1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. . , m; α = m + 1, . . . , n)где m – произвольное фиксированное число меньше n.Для того чтобы от переменных Лагранжа перейти к переменнымРауса необходимо все обобщённые скорости q̇α выразить черезобобщённые импульсы pα , используя для этой цели соотношения:pα =Батяев Е. А. (НГУ)∂L∂ q̇αЛЕКЦИЯ 9(α = m + 1, . . . , n)Новосибирск, 2017 г.2 / 19Предположим, что гессиан функции L относительно обобщённыхскоростей q̇α (α = m + 1, . .
. , n) («малый» гессиан) отличен отнуля:° 2 °n° ∂ L °°det °6= 0(1)° ∂ q̇α ∂ q̇β °α,β=m+1В общем случае это неравенство не следует из неравенства на° 2 °n° ∂ L °°полный гессиан L: det °6= 0,° ∂ q̇σ ∂ q̇ρ °σ,ρ=1а является дополнительным требованием.Но для натуральной системы это справедливо всегда, посколькуL(t, q, q̇) = T (t, q, q̇) − Π(t, q) = T2 + T1 + T0 − Πи данное неравенство имеет вид:° 2 °n° 2°° ∂ L °° ∂ T 2 °n°°det °= det °= det kaαβ knα,β=m+1 > 0° ∂ q̇α ∂ q̇β °° ∂ q̇α ∂ q̇β °α,β=m+1α,β=m+1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.3 / 19Последний определитель отличен от нуля (положителен) покритерию Сильвестра, так как T2 – положительно определённаяквадратичная форма от обобщённых скоростей.Следовательно, для натуральной системы это неравенство (1)выполняется автоматически.В случае ненатуральной системы это условие являетсядополнительным ограничением на функцию L (к полномугессиану).Тогда применяя доказанную ранее теорему Донкина к указанномупреобразованию переменных, вида преобразования Лежандра, спорождающей функцией L, получим обратное преобразование:∂Rq̇α =где порождающая функция выражается в виде:∂pαnXR=pα q̇α − Lфункция Рауса(2)α=m+1где все q̇α выражены через переменные Рауса {t, qi , qα , q̇i , pα }.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.4 / 19При этом переменные {t, qi , qα , q̇i } следует рассматривать какпараметры и, поэтому, по теореме Донкина, производные по нимот порождающих функций L и R отличаются только знаком:∂L∂R∂L∂R=− ,=−(i = 1, . . . , m)∂qi∂qi∂ q̇i∂ q̇i∂R∂L∂R∂L=−(α = m + 1, . . . , n)=−∂qα∂qα∂t∂tУравнения Лагранжа для координат qi с учетом этих равенств иоднородности самих уравнений запишутся как:d ∂R ∂R−=0dt ∂ q̇i∂qiВ самом деле:Ã n!X∂∂L∂R=;pα q̇α − R = −∂ q̇i∂ q̇i α=m+1∂ q̇i⇒Батяев Е. А. (НГУ)(i = 1, . .
. , m)∂L∂R=−∂qi∂qi(3)⇒d ∂L ∂Ld ∂R ∂R−=−+=0dt ∂ q̇i ∂qidt ∂ q̇i ∂qiЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.5 / 19А уравнения Лагранжа для переменных qα принимают форму:dpα∂L∂R∂R==−, и совместно с теоремой Донкина: q̇α =,dt∂qα∂qα∂pαдают уравненияdqα∂R=,dt∂pαdpα∂R=−dt∂qα(α = m + 1, . . . , n)(4)Система уравнений (3)-(4) образуют — уравнения РаусаОна состоит из m дифференциальных уравнений второгопорядка типа Лагранжа и 2(n − m) уравнений первого порядкатипа Гамильтона, причём функция Рауса в уравнениях (3) играет∂L∂(−R)роль функции Лагранжа, (точнее −R, так как=и∂qi∂qi∂L∂(−R)pi ==если хотим сохранить связь между∂ q̇i∂ q̇iимпульсами и L), а в уравнениях (4) – роль функции Гамильтона.Т.е.
во всех уравнениях стоит одинаковая функция R!Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.6 / 19Уравнения Рауса находят широкое применение при исследованиидвижения систем с циклическими координатами (хотя полученыони без использования этого свойства координат).Предположим, что у системы имеется m – позиционныхкоординат qi (i = 1, . . . , m) и (n − m) – циклических qα(α = m + 1, . . . , n). Используя свойства из теоремы Донкина,легко видеть, что∂H∂R∂L===0∂qα∂qα∂qαт.е.
