atnasyan-gdz-7 (546185), страница 3
Текст из файла (страница 3)
∠А=∠В+∠С что и требовалось доказать.M116.Дано: АВ=ВС=АС.Доказать: ∠А=∠В=∠С.BДоказательство:∆АВС— равнобедренный, потому что АВ=ВС,CAтогда ∠А=∠С∆АВС — равнобедренный, потому что АВ=АС, тогда ∠В=∠СИмеем: ∠А=∠С=∠В.117.Дано: АВ=ВС, CD=DEДоказать: ∠BAC=∠CEDBДоказательство:∆ABC — равнобедренный, потомуAчто АВ=ВС, тогда ∠1=∠2D 3 4∆CDE — равнобедренный, потомучто CD=DE,тогда ∠3=∠4углы ∠2, ∠3 — вертикальные, т.е. ∠2=∠3Имеем: ∠1=∠2=∠3=∠4Тогда ∠1=∠4, т.е.
∠ВАС=∠CED, что и требовалось доказать.21118.C30ANMCДано: АС=АВCN=MBДоказать: а) ∆BAM=∆CANб) ∆AMN — равнобедренныйДоказательство:1) Рассмотрим ∆ACN и ∆ABMBAB=AC BM=CN∠B=∠C как углы при основании равнобедренного треугольника,значит ∆ABM=∆ACN по первому признаку, следовательно, ∆AMN— равнобедренный, что и требовалось доказать.119.Дано: DE=EK∠KEF=∠DEF.DK=16 см, ∠DEF=43°KF, ∠DEK, ∠EFD=?EРешение:DFТак как ∆DEK — равнобедренный, то EF —медианы и высота, т.еDF=FK и EF⊥DK, тогда ∠DEK=2 ⋅ ∠DEF; ∠DEK=2 ⋅ 43°=86°;∠EFK=90°; KF=DF=K11DK = ⋅ 16 = 8см .22Ответ: 8 см, 86°, 90°.120.Дано: АВ=ВС, АЕ=FC,Доказать: а) ∆BDE=∆BDFб) ∆ADE=∆CDFB12FEДоказательство:1) Рассмотрим ∆CDF и ∆ADE:CAD=DC, AE=FC; ∠A=∠C как углы при ADосновании равнобедренного треугольника, значит, ∆ADE=∆CDF по первому признаку2) Рассмотрим ∆BDF и ∆BDEсторона BD — общая∠1=∠2 — свойство медианы в равнобедренном ∆BE=AB – AE=AB – FC=BC – FC=BF, значит ∆BDE=∆BDF по 1-мупризнаку, что и требовалось доказать.§ 3.
Второй и третий признакиравенства треугольников121.Дано: АО=ОВ,∠OAD=∠OBCCD=26 см, AD=15 смДоказать: ∆CBO=∆DAOBC,CO=?AD1C2OB31Доказательство:Рассмотрим ∆DAO и ∆CBOAO=OB; ∠A=∠B; ∠1=∠2 т.к. они вертикальные,значит ∆CBO=∆DAO по 2-му признаку, следовательно CO=OD,AD=CB, ∠D=∠C12CD=OC+OD, CO= CD = 13см ;т. к.
CO=OD, то BC=AD следовательно, BC=15 см.122.BA14 2C3DДано: ∠1=∠2; ∠3=∠4AD=19 см, CD=11 смДоказать: ∆ABC=∆CDAAB, BC=?Доказательство:Рассмотрим ∆CDA и ∆ABCAC — общая∠1=∠2; ∠3=∠4, значит ∆ABC=∆CDA по второму признакутогда AB=CD=11 см, BC=AD=19 см.123.BADДано: ∠BAD=∠CAD∠ADB=∠ADCДоказать: BD=CDДоказательство:Рассмотрим ∆ACD и ∆ABD∠BAD=∠CAD; ∠BDA=∠CAD; сторона AD — общаязначит ∆ABD=∆ACD по 2-му признаку,тогда BD=CD, что и требовалось доказать.C124.PB1O2CДано: BO=OC∠B=∠C=90°Доказать: OP=OT, ∠P=∠TДоказательство:Рассмотрим ∆CTO и ∆BPOT BO=OC; ∠B=∠C=90°; ∠1=∠2 т. к. онивертикальные, значит ∆BPO=∆CTO по 2-му признаку,тогда BP=CT, PO=OT, ∠P=∠T, что и требовалось доказать.32125.Дано: ∠DBC=∠DACBO=AOДоказать: ∠С=∠D, AC=BDDСO12BAДоказательство:Из AO=OB, следует ∆AOB — равнобедренный,т.е. ∠1=∠2.Рассмотрим ∆BDA и ∆ABC:∠CAB=∠DBA т.
