mordkovitch-gdz-8-2002 (542435), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Ответ: верно.в) a > 4; т.к. 4 > 0, a > 0a 2 > 4 2; a 2 > 16.Ответ: верно.1241.а) a > 1; 6a > 6;6a 66> ; 6>т.к. a > 0, тоa aaОтвет: да.15> 3,aне верно, т.к. а может быть < 0.Ответ: нет.1242.а) k > 3, l > 7;2k > 6, 3l > 21; 2k + 3l > 27;в) k > 3, l > 7;k > 3, 1,5l > 10,5;k + 1,5l > 13,5;1243.а) p > 2, s < 5;p > 2, –2s > –10; p – 2s > –8;в) p > 2, s < 5; 4s < 20,–2p < –4; 4s – 2p < 16276б) n < –3;г)в) n < –3;в) a < 5; неравенствог) b > 0,5, –7b < –3,5,–7b – 2 < –3,5 – 2,–7b – 2 < –5,5.n1n 25<− ;+ <−626 918n < –3;n 3n 1 3 2− > ; − − > − ;8 88 4 8 8n 1 1− − > .8 4 8б) a < 2b, b < c;a < 2b, 2b < 2c;a < 2c; 2a < 4c;г) a ≥ 5b, b ≥ 2c;3a ≥ 15b, 15b ≥ 30c;3a ≥ 30c.б) a < 2, b < 3не верно, т.к.

а и b могут быть <0Ответ: не верно.г) a < 6;не верно, т.к. а может быть < 0.Ответ: не верно.б) a < 2; неравенство4>2aневерно, т.к. а может быть < 0Ответ: нет.г) a > 7, т.е. a > 0;a 77< 1;> ;a aa14< 2.aОтвет: да.б) k > 3, l > 7;–k < –3, –l < –7; –k – l < –10;г) k > 3, l > 7;–4k < –12, –5l < –35;–4k – 5l < –47.б) p > 2, s < 5;–3p < –6, s < 5; s – 3p < –1г) p > 2, s < 5; 3p > 6,–6s > –30; 3p – 6s > –24.www.gdz.pochta.ru1244.а) m > 1, n > 4;m + n > 5;m + n + 4 > 9;в) m > 1, n > 4; –2m < –2,–5n < –20; –2m – 5n < –22;3 – 2m – 5n < –19;1245.а) x > 6, y < 12;x > 6, –2y > –24;x – 2y > –18; x – 5 – 2y > –23;в) x > 6, y < 12;5x > 30, –y > –12;5x – y > 18; 5x – y + 10 > 28;1246.а) a = 3, b = 8; a < 5 < bв) a = –2,5; b = 7,8; a < 6 < b;1247.а) 10 < a < 16;0,5 ⋅ 10 < 0,5a < 0,5 ⋅ 16;5 < 0,5a < 8;в) 10 < a < 16; –16 < –a < –10;–48 < –3a < –30;1248.а) 2,6 < 7 < 2,7;5,2 < 2 7 < 5,4;в) 2,6 <7 < 2,7;–2,7 < – 7 < –2,6;б) m > 1, n > 4; –3m < –3,–4n < –16; –4n – 3m < –19;12 – 4n – 3m < –7;г) m > 1, n > 4;7m > 7, 6n > 24; 7m + 6n > 31;7m + 6n + 1 > 32.б) x > 6, y < 12;–2x < –12, 3y < 36;–2x + 3y < 24; 14 – 2x + 3y < 38;г) x > 6, y < 12;4x > 24, –3y > –36;4x – 3y > –12; 16 + 4x – 3y > 4.б) a = –5, b = –3; a < –4 < bг) a = –6, b = –2; a < –3 < b.б) 10 < a < 16;–6 < a – 16 < 0;г) 10 < a < 16; 20 < 2a < 32;21 < 2a + 1 < 33.б) 2,6 <7 < 2,7;5,2< 2 7 < 5,4; 7,2<2+2 7 <7,4;г) 2,6 <7 < 2,7;–2,7<– 7 <–2,6; 0,3<3– 7 <0,4.3,3 < 11 < 3,4;1249.

