1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 16
Текст из файла (страница 16)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10∂f+ (f, H) = 0∂tНовосибирск, 2017 г.8 / 17Достаточность. Если наоборот для функции f (t, q, p) задано этосвойство, то с учетом уравнений движения Гамильтона (1) егоdfможно представить в виде= 0, значит f (t, q, p) ≡ const наdtлюбом решении (1). То есть эта функция – интеграл.¥Теорема Якоби-Пуассона. Если функции f1 (t, q, p) и f2 (t, q, p)являются интегралами канонических уравнений движения, то ихскобка Пуассона (f1 , f2 ) также будет интегралом этих уравнений.Т.
е. если∂f1+ (f1 , H) = 0,∂t⇒Батяев Е. А. (НГУ)∂f2+ (f2 , H) = 0,∂t∂(f1 , f2 )+ ((f1 , f2 ), H) = 0∂tЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.9 / 17Доказательство. Преобразуем левую часть этого равенства. По4-му свойству скобок Пуассона имеем:µ¶ µ¶∂(f1 , f2 )∂f1∂f2=, f 2 + f1 ,∂t∂t∂t∂f1 ∂f2Далее заменим производныеиих выражениями через∂t∂tскобки Пуассона и воспользуемся свойствами 1 и 2, тогдаполучим:∂(f1 , f2 )= (−(f1 , H), f2 )+(f1 , −(f2 , H)) = ((H, f1 ), f2 )+((f2 , H), f1 )∂tПодставляя полученное выражение в левую часть требуемогоравенства получим:((H, f1 ), f2 ) + ((f2 , H), f1 ) + ((f1 , f2 ), H)которое согласно тождеству Пуассона, тождественно равно нулю ¥Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.10 / 17В задачах механики нередко случается, что несколько интеграловканонических уравнений легко устанавливаются (интегралэнергии, циклический интеграл). Тогда теорема Пуассона даётпростое правило по двум независимым интегралам f (t, q, p) иg(t, q, p) получать новый интеграл в виде скобки Пуассона от этихфункций: (f, g). Таким путём в некоторых благоприятныхслучаях удаётся найти полную систему интегралов и тем самымопределить все движения системы.Может показаться, что теорема Якоби-Пуассона всегда позволяетпо двум известным интегралам найти ещё один первый интеграл,затем ещё один и так далее, до тех пор, пока не будет полученаполная система интегралов, необходимая для построения общегоинтеграла (решения) канонических уравнений. Это совсем не так.На практике скобка Пуассона может быть либо константой(например, тождественный ноль), либо функцией известныхисходных интегралов, т.е. нового независимого интеграла не даёт.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.11 / 17Если для некоторой системы интегралов {f1 , . . . , fm } скобкаПуассона для любой пары функций обращается в ноль:(fi , fj ) = 0 (i, j = 1, . . . , m), то такую систему называют —инволюционная система интегралов (или говорят находитсяв инволюции).Для того чтобы можно было надеяться получить из 2-хинтегралов много или даже все интегралы, недостающие дляпостроения общего решения, надо, чтобы хотя бы один из двухизвестных исходных интегралов был характерен длярассматриваемой частной задачи, чтобы он как можно полнееотражал или содержал – физическую сущность, содержание,специфику именно данной задачи. Беря за исходные – интегралы,вытекающие из общих для всех систем теорем динамики,надеяться на эффективное применение теоремы Якоби-Пуассонане приходится.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.12 / 17Рассмотрим некоторые частные случаи. Для начала выясним,при каких условиях сама функция Гамильтона будет интеграломгамильтоновых уравнений движения.∂HИз критерия «интегральности»:+ (H, H) = 0∂tи очевидного равенства (H, H) = 0∂Hследует, что это будет при= 0,∂tт.е. необходимо чтобы функция Гамильтона не зависела явно отвремени.