к ∠CAB=∠CAD+∠1; ∠DBA=∠DBC+∠2;∠1=∠2 сторона АВ — общаязначит ∆ACB=∆BDA (по стороне и 2 прилежащим к ней углам).т. е.АС=DB, ∠C=∠D, что и требовалось доказать.126.Дано: ∠DAB=∠CBA,∠CAB=∠DBACA=13 смDB=?СDOABРешение:Рассмотрим ∆ADB и ∆ACB:∠CAB=∠ABD; ∠ABC=∠DBA; сторона АВ — общаязначит ∆ACB=∆BDA по 2-му признаку, тогдаАС=BD=13 см.127.Дано: АВ=А1В1, ВС=В1С1,∠В=∠В1∠ACD=∠A1C1D1Доказать: ∆BCD=∆B1C1D1B1BDD1Доказательство:Рассмотрим ∆A1B1C1 и ∆ABC:C A1AC1AB=A1B1; BC=B1C1; ∠B=∠B1значит ∆ABC=∆A1B1C1 по первому признакуследовательно, АС=A1C1, ∠A=∠A1, ∠C=∠C1Рассмотрим ∆D1B1C1 и ∆DBC:BC=B1C1; ∠BCD=∠B1C1D1, потому что∠BCD=∠C – ∠ACD, и ∠ACD=∠A1C1D1;∠B1C1D1=∠C1 – ∠A1C1D1; ∠B=∠B1, значит ∆DBC=∆D1B1C1 по второму признаку, что и требовалось доказать.33128.BB1MAM1A1CC1Дано: ∆АВС=∆А1В1С1∠ВАМ=∠МАС∠В1А1М1=∠М1А1С1Доказать: АМ=А1М1Доказательство:Рассмотрим ∆А1В1М1 и ∆АВМ:АВ=А1В1 из равенства∠В=∠В1 ∆АВС=∆А1В1С1∠ВАМ=∠В1А1М1 (т.
к. ∠А=∠А1)значит ∆АВМ=∆А1В1М1 по 2-му признакуследовательно, АМ=А1М1 , что и требовалось доказать.129.Дано: ОА=ОС, ∠ВСО=∠DAOДоказать: ∆ВОА=∆DOCB3 21 4OACDДоказательство:Рассмотрим ∆СОВ и ∆AOD∠A=∠C; AO=OC∠1=∠2 т. к. они вертикальные, значит∆АОВ=∆СОВ по 2-му признакутогда ВО=ODРассмотрим ∆CDO и ∆АВО:АО=ОС; ВО=ОD; ∠3=∠4 как вертикальные, тогда ∆АВО=∆CDOпо 1-му признаку.130.B1 Дано: СО, С1О1 — медианыBOO1ВС=В1С1, ∠В=∠В1, ∠С=∠С1Доказать: 1) ∆АОС=∆А1О1С12) ∆ВСО=∆В1С1О1Доказательство:1) Рассмотрим ∆А1В1С1 и ∆АВСВС=В1С1, ∠В=∠В1, ∠С=∠С1AC A1C1тогда ∆АВС=∆А1В1С1по2-му признакузначит АВ=А1В1, ∠А=∠А1, АС=А1С12) Рассмотрим ∆А1О1С1 и ∆АОС:АС=А1С1, ∠А=∠А1,34АО=А1О1 (т.
к. АО=11АВ, А1О1= А1В1 и АВ=А1В1).22значит ∆АОС=∆А1О1С1 по 1-му признаку3) Рассмотрим ∆В1С1О1 и ∆ВСО:ВС=В1С1, ∠В=∠В1ОВ=О1В1 (т. к. ОВ=11АВ, О1В1= А1В1 и АВ=А1В1)22значит ∆ВСО=∆В1С1О1 по 1-му признаку.131.Дано: EF=NP, DF=MP,∠F=∠PEE1, DD1 — биссектрисыММ1 и NN1 — биссектрисыДоказать: ∠DOE=∠MKN.NED1Доказательство:OРассмотрим ∆MNP и ∆DFE:DF MEF=NP; DF=MP; ∠F=∠P,E1значит ∆DEF=∆MNP по 1-мупризнаку, следовательно, ∠D=∠M, ∠E=∠N, DE=MN.Рассмотрим ∆MKN и ∆DOE:M1KPN111∠D, ∠MNK= ∠M и2211∠D=∠M); ∠DEO=∠MNK (т.
