mordkovitch-gdz-8-2002 (542435), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Значит, сделанное нами предположение неверно, т.е.5+ 3 – иррациональное число.б) 7– 2 . Рассуждая аналогично пункту а), получаем: 7– 2 =r,2 =7–r,2 –рациональное число. Противоречие. Значит, 7– 2 –иррациональноечисло.в) 1+ 8 . Рассуждая аналогично пункту а), получаем: 1+ 8 =r, 8 =r–1,8 – рациональное число. Противоречие. Значит, 1+ 8 – иррациональноечисло.г) 3– 5 .
Рассуждая аналогично пункту а), получаем: 3– 5 =r, 5 =3–r,5 – рациональное число. Противоречие. Значит, 3– 5 – иррациональноечисло.806. Доказательство аналогично № 805 (а).807.Пусть а и b – данные числа, причем, а – рациональное число, b – иррациональное число, а≠0, а⋅b=с. Предположим, что с – рациональное число, тогдаb=c– рациональное число.
Получилось противоречие, т.к. b – иррациоaнальное число. Значит, сделанное нами предположение неверно, т.е. с – иррациональное число. Что и требовалось доказать.808. а) r+α – иррациональное число; б) 2α – иррациональное число;в) α2 – может быть как рациональным, так и иррациональным числом.Например, если α= 2 , то α2=2 – рациональное число. Если α= 4 2 , тоα2= 2 – иррациональное число.
г) α– r – иррациональное число.809.а)б)=13+ 2 225+ 2 6++13− 2 225−2 6=3− 2 2 + 3+ 2 2( 3 + 2 2 )( 3 − 2 2 )−3 6 ==6= 6 – рациональное число;9−810 − 4 6 + 10 + 4 6( 5 + 2 6 )( 5 − 2 6 )−3 6 =20− 3 6 = 20 − 3 6 – иррациональное число;1163www.gdz.pochta.ruв)33 2−4+33 2+4=9 2 + 12 + 9 2 − 12( 3 2 − 4 )( 3 2 + 4 )=18 2=18 − 1618 2== 9 2 – иррациональное число;274г)+−2 5 =2 5 −3 2 5 +3=14 5 + 21 + 8 5 − 12 − 2 5( 20 − 9 )( 2 5 − 3 )( 2 5 + 3 )=9– рациональное число.11810.а) 24 + 4 6 − 600 = 2 6 + 4 6 − 10 6 = −4 6 – иррациональное число;2 5 3 + 4590 + 4 5 + 9 + 3 45 − 6 20+− 20 ==32699 + 4 5 + 9 5 − 12 5 99 + 5– иррациональное число;==66б) 15 +в)14+ 27 –4 3 + 81 = 14 + 3 3 − 4 3 + 9 = 23 − 3 – иррациональное число;г) 8 +32128−+ 2 − 2 2 = 2 2 + 2 2 − 2 2 + 2 − 2 2 = 2 – рациональное число.24811.Эта точка А(0,0). Докажем, что других таких точек нет.Пусть нашлась другая точка В(а,b), где а и b –целые числа.
Но т.к. т. В принадлежит графику,то b=а 2 , а 2 – иррациональное число (какпроизведение иррационального и рациональногочисла). Значит, b – иррациональное число. Получили противоречие, т.к. b – рациональное число(даже целое). Значит, наше предположение оточке В неверно. Т.е. таких точек больше нет, чтои требовалось доказать.812.Эта точка А(–1;0). Докажем, что других таких точек нет.Пусть нашлась другая такая т. В(а,b), где а и b –целые числа. Т.к. т. В принадлежит графику, тоb= 3 а+ 3 = 3 (а+1),(а+1) – целое число.3 (а+1) – иррациональное число (как произведение иррационального и рационального чисел),значит, b – иррациональное число. Получилипротиворечие, т.к.
b – рациональное число.Значит, наше предположение неверно. Т.е. такихбольше нет, что и требовалосьточекдоказать.больше нет, что и требовалось доказать.164www.gdz.pochta.ru§ 24. Множество действительных чисел813. а) 5; 3; 7. б) 2 ; 3 ; 5 . в) –1; 0; 1. г) 1,5; 2 ; 0.814. а) 1,2; 5; 0. б) 0; 5; 7. в) 5 ; 7 ; 3 .г) Это невозможно, т.к. эти два множества не имеют общей части.815. Потому что на координатной прямой есть точки с иррациональнымикоординатами. Нужно добавить иррациональные числа.816.