Т.е. система должна быть обобщённо-консервативной.Таким образом, пришли к уже известному результату:гамильтонова функция является интегралом дляобобщённо-консервативных систем и этот интеграл выражаетобобщённый интеграл энергии: H(q, p) = h.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.13 / 17Теперь пусть у обобщённо-консервативной системы, наряду сH(q, p) = h, есть ещё интеграл f (t, q, p). Тогда в соответствии стеоремой Пуассона интегралом будет и скобка Пуассона (f, H).Если же воспользоваться критерием «интегральности» дляf (t, q, p), то этот новый интеграл этот можно представить в виде(f, H) = −∂f∂tТаким образом, если f (t, q, p) – интеграл канонических уравнений∂fобобщённо-консервативной системы, то интегралом будет и,∂t∂2fа, следовательно, и 2 и т.д.∂tЕсли же интеграл уравнений от времени явно не зависит, т.е.∂f= 0, тогда получить новый интеграл не удастся.∂tБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.14 / 17Пример. Движение материальной точки под действием силы упругостиF̄ = −k 2 mr̄ – упругая силаx3– пропорциональна расстоянию до центра,F rи направлена противоположно радиус-вектору,т.е. зависит только от положения точки, значитOa– потенциальная сила. В покомпонентом виде:x2x1Fα = −k 2 mxα , (α = 1, 2, 3), тогда:3333XXX∂Πk2 m X 22dΠ =dxα = −Fα dxα =k mxα dxα =dxα∂xα2α=1после интегрированияα=1⇒Π=α=13Xk2 m23α=1x2α− потенциалα=13∂Tpα1 X 21 X 2= mẋα ⇒ ẋα =ẋα ⇒ pα =⇒ T =pαT = m2∂ ẋαm2mα=1α=1Материальная точка – консервативная система, значит¶333 µ1 X 2 k2 m X 21 X p2α22H =T +Π=pα +xα =+ k mxα2m22mα=1Батяев Е.
А. (НГУ)α=1ЛЕКЦИЯ 10α=1Новосибирск, 2017 г.15 / 17Уравнения Гамильтона:∂Hpαdxα=,=dt∂pαmdpα∂H=−= −k 2 mxαdt∂xα3∂H1XКроме того:=0 ⇒ H=∂t2µα=1p2α+ k 2 mx2αm(α = 1, 2, 3)¶– интеграл энергии.Нетрудно убедиться, что выраженияfα (t, x, p) = xα sin kt +pαcos ktmk(α = 1, 2, 3)являются интегралами гамильтоновых уравнений:ṗαpαdfα = ẋα sin kt + xα k cos kt +cos kt −k sin kt =dtmkmkµ¶³pα ´ṗα= ẋα −sin kt + xα k +cos kt = 0mmkЗначит fα (t, x, p) = cα = const на решении уравнений Гамильтона.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.16 / 17Используя теорему Пуассона: (fα , H) – интеграл и из критерия∂fα«интегральности»= −(fα , H) установим 3 других независимых∂tинтегралов:∂fαpα= xα cos kt −sin kt = gα (t, x, p)∂tmk(α = 1, 2, 3)Значит gα (t, x, p) = bα = const на решении уравнений Гамильтона.Система интегралов {fα , gα } (α = 1, 2, 3) – независима и определяетxα , pα через t и cα , bα .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.17 / 17ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 11УСТОЙЧИВОСТЬПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯКОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА(-ДИРИХЛЕ)НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.1 / 21Рассмотрим консервативную систему, положение которойзадаётся обобщёнными координатами q1 , .
. . , qn (n – числостепеней свободы). Будем предполагать, что система находится вравновесии. Напомним, что положением равновесия называетсятакое положение (движение), в котором система в начальныймомент находится с нулевыми скоростями при условии равенстванулю равнодействующей активных сил и реакций связей.Ранее мы показывали, что положение системы q1∗ , .
