DC, но12AD+DC=AC, следовательно, AD> ⋅ AC.
ВМ – медиана, следова12тельно, СМ=АМ= ⋅ AC. Получаем, что AD>AM, т.е. точка М при119надлежит отрезку AD, следовательно, точка М принадлежит отрезкуAD, следовательно, точка М принадлежит лучу DA, а точка D лежитмежду точками Н и М, что и требовалось доказать.34890°= 45° .2Пусть ∠АСВ = α, тогда ∠ВАС = 180° – ∠АВС – ∠АСВ ==180° – 90° – α = 90° – α. ∠АВН = 180° – ∠ВАН – ∠АНВ ==180° – (90° – α) – 90° = α.Треугольник прямоугольный, ⇒ ВМ = МС, ⇒∆ВМС — равнобедренный, ⇒ ∠МВС = ∠МСВ = α, ⇒ ∠ВМС = 180° – 2α (из треугольника ВМС).∠АМВ = 180° – ∠ВМС = 2α∆АВL: ∠АLВ = 180° – 45° – (90° – α) = 45° + α∠ВLС (смежный с ∠АLВ) = 180° – 45° – α = 135° – α∆LВМ: ∠ LВМ = 180° – 2α – (135° – α) = 45° – α∆НВL: ∠НВL = 180° – 90° – 45° – α = 45° – α⇒ ∠LВМ = ∠НВL, ч.т.д.∠АВL = ∠LDC =349Обозначим ∠АВН = ∠НВМ = ∠МВС через γ, а ∠АСВ через α.ВМ — биссектриса ∆ВСН, тгда по свойству биссектрисы имеем:НМ МС(*)=ВНВСВ треугольнике АВМ ВН является биссектрисой и высотой, ⇒∆АВМ — равнобедренный, ⇒ ВН — медиана ⇒ АН = НМ.ВМ — медиана, ⇒ АМ = МС; АН = НМ = АМ/2, ⇒ из (*):ВС = 2ВН, ⇒ т.к.
∆ВНС — прямоугольный, ∠α = 30°, ⇒ ∆ВНС:2γ = 60°, ⇒ γ = 30°, ⇒ ∠АВС = 3γ = 90°, ч.т.д.120350.Рассмотрим прямоугольный ∆ ВСВ1, с прямым углом ВВ1С (так какВВ1 – высота ∆ АВС, следовательно, ВВ1 перпендикулярна АС).ACA1BB1В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, т.е.ВС ≥ ВВ1, учитывая, что по условию АА1 ≥ ВС, получаемАА1 ≥ ВС ≥ ВВ1. Рассмотрим прямоугольный ∆ АСА1 с прямым углом АА1С (т.к. АА1 – высота ∆ АВС, следовательно, А1 перпендикулярна ВС).
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, т.е. АС ≥ АА1, учитывая, что по условию ВВ1 ≥ АС, получаемВВ1 ≥ АС ≥ АА1, по доказанному АА1 ≥ ВС ≥ ВВ1, следовательно,АА1=ВВ1.ВВ1=АА1 ≥ ВС ≥ ВВ1, следовательно, ВС=ВВ1 и ∆ ВСВ1 равнобедренный, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, ∠ ВСВ1= ∠ ВВ1С= 90o , тогда ∠ СВВ1= 180o –– ∠ ВСВ1- ∠ ВВ1С= 180o - 90o - 90o = 0o , следовательно, ВВ1 совпадаетс ВС. АА1=ВВ1 ≥ АС ≥ АА1, следовательно, АС=А1 и ∆ АСА1 равнобедренный, а углы при основании равнобедренного треугольникаравны, следовательно, ∠ АСА1= ∠ АА1С= 90o , тогда ∠ САА1= 180o –– ∠ АСА1- ∠ АА1С= 180o - 90o - 90o = 0o , значит, АА1 совпадает с АС.По доказанному АС=АА1=ВВ1=ВС и АС перпендикулярны ВС, следовательно, ∆ АВС – равнобедренный и прямоугольный, что и требовалось доказать.351Решена в учебнике на стр.
95.3522 случая расположения точек.Соединяем точки А и В. Находим середину АВ — точку К. Поводимчерез нее перпендикуляр к АВ. Находим точку М. М — искомаяточкаб поскольку МК является одновременно высотой и медианой в∆АМВ, ⇒ ∆АВМ — равнобедренный ⇒ АМ = МВ.В случаях 3), 4) задача не имеет решения.121353Соединяем точки А и В. Находим К — середину АВ. Через К проводим перпендикуляр к АВ. Его точки пересечения с окр-тью— искомые точки.В случае, когда перпендикуляр касаетсяокрестности — одно решение, когда не пересекается — нет решений.354Соединяем точки А,В и С. Находим середины отрезков АВ, ВС и АС, соответственно К, L и М. Проводим перпендикуляры (серединные перпендикуляры∆АВС).
Находим точку О — их точкупересечения. Проводим окружность радиуса АО = ВО = СО с центром в т. О.Вокруг треугольника всегда можно описать окружность, поэтому задача неимеет решения, лишь когда лежат на одной прямой.355Из точки А опускаем перпендикуляр на а. Пусть К — точка пересечения. С другой стороныпрямой откладываем точку А1 сусловием АК = А1А. Соединяемточки А1 и В.Пусть М — пересечение А1В ипр. а. М — искомая точкаб поскольку выполняется неравенство треугольника: АМ+МВ=А1М+МВ(т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