циклическая координата qα не входит явно не только в H и L,но и в R, то есть L = L(t, qi , q̇i , q̇α ) и R = R(t, qi , q̇i , pα ).Однако из уравнений Рауса следует:∂Rdpα=−=0⇒pα ≡ const = cα(α = m+1, . . . , n)dt∂qαт.е. обобщённые импульсы, соответствующие циклическимкоординатам – постоянны, тогда функция Рауса может бытьзаписана в виде:R = R(t, q , q̇ , c )iБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9iαНовосибирск, 2017 г.7 / 19Тогда уравнения Рауса для позиционных координат (3) образуюттак называемую автономную систему уравнений (т.е. системудифференциальных уравнений, не содержащую «лишних»неизвестных функций, которые должны быть определеныпредварительно, до интегрирования системы уравнений).Таким образом, данная система уравнений можетинтегрироваться совершенно самостоятельно, независимо отдругих уравнений Рауса, то есть она замкнута, имеет порядок 2m.После интегрирования (3) получим:qi = qi (t, ci , c0i , cα )(i = 1, .
. . , m)ci , c0iгде– являются произвольными постоянными интегрирования.После их подстановки в функцию Рауса получим, чтоR = R(t, ci , c0i , cα ) – зависит только от времени t. Откуда находимзависимости циклических координат от времени из квадратур(т.е. из интегралов):Zdqα∂R∂R=⇒qα =dt + c0αdt∂pα∂cαБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.8 / 19Описанная процедура понижения порядка системыдифференциальных уравнений движения с использованиемциклических координат является одним из наиболееэффективных и практически важных способов, применяемых приинтегрировании уравнений движения. Поэтому исключительноважным является такой выбор обобщённых координат, прикотором обеспечивается наибольшее число циклическихкоординат.
Всякая симметрия задачи, допускающая такой выборобобщённых координат, приводит к существованию первыхинтегралов pα = const (циклических) и, соответственно,позволяет свести исследование движения к рассмотрениюсистемы уравнений с меньшим числом обобщённых координат.Например, для обобщённо-консервативных систем с двумястепенями свободы, наличие одной циклической координатыпозволяет свести задачу интегрирования уравнений движения кквадратурам (т.е. интегралам обычным) (т.е. обобщённыйинтеграл энергии + циклический интеграл = новые уравнениядвижения).Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.9 / 19Пример. Движение сферического маятника.Сферический маятник представляет собойматериальную точку, которая движетсяв однородном поле тяжести, оставаясь на сферепостоянного радиуса.Считаем, что точка имеет массу m и закрепленана одном из концов невесомого стержня длины l,другой конец стержня шарнирно закреплен в точке Oa (неподвижной).Трением пренебрегаем.Сферический маятник, очевидно, имеет 2 степени свободы, поэтомуестественно за обобщенные координаты взять углы: ϕ и θ.Кинетическая энергия точки:111T = mv 2 = m(vϕ2 + vθ2 ) = m[(l sin θ ϕ̇)2 + (lθ̇)2 ]222Потенциальная энергия: Π = mgl cos θ.Система очевидно консервативна (система голономна со стационарнойсвязью и Π = Π(θ) от времени не зависит.