к. ∠DEO= ∠E, ∠MNK= ∠N и22DE=MN; ∠EDO=∠NMK (т. к. ∠FDO=∠E=∠N).значит ∆DOE=∆MKN по 2-му признаку, следовательно,∠DOE=∠MKN что и требовалось доказать.132.Дано: ∠NAA1=∠MAA1a⊥AA1Доказать: АМ=ANДоказательство:Рассмотрим ∆АМА1 и ANA1:сторонаАА1 — общая∠1=∠2 — по условию∠3=∠4=90° — по условиюa NA1234A1M35тогда ∆ANA1=∆AMA1 по 2-му признакуследовательно, AN=AM и значит, ∆AMN — равнобедренный, чтои требовалось доказать.133.B1 2Дано: ∠ABC=∠CBD∠ADB=90°=∠CDBДоказать: АВ=ВСДоказательство:Рассмотрим ∆CBD и ∆ABO:AC cторона BD — общая∠1=∠2; ∠3=∠4=90°;AB=BC изначит ∆ABD=∆CBD по 2-му признаку, тогда∆АВС — равнобедренный, что и требовалось доказать.3 4D134.C A1AДано: АВ=ВСА1В1=В1С1АС=А1С1 ∠А=∠А1Доказать: АВС=А1В1С1B1BC1Доказательство:Из ∆АВС, ∆А1В1С1 — равнобедренные, следует что∠А=∠С, ∠А1=∠С1из ∠А=∠А1, следует ∠С=∠С1 тогда, АС=А1С1; ∠А=∠А1; ∠С=∠С1значит ∆АВС=∆А1В1С1 по 2-му признаку135.BB1Дано: АВ=ВС=АСА1В1=В1С1=А1С1АВ=А1В1Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1Доказательство:Имеем:АВ=АС=ВСиВ=АС=ВСА111111AC A1C1т.
к.АВ=А1В1то ВС=В1С1 и АС=А1С1, тогда ∆АВС=∆А1В1С1 по 3-му признаку, чтои требовалось доказать.36136.Дано: АВ=ВСBD=DC ∠BAC=50°∠CAD=?BAРешение:1) Рассмотрим ∆ACD и ∆ABO:AB=AC; BD=DCсторона АР — общаязначит ∆ABD=∆ACD по 3-му признакуи тогда ∠BAD=∠CADимеем: ∠CAD+∠BAD=∠BAC; 2∠CAD=∠BAC∠CAD=D?C1⋅ 50 o = 25 o .2Ответ: 25°.137.Дано: ВС=ADAB=CDДоказать: ∠В=∠DBCADДоказательство:Рассмотрим ∆CDA и ∆ABD:AB=CD; BС=ADсторона АС — общая; значит ∆АВС=∆CDA по 3-му признаку, следовательно, ∠В=∠D что и требовалось доказать.138.Дано: АВ=CDBD=ACДоказать: 1) ∠CAD=∠ADB2) ∠BAC=∠CDBBCADДоказательство:Рассмотрим ∆DCA и ∆ABC:AB=CD; BD=AC; сторонаAD — общаязначит ∆ABD=∆DCA по 3-му признаку, тогда ∠ADB=∠CAD, изравенства треугольников ∠BAD=∠CDA∠BAC=∠BAD – ∠CAD, но ∠BAD=∠CDА, а ∠CAD=∠ADB∠CDB=∠CDА – ∠ADB; ∠BAC=∠CDB, что и требовалось доказать.37139.BC1F2EAДано: AB=CD, AD=BC∠ABE=∠CBE∠ADF=∠CDFДоказать: 1) ∠ABE=∠ADF2) ∆ABE=∆CDFDДоказательство:Рассмотрим ∆CDA и ∆ABCAB=CD; BC=AD; сторона АС — общая,значит ∆ABC=∆CDA по 3-му признаку ∠B=∠D,тогда: ∠ВАС=∠DCA, ∠ACB=∠CADДалее:∠АВЕ=11∠АВС; ∠ADF= ∠ADC22значит ∠ABE=∠ADF, т.
