1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 17
Текст из файла (страница 17)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.6 / 21В последнем примере устойчивость положения равновесияустанавливалась с помощью конечных уравнений, полученных путёминтегрирования дифференциальных уравнений движения.Эти уравнения движения дали нам зависимость отклонений q иобобщённых скоростей q̇ от времени t и начальных данных q0 , q̇0 .В более сложных (например в нелинейных) задачах определение такихконечных уравнений движения и их исследование весьма затруднительно.Поэтому представляют интерес такие критерии устойчивостиположения равновесия, которые не требуют предварительногоинтегрирования дифференциальных уравнений движения системы.Ещё Торричелли (1644 год) было известно, что положение системытел, находящихся под действием сил тяжести, будет устойчивым, еслицентр тяжести этой системы занимает наинизшее из возможныхположений.
Лагранж обобщил этот принцип Торричелли на случайпроизвольных потенциальных сил и установил следующий критерийустойчивости положения равновесия консервативной системы.На самом деле это достаточное условие устойчивости (не необходимое).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.7 / 21Теорема Лагранжа. Если в положении равновесияконсервативной системы её потенциальная энергия имеет строгийлокальный минимум, то это положение равновесия устойчиво.Замечание: иногда фразу «локальный» заменяют на«изолированный», т.е. считается, что в окрестности рассматриваемогоположения равновесия нет других положений равновесия.Доказательство.1.
Как уже отмечалось, без ограничения общности, можем считать,что рассматриваемое положение равновесия находится в началекоординат, т.е. все обобщённые координаты равны нулю:q1 = . . . = qn = 02. В силу того, что потенциальная энергия Π(q1 , . . .
, qn ) определяетсяс точностью до произвольной аддитивной постоянной (до постоянногослагаемого) примемΠ(0, . . . , 0) = 0,т.е. в положении равновесия потенциальная энергия тоже ноль(подберём эту константу должным образом).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.8 / 21Так как в положении равновесия, по условию теоремы, функцияΠ(q1 , . . . , qn ) имеет строгий локальный минимум, то в некоторойокрестности этого положения равновесия, определяемой числом ∆:|qσ | < ∆(σ = 1, . . . , n)(1)выполняется строгое неравенство:Π(q1 , . . . , qn ) > Π(0, .
. . , 0) = 0(2)если хотя бы одна из величин qσ – не равна нулю.Составим выражение для полной механической энергииконсервативной системы:n1 XE(q1 , . . . , qn , q̇1 , . . . , q̇n ) = T +Π = T2 +Π =aσρ q̇σ q̇ρ +Π(q1 , . . . , qn )2σ,ρ=1Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.9 / 21Как известно, квадратичная форма кинетической энергии T2 являетсяположительно-определённой функцией обобщённых скоростей, т.е.T = T2 > 0, если хотя бы одна из обобщённых скоростей q̇σ – не равнанулю. Тогда из (2) следует, что полная механическая энергияE = T + Π, при выполнении неравенства (1) строго положительна:E>0если только величины qσ , q̇σ (σ = 1, . . .
, n) не равны все одновременнонулю. А т.к. при qσ = q̇σ = 0 имеем E(0, 0) = 0, то функция E вначале координат 2n-мерного пространства состояний {qσ , q̇σ } имеетстрогий локальный минимум, равный нулю.Выберем теперь произвольно число ε, подчинив его лишьограничению 0 < ε < ∆, и рассмотрим значения полной энергииE(qσ , q̇σ ) на границе ε-окрестности, определяемой неравенствами:|qσ | < ε,Батяев Е. А.
