makarytchev-gdz-8-1-1096 (542429), страница 10
Текст из файла (страница 10)
[х-фе-у) (х-2)[2-у) х -Зх+б х 2 2 а) х — 3 х 6 6 + — =х+ х-3 к — 3' у~+5у — 8 у у+5 у 8 8 — — =у-— у+5 у+5' а~ + За+2 ат — Зх 6 4к-3) -3 х — 3 х — 3 +5у 8 Яу»5) +5 у+5 у+5 а +ба +ба+а+2 в) а+6 а+6 а+б а+2 а(а+6) а+2 а+2 + + — = а+ — „' а+6 а+6 а+б а»б" Зь~ — )ОЬ вЂ” 1 ЗЬ~ -0Ь вЂ” Ь вЂ” 1 ЗЬ вЂ” 9Ь г) Ь вЂ” 3 Ь вЂ” 3 Б — 3 Ь+) ЗЬ(Ь-3) Ь+) Ь вЂ” — = ЗЬ вЂ” —, Ь вЂ” 3 Ь вЂ” 3 Ь вЂ” 3 Ь вЂ” 3 ЬГ» 220». Представьте дробь в виде суммы или разно- сти целого выражения и дроби ) х~ — Зх гб а +7а+ 2. в) х — 3 а+6 у +5у — 3, у+5 г) ЗЬ~ -1ОЬ вЂ” ! Ь вЂ” 3 х2+7х — 25 х' -25 7х ]) " — + х — 5 х — 5 х-5 (х — 5)~х ~ 5) 7х 7х — + — = х+5+ — -, х — 5 х — 5 х — 5' ответ верный; первый х" ~ 7х — 25 х" +12х — 5х-25 х — 5 х — 5 х~ - 5х 12х — 25 х1х — 5) 12х — 60+ 35 х — 5 х — 5 х-5 х — 5 12х — 60 35 12(х — 5) 35 =к+ + — =к+ + — ю х — 5 х — 5 х-5 х — 5 35 == х+ 12+ —, второй ответ верныи; х-5' 3) третий ответ неверный.
М 221. Учащиыся была поставлена задача: хз + 7к -25 «Представить дробь в аиде суых — 5 мы целого выражения и дроби . Были получены три ответа: 1) х+ 5+ —," 7х 2) х .12+- — ", 35 к-5' к — 5 3) -х+-— 2х — 25 х — 5 Все ли ответы верные? ЬЬ 222. Докажитс тожлсство; 6х 13 „ст юЬ а) — -6- —:б) — =а — —. х ° 3 х+3' х+Ь х+Ь бх 6х ~18-18 18 а) — = ' =6- . что и трсбох+3 х+3 х+3 аалось доказать.
ах ох аЬ вЂ” аЬ а(х + Ь) — оЬ аЬ б) — = ~а- —, х+Ь Ь х Ь х+Ь что и требовалось доказать. )те 223. При какои значении выражения. 2х а а) — и 2+ —, х+3 х+3' х й б) — ' и 1+ —,. х-5 х-5' а тожвественно равны и — -1. 7 5 — х 2„ в) —" 3-х х+2 г) = 5-х а и — — 2; 3-х х — 5 т-5 5 а 1= х — 5 5 а х — 5 —, а=5; л — 5' 2х а а) — = ?+ х+3 х+3' 2х а -2=— х+3 х+3' 2х — 2х — 6 а х+3 х+3 6 а — — = —, а-" — 6; х+3 х+3 х а б) — = 1+ — *.
х-5 х-5" ?х а в) — = — — 2; 3-х 3 — х 2х а — +2= —; 3-х 3 — х' 2х+6-2х а 3 — х 3 — х' 6 а — = —, а=6; 3 — х 3 — х х+2 а г) — =- — — 1; 5-х 5 — х х+2 а — +1= — ' 5-х 5-х' х+2+5 — х а 5-х 5-х' — = —,а 7. 7 а 5 — х 5 — х' М 224'. Представьтс лробь в виде суммы илн разно- сти целого выражения н лроби: 5х, -2х 2х х-3 а) —; б) —; в) —; г) —. х+2' к-1' 5 — х' 2-х 5х 5(х+ 2) 10 !О а) — = — — — 5- — „ х+2 х+2 х+2 х+2" — 2х — 2(х — 1) 2 2 б)— - — = — 2 —— х-! х — ! х — ! х — 1' 2х 2(х — 5) 10 2(5 — х) 1О в) — = + — =— + ж 5 — х 5 — х 5-х 5-х 5 — х 1О - -2+— 5 — х' х-З х-г-! х-2 г) —— 2 — х 2-х 2-х 2-х 2 — х 1 1 — — — =-!- —.