а) 7,5>7,498; в) 54,46<54,64; б)3,1416>3,14159; г) 1,2112<1,2121.817. а) –0,25>–0,26; в) –27,36>–27,63; б) –5,123>–5,1231; г) –7,3434>–7,4343.2222 18,622, 5,8–=>0, значит, 5,8>;77772727627, 4,2 –= – <0, значит, 4,2<;б) 4,2 и5555191911,519в) 2,5 и, 2,5– = −<0, значит, 2,5< ;3333333г) 0,1 и , 0,1– <0, значит, 0,1< .222819. а) 4,8 < 29 ;4,8 <5,38...;б) − 10 <–3,16; –3,162...<–3,16;71в) − 3 < − ; –1,732...<–1,731...; г) 45 >5,9; 6,7...>5,9.41818. а) 5,8 и820. а) х–у=3>0, значит, х>у; б) х–у=–0,001<0, значит, х<у;в) х–у= 7 >0, значит, х>у; г) х–у= − 3 <0, значит, х<у.821.
а<b, значит, а–b<0. Т.е. подходит только б) –5.822. а) а=2, 2(2+2) > (2–3)(2+2); 8 > –4;б) а= 3 , 3 ( 3 +2) > ( 3 –3)( 3 +2), т.к. 1–е число > 0, а 2–е < 0, то3 ( 3 +2) > ( 3 –3)( 3 +2);в) а=3,23, 3,23(3,23+2) > (3,23–3)(3,23+2);т.к.
3,23 > 3,23–3, то 3,23(3,23+2) > (3,23–3)(3,23+2);г) а=– 5 , – 5 ( 5 +2) < (– 5 –3)(– 5 +2).823. а) х=у–5; х–у=–5<0, значит, х<у;б) х+1=2у, где у>1, х = 2у–1; х–у = 2у–1–у = у–1 > 0, значит, х > у;в) у+3 = х + 2 2 ; х–у = 3 – 2 2 >0, значит, х > у;г) у–х = 1 + у2 > 0, значит, у > х, т.е. х < у.824. а) mn > 0,mm> 0; б) mn < 0,< 0.nn825. а) abcd > 0, т.к. ab > 0 и cd > 0;б)abdd> 0, т.к. ab > 0 и> 0;ccв)acac> 0 , т.к. > 0 и>0;bdbdг) а2 b3 c4 d5 < 0, т.к. a2 b3 >0, c4 > 0, d5 < 0.826. А (1, 3) , т.к.
1 < 1,3 < 2; В(π), т.к. 3 < π <4.827. С( −828. а)ππ), т.к. –1< − < 0; d ( 8 ) т.к. 2 < 8 < 3.441313Значит, 0< < 5 ;= 2 ,16...5 = 2 , 23...;66165www.gdz.pochta.ruб) π = 3,14... значит, 3 < 3 ,14 < π; в)ππ= 0,52... значит, 0,3 < 0,5 < ;66г) − 10 = −3,16... , значит, –3,2 <– 10 < –1.15< 0;7ππб) 2π = 6, 28...
, значит, 5,81 < 2π < 6,3; в) = 1,57... , значит, 1,5 << 1,6;2222г) −= −0 ,7... ,значит, –1 < −< 0,5.22829. а) −42= −2 , 282...;830. а) pq > 0,−15= −2 ,14 ,7значит, –значит, либо p >0б) р q <0, т.е. q<0 а р – любое (≠0); в)p<0,q2< –и q > 0, либо p < 0 и q < 0;2г)4рq2> 0 , т.е. р > 0 а q – любое (≠0);значит, либо p>0 и q<0, либо p < 0 и q > 0.831. а) a>2, 3a>6, значит, 3a–6> 0;a−2>0;a −1б) a>2, a–2 > 0, a>1+1, a–1 > 1, т.е. a–1 > 0, значит,в) a >2, a–2 > 0,значит,−5>0;2−aг) a>2, a–2 > 0, a–1 > 1, 1–a <–1, т.е.
