1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Величина же u обязательнодолжна быть действительной, так как движение маятника, безусловно,физически существует. Таким образом, вытекает, что G(u) имеет ровно двавещественных корня u1 , u2 на отрезке −1 6 u 6 1 и один корень u3 > 1.-120u1 u212u3u2Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.15 / 19Так как для реального движения G(u) > 0, то интересующий нас интервализменения u определяется неравенством u1 6 u 6 u2 , ему соответствуетобласть изменения угла: θ2 6 θ 6 θ1 (т.к. u = cos θ убывающая функция),отвечающая реальному движению маятника.hОбозначим: β = , т.е.
G(u) = (2u − β)(u2 − 1) − γ 2 . Рассмотрим движение,gотвечающее различным значениям постоянных γ и β. Сразу отметим, что изусловий G(u) > 0, −1 6 u 6 1 следует, что величина β не может быть совсемпроизвольной, а должна удовлетворять неравенству β > −2 . В самом деле(2u − β)(u2 − 1) > γ 2 > 0⇒2u − β 6 0⇒β > 2uЕсли β = −2 ⇒ G(u) = 2(u + 1)(u2 − 1) − γ 2 > 0, ⇒0 > 2(u + 1)(u2 − 1) > γ 2 > 0 ⇒ γ = 0, u = −1 ⇒ α = 0, θ = π,что соответствует положению равновесия в вертикальном нижнем положении.Найдем максимум u∗ функции G(u): G0 (u) = 2(u2 − 1) + (2u − β)2u = 0⇒u2 − 1 + 2u2 − βu = 03u2 − βu − 1 = 0pβ ± β 2 + 1222D = β + 4 · 3 = β + 12 ⇒ u =6½−2 ± 41/3, не подходит;если β = −2 ⇒ u ==−1, подходит.6Батяев Е.
А. (НГУ)⇒ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.16 / 19Итак: u∗ =β−pg2β 2 + 126Обозначим G(u∗ ) = f (β) − γ 2 , гдеf (β) = (2u∗ − β)(u2∗ − 1) = (β − 2u∗ )(1 − u2∗ ).Для реального движения необходимо, чтобывыполнялось неравенство G(u∗ ) > 0, т.е. чтобыf (β) > γ 2 > 0Учитывая, что 1 − u∗ > 0,функция f (β) монотонно возрастает с ростом β.На плоскости параметров (β, γ 2 ) значения γ, β, удовлетворяющие последнемунеравенству соответствуют незаштрихованной области (включая границы).Верхняя граница области задается уравнением γ 2 = f (β); она касается оси βв точке (−2, 0), а при β → ∞ ⇒ u∗ → 0 ⇒ f (β) ∼ β имеет асимптоту γ 2 = β.Для классификации движения маятника рассмотрим 3 возможных случая.1. γ = α = 0, тогда из циклического интеграла ϕ̇ sin θ = 0 ⇒ ϕ ≡ ϕ0 = constи мы приходим к задаче о движении математического маятника в плоскостиϕ = ϕ0 (γ 2 = 0 – нижняя граница области);Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.17 / 192. γ 2 = f (β) – верхняя граница области, т.е.G(u∗ ) = 2(u∗ − u1 )(u∗ − u2 )(u∗ − u3 ) = 0 откуда неизбежно вытекаетu1 = u2 = u∗ , то есть корни u1 , u2 совпадают и мы приходим к задаче оконическом маятнике. Угол θ ≡ θ∗ = arccos u∗ > π/2 – постоянен.Материальная точка движется по окружности радиусом l sin θ∗ вгоризонтальной плоскости z = z∗ = l cos θ < 0;3. 0 < γ 2 < f (β), тогда угол θ меняется в промежутке θ2 6 θ 6 θ1 . На сферерадиусом l с центром в точке подвеса маятника значения θ = θ1 , θ = θ2выделяют 2 круга, лежащих в параллельных плоскостях z = z1 = l cos θ1 ,z = z2 = l cos θ2 .
Материальная точка, закрепленная на конце стержня,движется по сфере между плоскостями z = z1 и z = z2 , попеременно касаясьэтих двух плоскостей.zâèä ñâåðõóOaa2b2a1Батяев Е. А. (НГУ)b1z=z2z=z1ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.18 / 19Причем среднее положение точки всегда находится ниже горизонтальнойплоскости, проходящей через Oa (точку подвеса маятника), то естьz1 + z2 < 0 или u1 + u2 < 0. Чтобы убедиться в этом приравняемкоэффициенты при 1-ой степени u в выражениях G(u):G(u) = (2u − β)(u2 − 1) − γ 2=G(u) = 2(u − u1 )(u − u2 )(u − u2 )⇓−2⇒u3 = −1 + u1 u2,u1 + u2⇓=т.к.
u3 > 1 > 0,2(u1 u2 + u1 u3 + u2 u3 )|u1 u2 | < 1⇒u1 + u2 < 0αвидно, что угол ϕ в рассмотренном случае либоsin2 θмонотонно возрастает (α > 0), либо монотонно убывает (α < 0). На рисункепоказана проекция траектории материальной точки на горизонтальнуюплоскость для движения соответствующего объемной картинке, когда z1 и z2лежат ниже точки подвеса (принято α > 0). Эта проекция поочереднокасается окружностей ρ1 = l sin θ1 , ρ2 = l sin θ2 и напоминает собой движениепо эллипсу, большая полуось которого вращается в горизонтальнойплоскости в направлении движения. Для полного интегрирования уравненийдвижения используется техника с участием эллиптических функций.Из соотношения ϕ̇ =Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 10ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА(ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ)СКОБКИ ПУАССОНАКРИТЕРИЙ ИНТЕГРАЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.1 / 17Законы сохранения энергии, импульсов — являются в математическомсмысле интегралами движения (обобщённый интеграл энергии,циклические импульсы).