(НГУ)|q̇σ | < εЛЕКЦИЯ 11(σ = 1, . . . , n)Новосибирск, 2017 г.10 / 21Поскольку эта граница представляетсобой замкнутое ограниченноемножество точек, то непрерывнаяфункция E достигает на этой границесвоего минимума(точной нижней грани) E ∗ .Т.к. на границе ε-окрестности всезначения E положительны,то положителен и минимум E ∗ .Таким образом, на границеε-окрестности имеем:E > E∗ > 0В силу того, что в начале координат qσ = q̇σ = 0 непрерывная функцияE имеет строгий локальный минимум, равный нулю (E(0, 0) = 0),следует что можно найти такое число δ (0 < δ 6 ε), что внутри этойδ-окрестности, где |qσ | < δ, |q̇σ | < δ, будет выполняться неравенство:E < E∗Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.11 / 21Пусть теперь функции qσ = qσ (t) удовлетворяют дифференциальнымуравнениям движения системы.
Тогда, если начальные данныеудовлетворяют|qσ0 | < δ,|q̇σ0 | < δ(σ = 1, . . . , n)(∗∗)то во всё время движения выполняются неравенства|qσ (t)| < ε,|q̇σ (t)| < ε(σ = 1, . . . , n)(∗)Действительно, при условии (∗∗) начальная полная энергия равна E0и E0 < E ∗ , а т.к. при движении консервативной системы её полнаяэнергия постоянна, то при всех t > t0 имеем E = E0 < E ∗ . Поэтомупри движении системы, изображающая это движение точка впространстве состояний qσ (t), q̇σ (t) (σ = 1, . . . , n) не может достигнутьграницы ε-окрестности (∗) поскольку на ней E > E ∗ , а, следовательно,всегда находится внутри этой границы, т.е. |qσ (t)| < ε, |q̇σ (t)| < ε.
¥Данную теорему, изложенную Лагранжем в его «Аналитическоймеханике», нередко связывают с именем (Лежена) Дирихле, которыйвпервые дал её полное и строгое доказательство.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.12 / 21Влияние гироскопических и диссипативныхсил на устойчивость равновесия.Замечание. Предположим, что изучаемая механическаясистема – неконсервативна, но получается из консервативнойдобавлением гироскопических или диссипативных сил или и техи других вместе. Пусть им отвечают силы Q∗σ (qρ , q̇ρ ).
Тогдамощность этих сил:∗N =nXQ∗σ q̇σ 6 0(|qσ | < ∆, |q̇σ | < ∆)σ=1Покажем, что обобщённые силы Q∗σ , удовлетворяющие этомунеравенству, обращаются в ноль, когда все обобщённые скоростиq̇σ равны нулю.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.13 / 21Выберем, как и ранее, за начало координат пространства состоянийположение равновесия и предположим, что при каких-либо значенияхqσ0 (σ = 1, . . . , n) обобщённых координат хотя бы дна из обобщённыхсил Q∗σ не равна нулю при всех нулевых обобщённых скоростях, т.е.Q∗k (qσ0 , 0) 6= 0(k 6 n)Тогда, в силу непрерывности существует некоторая окрестность точки(qσ = qσ0 , q̇σ = 0), в которой Q∗k (qσ , q̇σ ) 6= 0 и, следовательно, еёзначения имеют один и тот же знак. Но посколькувеличины qσ и q̇σ – независимы (σ = 1, .
. . , n), то их значения вуказанной окрестности пространства состояний можно выбрать так,nPчтоQ∗σ (qρ , q̇ρ )q̇σ > 0 (т.е. q̇σ имеют одинаковый с Q∗σ знак), а этоσ=1противоречит условию на мощность непотенциальных сил.Таким образом, все Q∗σ (qσ0 , 0) = 0 при нулевых обобщённых скоростях,а, следовательно, и в начале координат, т.е. в положении равновесия,значит добавление (наличие) гироскопических и диссипативных силне нарушает равновесия.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.14 / 21Т.к. интеграл энергии (закон сохранения) E = T + Π = constсохраняется и при гироскопических силах (при отсутствиидиссипативных), то приведённое выше доказательство теоремыЛагранжа остаётся без изменений и при наличии гироскопических сил.Если же существуют диссипативные силы (или диссипативные игироскопические одновременно), полнаяэнергия E¶= T + Π неµdEвозрастает при движении системы= N ∗ 6 0 и следовательноdtво время движения вместо равенства E = E0 имеет место неравенствоE 6 E0 . Но тогда отсюда следует, что во всё время движения E 6 E ∗если E0 < E ∗ . Следовательно опять при всех t > t0 справедливынеравенства (∗) и характер равновесия не меняется.