2,8 < 8 < 2,9;а) 7,84 < 8 < 8,41;б) –3,4 < – 11 < –3,3;11,14 < 8 + 11 < 11,81;–0,6 < 8 – 11 < –0,4;в) 6,6 < 2 11 < 6,8;9,4 <8 + 2 11 < 9,7;г) 8,4 < 3 8 < 8,7;–3,4 < – 11 < –3,3;5<3 8 –11 < 5,4.б) –1 < –11b<– ;221250. 8 < a < 10, 1 < b < 2;а) 2 <3<15a< ;421a + b < 4,5;4в) 8 < ab < 20.7<a–1b < 9,5;2г) 1 < b < 2;11a<< 1; 4 << 10.2bb277www.gdz.pochta.ru1251.a > b + 3, b + 1 > 7, b + 1 + 2 > 7 + 2, b + 3 > 9,a > b + 3, b + 3 > 9, значит, a > 9, что и требовалось доказать.1252.а) 3(х + 1) + х – 4(2 + х) = 3х + 3 + х – 8 – 4х = –5 < 0, значит,3(х + 1) + х < 4(2 + х);б) m(m + n) – mn = m 2 + mn – mn = m 2 ≥ 0, значит, m(m + n) ≥ mn;в) 2у 2 – 6у + 1 – 2у(у – 3) = 2у 2 – 6у + 1 – 2у 2 + 6у = 1 > 0,значит, 2у 2 – 6у + 1 > 2у(у – 3);г) c 2 –d 2 –(–2d 2–1)=c 2 –d 2 +2d 2+1=c 2+d 2 +1>0, значит, c 2 – d 2 > –2d 2 – 1.1253.а) х 2 + 2ху + у 2 = (х + у) 2 ≥ 0;б) 9m 2 + 6mn – (–n 2 ) = 9m 2 + 6mn + n 2 = (3m + n) 2 ≥ 0,значит, 9m 2 + 6mn ≥ –n 2 ;в) 2pq–(p 2 + q2 ) = –(p 2 – 2pq + q 2 ) = –(p – q)2 ≤ 0, значит, 2pq ≤ p 2 + q 2 ;г) 4c 2 + 9d 2 – 12cd = (2c – 3d) 2 ≥ 0, значит, 4c 2 + 9d 2 ≥ 12cd.1254.а) 2х – (2(х – 4) – а 2 ) = 2х – (2х – 8 – а 2) = 8 + а 2 > 0,значит, 2х > 2(х – 4) – а 2 ;б) 4у 2 – 3у – 9(у – 1) = 4у 2 – 3у – 9у + 9 = (2у – 3) 2 ≥ 0,значит, 4у 2 – 3у ≥ 9(у – 1);в) z(z + 1) + 5 – (1 – 3z) = z 2 + z + 4 + 3z = (z + 2) 2 ≥ 0, значит,z(z + 1) + 5 ≥ 1 – 3z;г) t(t+5)–3–(3t–4)=t 2 +5t–3t+1=(t+1) 2 ≥0, значит, t(t + 5) – 3 ≥ 3t – 4.1255.а) (х + 1)(х – 4) – (х + 2)(х – 5) = х 2 – 3х – 4 – х 2 + 3х + 10 = 6 >0,значит, (х + 1)(х – 4) > (х + 2)(х – 5);б) (t – 3)(t – 4) – (t – 1)(t + 2) = t 2 + t – 12 – t 2 – t + 2 = –10 < 0,значит, (t – 3)(t – 4) < (t – 1)(t + 2);в) (а + 2)(а + 6) – (а + 5)(а + 3) = а 2 + 8а + 12 – а 2 – 8а – 15 = –3 < 0,значит, (а + 2)(а + 6) < (а + 5)(а + 3);г) (b – 6)(b + 2) – (b – 3)(b – 1) = b 2 – 4b – 12 – b 2 + 4b – 3 = –15 < 0,значит, (b – 6)(b + 2) < (b – 3)(b – 1).1256.