2-х 2 — х 2 — х Х 225'. При каких целых и ся целым числом: 5л +2п+ 3 а) (п — 3) б) значение лроби являет- Зп в) —; и+2 г) —. 7л и и — 4 5и + 2л + 3 5из 2и 3 3 а) — — + — + — =5л ~2' —. л п л и л При л =+1; +3 значение дроби — цслое чис- ло. (и -3)' пз -6п+9 пз 6п 9 9 б) — = = — — — + — и-6+ —. п и л л п и Прн л =+1; а3; а9 ЗНаЧЕНИЕ ЛрОбн — ЦЕЛОЕ число. 3п 3(п+ 2) 6 6 в) — = — — — =.
3- —, и+2 п+2 л+2 и+2 При и =--8; О; а1; -3; +4; -5 значение дро- би — целое число. 7п 7(л — 4) 28 28 г) — = ---- — + — = 7+ —. л — 4 и-4 л — 4 л-4 При л = О; 2; а 3; 5; 6; 8; -1О; 1!.. 18: — 24; 32 значение дроби — целое число, )Ф 2?Ь'. Найдите такие значеиин а и Ь.
при кото- рых выпояияется тожаество: 5х а Ь э) а + ( -?Хх+3) х-? х+3' 5х+31 а Ь б) (х-5)(х+2) х-5 хе? 5х а Ь а) +— (х-?Кх+3) х-2 х+3" 5х а(х+ 3)+Ь(х-2) (х-2)(х+3) (х-2)(х+3) 5х е а(х + 3) + Ь(х — 2); 5х ах е За + Ьх — 2Ь; 5х а(ах+ Ьх)+За — 2Ь; 5х = х(а4 Ь)+ За — 2Ь; а+Ь= 5. )а=5-Ь, За-2Ь =О ~(З(5-Ь)-?Ь *О; 15-ЗЬ-2Ь =О; Ь 3; а = 2; 5х+31 а Ь б)— (х-5)(хе?) х — 5 х+2' 5х+ 31 ах+ 2а — Ьх+ 5Ь; 5х+ 31 = ах — Ьх+ 2а+ 5Ь; 5х + 31 ~ х(а — Ь) + 2а + 5Ь; а-Ь 5, (а=Ь+5, 2а+5Ь=31; 12(Ь+5)~5Ь 31: 2Ь+10+5Ь~З1; 7Ь 21; Ь~3; а~8.
Ме 228. Упростите выражение: Щ *Щ ~Щ Щ 4Щ а) щЗ+щ2 щ4+щЗ+щ2 ' и -и+и и 2 4 б 1 1-и из -из+и т +щ +т т +т 4 3 2 4 3 1!2т2 + т 1) т !2т + 1) т (т+!] т (т + т 4 )) т1 т2 1) ) л -п +п и -1 2 ° б 1 1-и лб — ИЗ+и ИЗ(1 л2 + иб)(ИЗ - 1) ~1 -+' — и' ° 1) ИЗ(иб — и Ф!)(и — еп + !) . -И(и+!) . АЪ 229. Вмнолннте лействия: ) ьь '- ь.ь - *- ь ~ ° -ь*- ь' +ак-Зх-За к-+4к-ак-4а 2 к' - ак - Зх + За к~ + 4х + ах+ 4а а| + ах+ иЬ + Ьх а~ - ах — Ьх ~ аЬ Й а — ах — аЬ + Ьх а~ + ах - Ьх - аЬ (а + ах) + (аЬ + Ьк) (- ах - Ьк) ~ (а + аЬ) (- ах + Ьх) + (а — аЬ) (а~ — аЬ) + (ах - Ьх) к(Ь-а) ~ а(а-Ь) а(а — Ь) вх(а-Ь) (а+ х)(а+ Ь)(а+ Ь)(а — х] (а+ Ь) (а — Ь)(а — к)(а — Ь$а + к) (а Ь)1 к ~ ак-Зх — За х +4х — ах-4а 3 в б) х~ -ак -Зх+За хи+4х+ак+44 (х' + ах) — (Зк+ За) (к1 - ак) (4х — 4а) (х -ах) — (Зх-За) (х +ах)+(4х+4а) х(х+ а) — 3(х+ а] х(х - а) + 4(х — а) к(х - и) - 3(х — а) к(х + а) + 4(х я а) х+ а к — 3)(х — а х + 4 х 4 а х - а 1 (х — асс — 3)(х+ а)(х+ 4) (х - а)(х+ и) № 23».