. . , qn∗ тогда итолько тогда является её положением равновесия, когда в этомположении все обобщённые силы равны нулю:Qσ = −∂Π(q1 , . . . , qn )=0∂qσпри qσ = qσ∗(σ = 1, . . . , n)где Π = Π(q1 , . . . , qn ) – потенциальная энергия системы, котораяв случае консервативной системы не зависит явно от времени.Т.е. в положении равновесия q1∗ , . . . , qn∗потенциальная энергия достигает экстремума.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.2 / 21Без нарушения общности будем считать, что рассматриваемоеположение равновесия находится в начале координат, т.е. qσ∗ = 0(σ = 1, . . . , n), является заданным положением равновесия,определяемым из системы уравнений∂Π(0, . . . , 0)=0∂qσ(σ = 1, . . . , n)(может быть несколько решений этой системы, т.е.
положенийравновесия). Тогда координаты любого другого положения системыq1 , . . . , qn характеризуют отклонения этого положения от положенияравновесия и потому сами называются — отклонения системы.Если же рассматриваемое положение равновесия не в началекоординат – сдвинем начало в положение равновесия.Если систему вывести из положения равновесия, сообщив её точкамкакие-то малые начальные отклонения от положений равновесия ималые начальные скорости, то в последующем движении точкисистемы, либо всё время остаются вблизи положений равновесия,либо удаляются от этих положений. В первом случае положениеравновесия будет устойчивым, а во втором – неустойчивым.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.3 / 21Дадим строгое определение устойчивости положения равновесия.Положение равновесия q1 = . . . = qn = 0 (или состояниеравновесия qσ = q̇σ = 0) называется — устойчивым, если придостаточно малых начальных отклонениях qσ0 = qσ (t0 ) идостаточно малых начальных скоростях q̇σ0 = q̇σ (t0 ) в начальныймомент времени t0 , система за всё время движения, не выходитиз пределов сколь угодно малой (заданной наперёд!) окрестностиположения равновесия, имея при этом сколь угодно малыескорости q̇σ (σ = 1, . . . , n). Иными словами для любого числаε > 0 можно указать такое число δ > 0 (т.е.
δ = δ(ε)), что длявсех моментов времени t > t0 выполняются неравенства:|qσ (t)| < ε,|q̇σ (t)| < ε(σ = 1, . . . , n)(∗)при условии, что в начальный момент t = t0 :|qσ0 | < δ,Батяев Е. А. (НГУ)|q̇σ0 | < δЛЕКЦИЯ 11(σ = 1, . . . , n)Новосибирск, 2017 г.(∗∗)4 / 21Определение удобно геометрическиинтерпретировать в 2n-мерномпространстве состояний {qσ , q̇σ }На рисунке для случаяn = 1 изображены 2 окрестностиначала координат, задаваемыенеравенствами (∗)-(∗∗). В случаеустойчивого состояния равновесиялюбое движение, начинающеесяв момент t0 внутри квадратасо стороной 2δ, будет происходить всёвремя внутри квадрата со стороной 2ε.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.5 / 21Примеры1. Тяжёлый шарик может двигаться по ободу,имеющему форму окружности и расположенномув вертикальной плоскости . Имеются 2 положенияравновесия: наинизшая и наивысшая точкиокружности. Из них первое представляетсобой устойчивое, второе – неустойчивоеположение равновесия – это очевидно.cq2. Линейный осцилятор – груз массы m на пружине жёсткости c,двигается по горизонтальной прямой q.mcT = q̇ 2 , Π = q 2 , дифференциальное уравнениe движения:22q̇0mq̈ + cq = 0 имеет решение q = q0 cos ωt − sin ωt (начальныйωмомент времени t0 = 0). Поэтому положение равновесия устойчиво:1|q(t)| 6 |q0 | + |q̇0 | < ε, |q̇(t)| 6 ω|q0 | + |q̇0 | < ε,³ ε ωε ´ω.если только |q0 | < δ, |q̇0 | < δ, где, например δ = min,2ω 2Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