Наличие у системы интегралов движения(законов сохранения) позволяет существенно упростить задачуинтегрирования системы дифференциальных уравнений движения.Пуассон указал способ определения интегралов каноническихуравнений, основанный на исследовании системы двух и болееизвестных интегралов этих уравнений.Для начала немного общих сведений.
Функция f (t, q, p)называется — интеграл канонических уравнений:∂Hdqσ=,dt∂pσ∂Hdpσ=−dt∂qσ(σ = 1, . . . , n)(1)если она сохраняет своё постоянное значение на любом решенииэтих уравнений qσ = qσ (t), pσ = pσ (t):f (t, qσ (t), pσ (t)) = constНередко именно это соотношение и называют интегралом.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.2 / 17Иначе говоря, для того чтобы функция f (t, q, p) былаинтегралом, необходимо и достаточно чтобы её полнаяпроизводная по времени, с учетом уравнений Гамильтона (1)(то есть на решении (1)) тождественно равнялась нулю:df≡0dtПримерами интегралов могут служить функция ГамильтонаH(q, p) для обобщённо-консервативных систем (обобщённыйинтеграл энергии) и циклический импульс pα (для системы сциклической координатой qα ).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.3 / 17Легко видеть, что для всякой совокупности интегралов{f1 , . . . , fm } интегралом будет также и любая функция этихвеличин. Поэтому представляют интерес только независимыеинтегралы (т.е. не выражающиеся друг через друга).Система интеграловfi (t, q, p) = ci(i = 1, . . . , m 6 2n)(2)— независимая - если прямоугольная функциональная матрица:∂f1 /∂q1 · · · ∂f1 /∂pn......F =...∂fm /∂q1 · · ·∂fm /∂pnимеет ранг равный m (аналогично свойству при введенииобобщённых координат). В этом случае из системы интегралов(2) можно выразить m-штук величин q1 , .
. . , qn , p1 , . . . , pn черезостальные координаты, импульсы, время и постоянные ci .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.4 / 17Система независимых интегралов (2) — полная – есличисло интегралов совпадает с числом координат и импульсов, тоесть m = 2n. С точки зрения приведенной выше функциональнойматрицы, условие полноты системы интегралов (2) очевидноможно представить в виде неравенства:°°° ∂fi °2n∂(f1 , . . . , f2n )°det °=6= 0° ∂xj °∂(q1 , . . . , qn , p1 , .
. . , pn )i,j=1(где xj = qσ , pσ ). Тогда, естественно, для полной системыинтегралов можно выразить все координаты и все импульсычерез время и постоянные ci (из интегралов):qσ = qσ (t, c1 , . . . , c2n ),pσ = pσ (t, c1 , . . . , c2n )(σ = 1, . . . , n)то есть получить общее решение уравнений движения. Такимобразом, по известной системе 2n независимых интеграловопределяются все движения системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.5 / 17Если известно меньшее число независимых интегралов, то онидают только частичное представление о движениях системы.Это представление будет тем полнее, чем больше интегралов.Отсюда ясно, что отыскание возможно большего числанезависимых интегралов представляет важную механическуюзадачу.В ряде случаев бывает важно знать, является или не являетсязаданная функция интегралом канонических уравнений движения.Критерий «интегральности» функции удобно выразить втерминах, так называемых, скобок Пуассона.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.6 / 17Пусть ϕ(t, q, p) и ψ(t, q, p) – дважды непрерывнодифференцируемые функции гамильтоновых переменных{t, qσ , pσ }. Комбинация частных производных этих функций вида:¶n µX∂ϕ ∂ψ∂ϕ ∂ψ(ϕ, ψ) =−(3)∂q∂p∂p∂qσσσσσ=1называется — скобка Пуассона.Основные свойства скобок Пуассона: пусть ϕ(t, q, p), ψ(t, q, p) иχ(t, q, p) – дважды непрерывно-дифференцируемые функции ⇒1. (ϕ, ψ) = −(ψ, ϕ)⇒(ϕ, ϕ) = 02. (cϕ, ψ) = c(ϕ, ψ) (c = const)3. (ϕ + ψ, χ) = (ϕ, χ) + (ψ, χ)¶µ¶ µ∂∂ϕ∂ψ4. (ϕ, ψ) =, ψ + ϕ,∂t∂t∂t5. ((ϕ, ψ), χ) + ((ψ, χ), ϕ) + ((χ, ϕ), ψ) = 0 – тождество ПуассонаБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 10Новосибирск, 2017 г.7 / 17Критерий «интегральности» функции. Для того чтобы функциягамильтоновых переменных f (t, q, p) была интегралом каноническихуравнений необходимо и достаточно выполнения условия:∂f+ (f, H) = 0∂tДоказательство. Необходимость непосредственно вытекает из понятия(определения) интеграла гамильтоновых уравнений (1). В самом деле,пусть f (t, q, p) – интеграл, то есть на любом решении гамильтоновыхуравнений (1) эта функция обращается в постоянную:dff (t, q(t), p(t)) = const, т.е.= 0.dtВычисляя полную производную по времени, с учетом уравненийдвижения имеем:¶¶n µn µdf ∂f X ∂f dqσ∂f ∂H∂f dpσ∂f X ∂f ∂H−=0=++=+dt ∂t∂qσ dt∂pσ dt∂t∂qσ ∂pσ∂pσ ∂qσσ=1σ=1Используя обозначение (3) скобки Пуассона получим:Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