а) (7 + 2d)(7 – 2d) – (49 – d(4d + 1)) = 49 – 4d 2 – 49 + 4d 2 + d = d < 0,значит, (7 + 2d)(7 – 2d) < 49 – d(4d + 1);б) (2q–3)(q – 3) – (q – 1)(q – 8) = 2q 2 – 9q + 9 – q 2 + 9q – 8 = q 2 + 1 > 0,значит, (2q – 3)(q – 3) > (q – 1)(q – 8).1257.a 2 + b2a 2 + b2 − 2ab ( a − b )2a 2 + b2≥ 1;−1 ==≥ 0 , значит,2ab2ab2ab2ab1125r 2 + 10r + 1 ( 5r + 1 )2– (–10) = 25r ++ 10 ==≤ 0,б) 25r +rrrrа)значит, 25r +2781≤ –10;rwww.gdz.pochta.ruв) у +9у 2 − 6 у + 9 ( у − 3 )29–6==≥ 0, значит, у +≥ 6;уууу1616n 2 + 8n + 16( n + 4 )2– (–8) = n ++8==≤ 0,nnnn16значит, n +≤ –8.nг) n +1258.а)p qp 2 + q 2 − 2 pq ( p − q )2p q+ −2 ==≤ 0, значит, + ≤ 2;q ppqpqq p( m + n )2m2 + 2mn + n2 − 2m2 − 2n2 −( m − n )2− ( m2 + n2 ) ==≤ 0,222( m + n )2значит,≤ m2 + n2 .2б)1259.а) х 2 – 6х + 14 = х 2 – 6х + 9 + 5 = (х –3) 2 + 5 > 0;б) а 2 + 10 – (–6а) = а 2 + 6а + 10 = а 2 + 6а + 9 + 1 = (а + 3) 2 + 1 > 0,значит, а 2 + 10 > –6а;в) у 2+70–16у=у 2 – 16у + 64 + 6 = (у – 8) 2 + 6 > 0, значит, у 2 + 70 > 16у;г) b 2 +20–(–8b)–b 2 + 8b + 16 + 4 = (b + 4) 2 + 4 > 0, значит, b2 + 20 > –8b.1260.а) s 2 + 3 – 2s = s 2 – 2s + 1 + 2 = (s – 1) 2 + 2 > 0, значит, s 2 + 3> 2s;б) z 2 + 6zt + 10t 2 = z + 6zt + 9t 2 + t 2 = (z + 3t) 2 + t 2 ≥ 0,значит, z 2 + 6zt + 10t 2 ≥ 0;в) m 2 + 40 – 12m = m 2 – 12m + 36 + 4 = (m – 6) 2 + 4 > 0,значит, m 2 + 40 > 12m;г) (а + 1)(3 – а) – 5 = –а 2 + 2а + 3 – 5 = а 2 + 2а – 2 = –а 2 – 2а – 1 – 1 == –(а + 1) 2 – 1 < 0, значит, (а + 1)(3 – а) < 5.1261.а) 2,8 < 8 ; 7,84 < 8;б)3 > 1,7; 3 > 2,89;10 < 3,4; 10 < 11,56.в)1262.а)в)4168; 5<⋅ 8;5254168 <13 ; 8 <⋅ 13;5255 <1263.а) 15,4 : 3,5 < 15,4 : 3,4;в) 238 ⋅ 2 > 237 ⋅2;1264.а) 1,8 : 2,7 < 1,82 ⋅ 2,7;в) 492 ⋅ 0,3 < 492 : 0,3;г)б)г)7 < 2,8; 7 < 7,84.7637 >53 <49⋅ 2;36919 ; 7 >⋅ 19.252; 3<б) –22,1 ⋅ 2,5 < –22 ⋅ 2,5;г) –5,2 : 4,3 < –5,1 : 4,3.б) 32,5 ⋅ 0,5 < 32,5 : 0,5;г) 8,34 : 1,1 < 8,34 ⋅ 1,1.279www.gdz.pochta.ru1265.k>l0,2 + k > l,l > l – 12,k + 2,6 > k,l – 1,45 > l – 12.Значит,l – 12 < l – 1,45 < l < k < 0,2 + k < k + 2,6.Ответ: l – 12; l – 1,45; l; k; 0,2 + k; k + 2,6.1266.а) 3а + 12 > 3b + 10, 3a > 3b – 2, нельзя утверждать, что a > b.