1–a < 0, значит, (a–2)(1–a)< 0.832. а) b<3, b–3 < 3, (b–1)2 ≥ 0, значит, (b–3)(b–1)2 ≤ 0;б) b<3, т.е. b<4, b–4<0, 3–b>0, значит,в) b<3, 4b<12, т.е. 4b<14, 14–4b>0;b−4<0;3−bг) b<3, b2+1>0 т.к. b<3, то b<7, b=7<0, 3–b>0, значит,833.
а) s< 1, т.е.б) s>4, т.е. s >1,в) 1<s< 4, s–4 < 0г) s > 5, т.е. s >4K(13π);2), L(1),16620 =4,47...;21=2,29... т.е.221), M (2,5);23π=4,71...; т.е.23πK( 20 ), L(4,5), M().2г)<0.ππ= −1,57... т.е. –2 < − 3 < − , значит, К(–2),22113б)=1,73;=0,57 т.е.<1< 3 , значит,33M( 3 ); в) 5 =2,23...;значит, K( 5 ),L(( b − 7 )( 3 − b )s<4, s–1 < 0, s–4 < 0, значит, (s–1)(s–4) > 0;s–4 > 0 s–1 > 0, значит, (s–1)( s–4)> 0;s–1 > 0, значит, (s–1)( s–4)< 0;s >1, s–4 > 0, s–1 > 0, значит, (s–1)( s–4) > 0.834. а) − 3 = −1,73...
; −L(– 3 ), M( −2b +120 <4,5<3π,2значит,5 <21<2,5,2www.gdz.pochta.ru§ 25. Модуль действительного числа835. а) |6|=6; б) |–2|= –(–2)=2; в) |–4|= –(–4)=4; г) |25|=25.836 а) − 2,56 = −(−2,56) = 2,56 ;б) | 1,7| = 1,7;в) |5,09| =5,09; г) − 3,75 = −( −3,75) = 3,75 .2 − 1 = 2 − 1 (т.к.837.
а)2 − 1 > 0 );б)3 − 5 = −( 3 − 5 ) = 5 − 3в)8 − 4 = −( 8 − 4 ) = 4 − 8г)5−2 = 5 −22(т.к.3 − 5 < 0);8 − 4 < 0);(т.к.(т.к. 5 − 2 < 0).2838. а) |9| =9 =81; б) |–2|2 = (–2)2 = 4; в) |–5|2 = (–5)2 = 25; г) |8|2 = 82 = 64.839. а) |3| = |–3| – верно, т.к. обе части равны 3;б) –|2| = |2| – неверно, т.к. слева стоит отрицательное число, а справа – положительное число; в) |–7| = |7| – верно, т.к. обе части равны 7;г) |–10| = –|10| – неверно, т.к.
справа стоит отрицательное число, а слева –положительное840. а) |a|+3= |7|+3 = 7+3= 10; б) |b|–2,5 = |– 3 | – 2,5 = 3 –2,5;в) |b|–2 = |0|–2 = –2; г) |d|+1 = | 2 –1|+1 =2 – 1+1 =2.841. а) |x|+|y| = |0|+| 5 | = 0+ 5 = 5 ;б) |z| –| t| = −г)p−q4842. а)=−1, 2 − 84a−br −st2=c2в)27−5 +4m+n32 3 2123= 7= 3 =;− − = − = − ; в)85 8 54022214−9, 2=4−3 − −2−120 − −16=4==9, 2= 2 ,3 .4=xy 2 3 ⋅12 33− 4== =1;= 1 ; б)z−3 3−12u 2v 12 ⋅ 2 2−16== .= −4 ; г)w3−34843. а) унаим =|0| = 0, унаиб=|1| =1; б) унаим =|0| = 0, унаиб не существует;г) унаим =|0| = 0, унаиб не существует.в) унаим =|2| =2, унаиб=|7| =7;844.а) унаим =|0| = 0, унаиб не существует; б) унаим =|0| = 0, унаиб не существует;в) унаим =|0| = 0, унаиб не существует; г) унаим =|0| = 0, унаиб не существует.845.а) |x| = 1; x = ±1 ;б) |x| = 2; x = ±2 .х–10в) |х|=0; х=01х–202г) |х|= –3; нет корней, т.к.