Упростите выражение: ) х - Ьх + ох - аЬ х ° Ьх ь ак и аЬ 2 х +Ьх-ак-оЬ х -Ьх-ок оЬ 2 61 2 2 » -Ьх+ах — аЬ х +Ьх+ах+аЬ 2 2 а) ьь к + Ь» - ах — оЬ» - Ьх — ах+ аЬ 2 2 (х 2 - Ьк + ак — аЬ) (х 2 - Ьх - ах о аЬ) (х»+Ь»-и-аЬ) (к'+Ьх+ах+аЬ) (*'-ь).( - ь) (~ь*)-( - ь) [(х» Ьх) -(ак аЬ)Ця» Ьк) + (ах аЬ)1 [х(к + Ь) — о(» + ЬЯ»(х + Ь) + а(х + Ь)] (» - Ь»+ а)(к - Ь)(х - а) (» - Ь)' (» + Ь)(к - о)(х + Ь)(» + а) (х+ Ь) т +т-тл-п т -т-ел+и 1 1 6) ьь а + а+тл+и е -а+ ел-и г 2 (т +а — ал-и) (е -аьпа-и) (т + е + лы + п) (т - т - еи в и) [(е» + е) ( лфе» - е) -(аи - и)1 [е(е + () + л(е + ))~а(т - )) - л(т — ))) (е ь!)(е — п)(е — Ще+ и) зь е 2, (т +!)(т» л)(е — фт - л) Ж 232.
Докажите, что если тпп. тпв и ппО, то значение выражения 2 1! 11 т +п пт тт п3 (и п)~ не зависит от значений аеременных. тт лт 2ттиз тт + ит 2пщ (т — л) то(л — т) (и — т) [и — т) тз + ит 2ти — тт — лт и' — 1тл+ т" (и-т] (и-т) (л — т) (л- т) -1, те.при т хи, тпО, ипО ( )1 получается выражение, не завнсяшее от зна- чений переменных. ЗЧе 233.Докажите, что ири любом натуральном л значение выражения 8.66-.'.2 является натуральным числом. (гт+л") 3 ' (3+лье-Ь +л') — З-~л, (- 9-Зл+л2).Зл' 9 — Зл+лт т.е.при любом натуральном л получается на- туральное число, Рй 234 . Докажите, что лри любом целом а и лробном х значение выражения является четным числом. с о +хз1 ~'2а 4а 1 Ф+х) (а +х ) а— + ИР к а+х~ ~,х а — х а+х 2л(а — к) ~ 4ах аз + ах — ат — кз х к к(а — х) а+ х 2ат — 2ах+4ах ак — к- 2аЗ +2ак х(а — х) а + х ~(а — х) ) =2а, т.е.прилюбом целом (а + х) .
х(а - х) а получястся четное число. № 235. Докажите, что при любом значении х, большем 2, значение выражения является отрицательным числом. х+1 4 ! х+1 хз -5х+3 — + — - 2у —— 2х х+3 к+3 2х (х+1)(х+ 3)+8х-4х(х+ 3) ~с+! х — 5к+3 2з(хауз] х+3 2х хз + Зк+ х+ 3+ Вх — 4хз -12х х+ 1 2х(х Ф 3) х+3 х -5х+3 — Зх~+3 х+1 хз -5х+3 2х 2х(х+ 3) х+ 3 2х — 3(к' — !)(х+ 3) хз 5х+ 3 2к(х + 3)(х я 1) 2х — 3(х + 1)(х + 1)(х + 3) хз — 5х + 3 — 3(" — 1) 2к(х+3)(х+1) 2х 2х х -5х~ 3 — Зх+ 3- х +5к — 3 — х +2х з з 2х 2х 2х х~ 2х х — — + — = — — + 1, т.е.при любом значении х, 2х 2х 2 большем 2, получается отрицательное число. № 2Э7.