Например, а = 0,8, b = 1 удовлетворяют неравенству 3а + 12 > 3b +10, но a < b.Ответ: нет.a> 1, нельзя утверждать, что a > b. Например, а = –3,b2ab = –2 удовлетворяют неравенству> 2, но a < b.bб)2a> 2,bОтвет: нет.в) 7a > 5b, a >5b, нельзя утверждать, что a > b. Например, а = 1,7b = 1,1, удовлетворяют неравенству 7a > 5b, но a < b. Ответ: нет.a b> , нельзя утверждать, что a > b. Например, а = –3, b = –2,b aa bудовлетворяют неравенству> , но a < b. Ответ: нет.b aг)1267.а) х 2у ≥ 0.

Нельзя утверждать, что у ≥ 0, например, х = 0, у = –5,Ответ: нет.удовлетворяет неравенству х 2 у ≥ 0, но у < 0.б)хх≥ 0, т.к. у ≠ 0, то у 2 ⋅ 2 ≥ 0 ⋅ у 2, х ≥ 0.2ууОтвет: да.в) ху 2 < 0. Нельзя утверждать, что у < 0, например, х = –3, у = 3 удовлетворяет неравенсту ху 2 < 0, но у > 0.Ответ: нет.г)х2≥ 0. Нельзя утверждать, что у > 0, например, х = 0, у = –5,уудовлетворяет неравенствух2≥ 0, но у < 0.уОтвет: нет.1268.а)222−а+3> 1,– 1 > 0,> 0,а −3а −3а −3значит, 3 < a < 5.а −5> 0,а−3Ответ: да.1< 1. Нельзя утверждать, что a > 3. Напрмер,б)а−21а = –10 удовлетворяет неравенству< 1, но a < 3.

Ответ: нет.а−2280www.gdz.pochta.ru8444−а+2> 2,> 1,– 1 > 0,> 0,а−2а−2а−2а−2а−6> 0, значит, 2 < a < 6. Ответ: да.а−212г)< 3. Нельзя утверждать, что a > 5. Например, а = –10 удова −112летворяет неравенству< 3, но a < 5. Ответ: нет.а −1в)1269.2 + 7 < 5 + 2 , 2 + 7 + 2 14 < 5 + 4 + 4 5 ,а)14 < 2 5 ,14 < 20;б) 2 +11 <2 11 <50 , 44 < 50;в)7 +5 +5 >3+10 , 4 + 11 + 4 11 < 5 + 10 + 2 50 ,3 , 7 + 5 + 2 35 > 9 + 3 + 6 3 ,35 > 3 3 , 35 > 27;3 +г)15 > 4 +2 , 3 + 15 + 2 45 > 16 + 2 + 8 2 ,45 > 4 2 , 45 > 32.1270.37 – 14 > 6 – 15 , 37 + 14 – 2 37 ⋅14 > 36 + 15 – 12 15 ,а)37 ⋅14 < 6 15 , 37 ⋅ 14 < 36 ⋅ 15, 518 < 540;б)11 –5–110 < – 30 ,10 <2 3300 < 115,в)10 –17 –6 – 5 , 11 + 10 – 2 110 < 6 + 5 – 2 30 ,110 – 30 , 25 < 110 + 30 – 2 1100 ⋅ 3 ,5<24 ⋅ 3300 < 115 , 13200 < 13225;7 – 5 , 17 + 15 – 2 17 ⋅15 < 7 + 5 – 2 7 ⋅ 5 ,15 <255 < – 35 ,10 <255 –10 –г)1271ab > 0;7 <11 – 6 ,35 ,255 ⋅ 35 < 95, 255 ⋅ 35 < 85 2;100 < 255 + 35 – 2 255 ⋅ 35 ,10 –11 <7 – 6.5a 12b25a2 + 36b2 − 60ab ( 5a − 6b)25a 12b+≥ 4.