Таким образом:теорема Лагранжа остаётся справедливой для неконсервативнойсистемы, полученной из консервативной путём добавлениягироскопических и диссипативных сил.Если имеет место строгое неравенство: dE/dt = N ∗ < 0 (т.е. системаопределённо-диссипативная), тогда можно доказать, чтоE −−−→ 0 ≡ {qσ = q̇σ = 0} — асимптотическая устойчивость.t→∞Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.15 / 21Признаки неустойчивости положения равновесияконсервативной системыТеорема Лагранжа даёт только достаточные условия устойчивостиположения равновесия: если в положении равновесия достигаетсястрогий минимум потенциальной энергии Π(qσ ), то оно устойчиво.Теорема не исключает других устойчивых положений равновесия,в которых функция Π(qσ ) не имеет строгого минимума.Необходимые и достаточные условия устойчивости равновесияявляются весьма сложным вопросом и до сих пор на него неполучено исчерпывающего ответа.В этой связи представляют интересдостаточные условия неустойчивости равновесия.Первые строгие результаты в решении этого вопроса полученыЛяпуновым.
Приведём без доказательства две его теоремы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.16 / 21Будем полагать функцию Π(qσ ) аналитической в окрестностиположения равновесия q1 = . . . = qn = 0. Тогда Π(qσ ) может бытьразложена в ряд Тейлора в окрестности нуля (ряд Маклорена):Π(qσ ) = Πm (qσ ) + Πm+1 (qσ ) + . .
.где m > 2, а Πk (qσ ) – однородные функции k-ой степениотносительно отклонений qσ . Такое разложение начинается счленов порядка не ниже второго, т.к. Π(0) = 0 – попредположению (за счёт выбора произвольной постоянной), аnX∂ΠΠ1 =(0) · qσ = 0 – в силу уравнений равновесия.∂qσσ=1Теорема Ляпунова 1. Если потенциальная энергияконсервативной системы в положении равновесия не имеетминимума и это узнаётся уже по членам второго порядка вразложении Π (т.е.
Π2 ) в окрестности положения равновесия безнеобходимости рассматривания членов высших порядков, то этоположение равновесия – неустойчиво.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.17 / 21Теорема Ляпунова 2. Если в положении равновесияконсервативной системы потенциальная энергия имеет максимуми это узнаётся по членам наименее высокого порядка, которыедействительно присутствуют в разложении этой функции в ряд вокрестности положения равновесия, то это положение равновесия– неустойчиво.Четаев доказал следующее достаточное условие неустойчивостиравновесия.Теорема Четаева. Если потенциальная энергия Πконсервативной системы является однородной функциейотклонений q1 , .
. . , qn и в положении равновесия q1 = . . . = qn = 0не имеет минимума, то это положение равновесия – неустойчиво.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.18 / 21Пример. Устойчивость равновесия тяжёлого твёрдого тела на гладкойгоризонтальной плоскости.Пусть тело ограниченно какой-тоzвыпуклой поверхностью σ и общая нормальк горизонтальной поверхности (вертикаль)Cи к поверхности σ в точке D∗ содержит центрy тяжести C. Тогда тело на плоскости можетнаходиться в состоянии равновесия, причёмnв точке D∗ поверхность тела σ соприкасаетсяxDс плоскостью.
Обозначим Cxyz – жёсткосвязанную с телом систему координат, уD*которой ось Cz содержит отрезок D∗ C, а осиCx и Cy направлены параллельно линиямкривизны поверхности σ в точке D∗ . Тогда уравнение поверхности σ в окрестноститочки D∗ имеет вид:s1f ≡ −h − z +2x2y2+r1r2+ ... = 0Здесь x, y, z - координаты точки D поверхности σ, которой тело касаетсяплоскости при малом его отклонении от положения равновесия (качнули),h = CD∗ , r1 и r2 – главные радиусы кривизны поверхности σ в точке D∗(т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