Следовательно, справедливинтеграл энергии: E = T + Π = constБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.10 / 1912E = T + Π = ml2 [ θ̇2 + sin2 θ ϕ̇2 ] + mgl cos θ = h | ·2ml⇒l [ θ̇2 + sin2 θ ϕ̇2 ] + 2g cos θ = hКроме того, из вида T легко обнаружить, что от ϕ она не зависит.Следовательно, ϕ является циклической координатой этой системы,значит, справедлив циклический интеграл:pϕ =∂L= const∂ ϕ̇Так как Π = Π(θ) – от скоростей не зависит, то поскольку L = T − Πполучим:pϕ =∂L∂T== ml2 sin2 θ ϕ̇∂ ϕ̇∂ ϕ̇⇒Отсюда имеемpϕ = ml2 α и ϕ̇ =Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9sin2 θ ϕ̇ = α = constαsin2 θНовосибирск, 2017 г.11 / 19Можно рассмотреть функцию Рауса: R = pϕ · ϕ̇ − L == ml2 α ·ml2 α2 ml2 2 ml2 2 2α−T+Π=−sin θ ϕ̇ + mgl cos θ =θ̇ −22sin2 θsin2 θml2 α2 ml2 2 ml2 2=−θ̇ −sin θ22sin2 θ⇒R=−µαsin2 θ¶2+ mgl cos θml2 2 ml2 α2+ mgl cos θθ̇ +22 sin2 θУравнения Рауса определённые только для позиционной координаты θ:d ∂R ∂R−=0dt ∂ θ̇∂θотвечают какой-то иной системе как будто с одной степенью свободы(c обобщённой координатой θ) потому что координата ϕ – игнорируется.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.12 / 19Анализируя слагаемые в выражении для R нетрудно установить, что первоеслагаемое, зависящее от скорости θ̇ соответствует кинетической энергии - T∗ ,а все остальные слагаемые – потенциальной энергии Π∗ этой новой системы.Т.е. представляя функцию Рауса для уравнений Рауса по позиционнойкоординате в виде:R = −(T∗ − Π∗ ) = −L∗(по аналогии с функцией Лагранжа L = T − Π для уравнений Лагранжаd ∂L ∂L−= 0, где «−» присутствует для обеспечения соответствияdt ∂ θ̇∂θ∂(−R) ∂L∂(−R)∂L=и=)pθ =∂θ∂θ∂ θ̇∂ θ̇уравнения Рауса от этого «−» не изменятся в силу их однородности:d ∂(T∗ − Π∗ ) ∂(T∗ − Π∗ )−=0dt∂θ∂ θ̇но здесь уже стоит другая функция Лагранжа L∗ = T∗ − Π∗ некоторой новойприведенной системы, причём консервативной системы (у которой T = T2 )с кинетической энергией T∗ и приведенным потенциалом, называемымтакже потенциалом Рауса Π∗ :T∗ =Батяев Е.
А. (НГУ)ml2 2θ̇ ,2Π∗ =ml2 α2+ mgl cos θ2 sin2 θЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.13 / 19В действительности же нам нет необходимости рассматривать уравнениеРауса, которое является дифференциальным уравнением движения системы– 2-го порядка. У нас же есть интегралы (уравнения 1-го порядка):lθ̇2 + l sin2 θ ϕ̇2 + 2g cos θ = h,sin2 θ ϕ̇ = αИсключим из интеграла энергии пользуясь циклическим интегралом ϕ̇ =α:sin2 θlα2+ 2g cos θ = hsin2 θЭто нелинейное дифференциальное уравнение для θ. Введем обозначение:lθ̇2 +u = cos θ⇒u̇ = − sin θ θ̇,sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − u2Подставляя эту замену в интеграл энергии (после умножения на sin2 θ) имеем:lθ̇2 sin2 θ + lα2 + 2g cos θ sin2 θ = h sin2 θ⇒⇒lu̇2 + lα2 + (2gu − h) sin2 θ = 0u̇2 =h − 2gu(1 − u2 ) − α2lВыражение сложное, является нелинейным дифференциальным уравнениемна u(t), но его уже можно анализировать.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.14 / 19µ¶µ¶ghgghОбозначим: u̇2 = G(u) =− 2 u (1−u2 )−α2 = 2 u −(u2 −1)−α2 =lllllµ¶µ¶ghh=2u −(u2 − 1) − α2 ⇒ G(u) = 2u −(u2 − 1) − γ 2lgglG(u) G(+¥)где γ 2 = α2 .
Тогда обозначая u1 , u2 , u3 корниg3уравнения G(u) = 0 (т.к. G(u) многочлен 3-ей степени,2значит имеет 3 корня) можем представить G(u) в виде:G(u) = 2(u − u1 )(u − u2 )(u − u3 )1u*Видно: G(+∞) = +∞, G(−∞) = −∞, G(±1) = −γ 2 6 0.Т.к. G(u) – непрерывная функция, то хотя бы-g-g-1один из корней, например u3 , должен быть не меньше 1.Но на отрезке −1 6 u 6 1, который нас и интересует-2(так как |u| = | cos θ| 6 1) должны быть значения u,при которых G(u) положительна или хотя бы обращается-3gв ноль, т.к. в противном случае равенство u̇2 = G(u)G(-¥) -4lневозможно для действительных значений u.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