+−4 ==≥ 0 , значит,3b 5a15ab15ab3b 5a1272.а) a 2 + 2b 2 + 2ab + 2b + 2 = a 2 + 2ab + b 2 + b 2 + 2b + 1 + 1 == (a + b) 2 + (b + 1) 2 + 1 > 0;б)=a + b 4ab a 2 + 2ab + b2 − 4ab⎛1 1⎞−==( a + b )⎜ + ⎟ − 4 = ( a + b ) ⋅ababab⎝a b⎠( a − b )2⎛1 1⎞≥ 0 , значит, ( a + b ) ⎜ + ⎟ ≥ 4.ab⎝a b⎠281www.gdz.pochta.ru1273.а) 2a 2 + b 2 + c 2 – 2a(b + c) = 2a 2 + b 2 + c 2 – 2ab – 2ac == (a – b) 2 + (a – c) 2 ≥ 0, значит, 2a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2a(b + c);б) неравенство неверно, так как при х = 2, у = 1 получаем2 2 – 1 2 ≥ 4 ⋅ 2 ⋅ 1(2 – 1) 2, 3 > 8 – что неверно.1274.а 3 +1–(а 2 +а)=а3 –а 2 +1–а=а 2 (а–1)–(а–1) = (а – 1)(а 2 – 1) = (а – 1) 2 (а + 1),т.к.

а ≥ –1, то а + 1 ≥ 0, значит,а 3 + 1 ≥ а 2 + а.а 3 + 1 – (а 2 + а) ≥ 0,1275а + b > a + b , a > 0, b > 0. Т.к. a и b > 0, тоab > 0,2 ab > 0,a + 2 ab + b > a + b, ( a +a +т.к.a +1276b )2 > ( a + b )2,a + b > 0, тоb > 0,a + b , что и требовалось.b >a 2 + b2 ≤ a + b, a ≥ 0, b ≥ 0.ab ≥ 0, 2ab ≥ 0, 0 ≤ 2ab, a 2 + b 2 ≤ a2 + 2ab + b 2 ,(a 2 + b2)2≤ (a + b) 2. Так какa 2 + b2 ≥ 0, a + b ≥ 0,то a 2 + b2 ≤ a + b, что и требовалось доказать.1277.( bc − ad ) 2 ≥ 0, bc + ad – 2 abcd ≥ 0, bc + ad ≥ 2 abcd ,bc + ad + ab + cd ≥ ab + cd + 2 abcd ,(a + c)(b + d) ≥ ab + cd + 2 abcd ,( ( a + c )( b + d ) ) 2 ≥ ( ab + cd ) 2 , так какab + cd ≥ 0, то( a + c )( b + d ) ≥( a + c )( b + d ) ≥ 0,ab + cd , что и требовалось до-казать.1278ab+ba≥ a + b , a > 0, b > 0. ( a − b ) 2 ≥ 0,ab + b ≥a–(a –т.к.ab + b)( a + b ) ≥ab > 0, тоa a +b b )ab282ab , т.к.+abba≥≥a + b > 0, тоab ( a + b ),( a − ab + b )( a + b )ab≥a+ b,a+ b,a + b , что и требовалось доказать.a – 2 ab + b ≥ 0,www.gdz.pochta.ru§ 39.

Характеристики

Список файлов книги