Представьте в виде дроби п « ~а+« а) аЬ+ — ( — — а — «); Ь!. -Ь б2 У хУ вЂ” ху+у~! — + х +Ау х у х+у 2 1 ) 4п2+4п«+Ь ра. Ь)2 4п2 — «(2п+ Ь~~) 1ьп аЬ (а+Ь а) а«+ — 1 — -а — Ь = и+ «~а — Ь аЬ а + Ь вЂ” (а — Ь)(а — Ь) = аЬ+ —- — -=а«+ а+Ь а-Ь аЬ(а+Ь)(1-(а-Ь)) аЬ (! — а+«) (а+ Ь)(а — Ь) а — Ь аЬ(а — Ь) + аЬ(1 — а + Ь) п - Ь а2Ь вЂ” п«2 + п« вЂ” и Ь+ аЬ аЬ а-Ь б) у, у — ху+ у' „у (ху у2)(х2 х +ху х у + + х-у х+у х у + х — у х+у — у(1+ х + ху) + + (2а — Ь) (2п+ Ь) 4а +Ь +За — 2Ь +4а2+Ь2 (2а+Ь) (2а — Ь) (2а+ Ь) 1бп 1ба2(2п ь Ь) а (2а+ Ь) (2а — Ь) 1ба (2п — Ь) 1ба х(х+у)(х — у) х+у х+у 2 2, -(х у+ху ) х+ у х+у х+у ху(х + у) Х+у 1 2 1 1 4п2+4аЬ+Ь2 в) (2а — Ь)' 4п' — Ь2 (2п+ Ь)2~ !ба 1 2 ! 1 (2а+Ь) (2а Ь) (2а — ЬХ2п + Ь) Р «)~ ! 1ба (2а+Ь) +2(2а-Ь)(2а+Ь)+(2п-Ь) (2а+ Ь) (2а — Ь) (2а+ Ь) 1ба 4п +4аЬ+«+2(4п2-«2 +4а2 — 4аЬ+Ь (2п+«)2 И 239. Докажите тождество. 1 64 2 1 1 р~+4д~ р — 2ф 44 -р Р+2ф 2Р р -44 бд г р-24 44д — р' р+24 1 бд 2 р — 24 (2д — Я~2ц р) р+ 24 1 бд 2 Р-29 (Р-24)(Р+2Ф) Р+ 2Ч (р-24)(р+24) р+ 2д — бд — 2р+44 р (р — ар+ 2д) рт — 4да 2р ~р~ -4да ) 2р р~ — 44~ 1 2р р 2р ра от ра М 240'.
Одно из тождеств, приведенных знаменитым математиком ХЧ!!! в.Л.Эйлером, выглядит так: ь(ъ .ь')1' И~,2Ь|)' Докажите его. Ь(~ '+ ') ( '+? ') а(а'+ 2Ь') Ь(?аз + Ь') аз(аз+ ?Ьз) Ь (?а«ь Ьз)' д«+ Ьз (аз Ьз) (аз Ьз) .«(.«+?Ьз)' Ь«(?. +Ьз)' а' + Ь"— (ૠ— Ь') (дз+Ь«~ૠ— Ь«) = аз(аз+2Ь«) — Ьз(2аз+Ь«), Теперь преобразуем каждузо часть равенства отдельно: !) (д ь Ьз)(дз Ьз) (дз ь Ьз)(аь Здьбз + ?д«бь Ьь) — аи + дэЬ« ЗазЬ« Заьбь + Здьбь ~. Зд«бь д«Ьь Ьп дп ?дьЬ« + +?а«Ь - Ь' ?) аз(аз+2Ь«) — Ьз(2а«+Ь") =а~(а~+ба Ь«+ + ба«Ьь + ЗЬз)- Ьз(8аз + баьЬ« + ба«Ьь + Ьь) =.
= аи + ба~Ь +ба Ь + 8а«Ь — 8ц~Ь вЂ” баьЬь— — бц~Ь~ — Ь'" = аы — ?а Ьз + ?д«Ь~ — Ь", что и требовалось доказать. № 241 . докажите, что при всех Ьзопуетил1ых значениях переменных значение выражения 121.3! -а- — -Ь вЂ” а+ — Ь 4 9 4 2 не зависит от а и Ь. — а — 2аЬ + — Ь 3 т 2 т 2 3 бЬ 3 — а — а+- Ь 4 9 4 2 9а~ — 12аЬ+ 4Ь 9ат — 4Ьт 6Ь За+?Ь 6 36 ! 4 (За — 2Ь) 36 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