к. ∠В=∠D.Рассмотрим ∆CDF и ∆АВЕ:AB=CD; ∠BAC=∠DCA; ∠1=∠2 , т. к. ∠АВЕ=∠ADF=∠CDFзначит ∆ABE=∆CDF по 2-му признаку.140.AMДано: АМ=СМА1М1=С1М1ВМ=В1М1, АВ=А1В1, АС=А1С1Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1B1BC A1M1C1Доказательство:ИзАС=А1С1Рассмотрим ∆АВМ и ∆А1В1М1:ВМ=В1М1;АМ=А1М1АВ=А1В1;значит ∆АВМ=∆А1В1М1 по 3-му признакуследовательно, ∠А=∠А1Рассмотрим ∆А1В1С1 и ∆АВСАС=А1С1,∠А=∠А1,АВ=А1В1,значит ∆АВС=∆А1В1С1 по 1-му признаку.38т.е.11АС= А1С1, получаем АМ=А1М122141.Дано: AD, A1D1 — биссектрисыАВ=А1В1, BD=B1D1, AD=A1D1Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1BB1D1DДоказательство:Рассмотрим ∆A1B1D1 и ∆ABDC A1AC1АВ=А1В1,AD=A1D1,BD=B1D1, значит ∆ABD=∆A1B1D1 по 3-му признакуследовательно, ∠BAD=∠B1A1D1,∠B=∠B1ИзAD и A1D1 — биссектрисы, получаем ∠BAC=∠B1A1C1Рассмотрим ∆A1B1C1 и ∆АВС:∠В=∠В1,∠ВАС=∠В1А1С1АВ=А1В1,тогда ∆АВС=∆А1В1С1 по 2-му признаку, что и требовалось доказать.142.Дано: ВС=BD, AC=ADДоказать: а) ∠ADB=∠ACBб) DO=OCДоказательство:Рассмотрим ∆АВD и ∆АВСCB=BD; AC=ADCсторона ВА — общаятогда ∆АВС=∆ABD по 3-му признакуследовательно, ∠АСВ=∠ADB; ∠CBA=∠DBAB134O2ADРассмотрим ∆DBO и ∆CBO:сторона ВО — общая;∠CBO=∠DBO, тогда ∆CBO=∆DBO по 1-му приВС=BD;знаку и значит СО=OD, что и требовалось доказать.§ 4.
Задачи на построение143.а) хорды окружности: MN; CD; AB;б) диаметр: АВ;в) радиусы: ОР; ОА;ВО39144.BC2D1Дано: АВ, СВ — диаметрыДоказать: а) BD=ACб) AD=BCв) ∠BAD=∠BCDДоказательство:Рассмотрим ∆BOD и ∆AOCOA=OB=R— радиусACO=OD=R — радиус∠1=∠2 т. к. они вертикальныезначит ∆AOC=∆BOD по 1-му признаку, следовательно, АС=BD.Также из ∆AOB=∆BOC следует AD=BC.Рассмотрим ∆ABD и ∆OBC; сторона DB — общая;BC=AD; PC=AB, значит ∆ABC=∆ABD и тогда ∠DAB=∠ABD.145.Дано: МК — диаметрМР=КР∠РОМ=?PMРешение:Из МР=РК следует, что ∆МРК — равноK бедренныйТ. к. МО=ОК — радиусы, то РО — медианаравнобедренного ∆МРК, опущенная на основание, тогда РО — биссектриса и высота (по свойству равнобедренного треугольника) и ∠МОР=90°.Ответ: 90°.O146.AD1O16Дано: АВ, CD — диаметрыСВ=13 см, АВ=16 смРAOD=?Решение:Рассмотрим ∆СОВ и ∆AOD:CB13AO=OB=OC=OD (как радиусы)∠1=∠2 т.
к. они вертикальныезначит ∆AOD=∆СОВ по 2-му признакуследовательно, AD=CB=13 см и АО=ОВ=ОС=OD=8 см, тогдаРAOD=AO+OD+AD=8+8+13=29 смОтвет: 29 см.402147.Дано: ∠АОВ=90°ВС — диаметр.Доказать: АС=АВACДоказательство:Рассмотрим ∆ВОА и ∆СОА:сторона ОА — общаяСО=ОВ — радиусы; ∠СОА=∠ВОА=90°значит ∆СОА=∆ВОА по 1-му признакуи АС=АВ, что и требовалось доказать.OrB148.См. рис.CAaB149.PQ•BaВозможны три случая:I случайBM1Maна прямой есть 2 точки, удаленные от В на расстояние PQ.II случайBMaодна точка на прямой, которая удалена от В на расстояние PQ.41III случайBaне существует такой точки на прямой а.PQ=BM — радиус окружности с центром в точке В, так мы строимМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