|х|≥0167www.gdz.pochta.ru846.а) |x| = –x2.б) |х| =Строим графики функций21.xСтроим графики функций.у = |х| и у = – х .у = |х| и у =Ответ: 0.Ответ: 1.2г) |х| = –в) |x| = x .Строим графики функций2у = |х| и у = х .1.x1.xСтроим графики функцийу = |х| и у = –1.xОтвет: – 1; 1.Ответ: –1.847. а) f(– 2) = −2 = 2 ; f (0) = 2 ⋅ 02 = 0; f (5) = 2 ⋅ 52 = 50;б)в) свойства функции: 1) область определения: (−∞;+∞ ) ;2) y > 0 при x ∈ ( −∞;0 ) U ( 0; +∞ ) ; у = 0 при х = 0;3) функция непрерывна;4) функция ограничена снизу, но не ограничена сверху;5) унаим = у(0), унаиб не существует;6) функция выпукла вниз на луче [0;+∞).168www.gdz.pochta.ru848. а) f ( – 3) = |–3| = 3; f (3) = | 3| = 3; f (4,5) =9= 2;4 ,5б)в) свойства функции:1) область определения: [− 3;+∞) ;2) y > 0 при x ∈ [ −3; 0 ) U ( 0; +∞ ) ;у = 0 при х = 0;3) функция непрерывна;4) функция ограничена и сверху, и снизу;5) унаиб=у(3) = 3, унаим = у (0) = 0; 6) функция выпукла вниз на луче [3;+∞).849.
а) f (–3,25) =28= − ; f (–1) =| –1| = 1; f (0) = | 0| = 0;13−3, 25б)в) свойства функции:1) область определения: ( −∞; +∞);2) y > 0 при x ∈ [ −1; +∞ ) ; у < 0при х ∈(−∞; −1); y = 0 при х = 0;3) разрыв при х = −1;4) функция ограничена снизу, но не ограничена сверху;5) унаим и унаиб не существует;6) функция выпукла вверх на открытом луче (−∞;−1).850.
а) | х – 3 | = 0; х – 3 = 0; х = 3 ; б) |х + 7| = 0; х + 7 = 0; х = – 7;в) | х + 5 | = 0; х +851.а) |х | = 5,5.5 = 0; х = – 5 ; г) |х – 6| = 0; х – 6 = 0; х = 6.б) |х | = 1.х–5,50х–15,5Ответ: – 5,5; 5,5.в) |х | = 3.01Ответ: – 1; 1.г) |х | = 0,2.х–303х–0,2Ответ: – 3; 3.852.а) |х – 1| =2.00,2Ответ: – 0,2; 0,2.б) |х – 5| =4.х–11Ответ: – 1; 3.3х159Ответ: 1; 9.169www.gdz.pochta.ruв) |х – 7| =5.г) |х – 11| =9.х72Ответ: 2; 12.853а) |х + 2,5| = 1.112Ответ: 2; 20.12х20б) |х – 1,5| = 3,5.х–3,5 –2,5 –1,5Ответ: – 3,5; – 1,5.–1,5–2Ответ: – 2, 5.в) |х + 0,75| = 3,75.г) |х –х521|= .33хх–2,75–4,51323Ответ:1, 1.33Ответ: – 4,5; 3.1854.а) х–3 ≥ 0;855.( x − 3 )2 =|х –3| = х–3; б) х–3 < 0;( x + 5 )2 =|х+5|= х+5;а) х+5>0;856.
а) ( 1 − 3 )2 =|1– 3 |= –(1–2б)( 2 − 3 ) =|2–в)( 5 − 3 )2 =|г)2( 3 − 6 ) =|3–857. а)3 |=2–5 –3|= –(6 |=3–б) х+5≤0;3 )=( x + 5 )2 =|х+5|= –( х+5)= –х–5.3 –1,3 , т.к. 2–5 –3)=3–( x − 3 )2 = | х–3 |= –(х–3)=3–х.3 <0;3 >0;5 , т.к.6 , т.к. 3–5 –3<0;6 >0.( 4 − 2 5 )2 = | 4– 2 5 | = – (4– 2 5 )= 2 5 –4, т.к. 4– 2 5 <0;б)( 6 − 3 6 )2 =| 6 − 3 6 |= –( 6 − 3 6 )= 3 6 –6,в)( π − 3 ) =| π − 3 |= π − 3 , т.к. π − 3 >0;2г) ( 4 − π )2 =| 4 − π |= 4 − π , т.к. 4 − π >0.858а) у=|х+1|;б) у=|х–3|;170т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
