1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 11
Текст из файла (страница 11)
При этом угол нутации ϕ2 между осямиOξ3 и Ox3 тоже постоянен: ϕ2 = const.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.21 / 23Оказывается, что для обеспечения такого движения, главный момент силотносительно неподвижной точки вращения должен иметь вид:·¸ω1основная формулаM̄O = ω̄ 1 × ω̄ 3 Jξ3 + (Jξ3 − Jξ1 )cos ϕ2−гироскопииω3У гироскопов применяемых в современной технике угловая скоростьсобственного вращения обычно значительно превосходит угловую скоростьпрецессии: ω3 À ω1 . Если в этом случае пренебречь вторым слагаемым вквадратных скобках основной формулы гироскопии, то получимM̄O = Jξ3 (ω̄ 1 × ω̄ 3 )−приближенная формула гироскопииЕсли к телу приложена одна сила F̄ , то её момент относительно O равен:M̄O = r̄ × F̄где r̄ – радиус-вектор приложения F̄ . Таким образом из последних двухформул можно находить ω̄ 3 (ω̄ 1 ) при знании всех остальных величин: силыF̄ и ω̄ 1 (ω̄ 3 ).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.22 / 23Гироскоп, вращающийся вокруг неподвижной точки - склерономная система.Поэтому элементарная работа сил, приложенных к твердому телу:δA = F̄ · v̄ O dt + M̄O · ω̄dtгде F̄ – главный вектор сил, через формулуδA=Ndtопределяет мощность сил, приложенных к телу (эта мощность для обычныхсил совпадает с мощностью, определенной через обобщенные силы, т.к. длясклерономной системы это одно и то же). Учитывая, что v̄ O = 0 имеем:δA = M̄O · ω̄dt = Jξ3 (ω̄ 1 × ω̄ 3 ) · (ω̄ 1 + ω̄ 3 )dt = 0т.к. ω̄ 1 × ω̄ 3 ⊥ ω̄ 1 , ω̄ 3Таким образом, силы, обеспечивающие регулярную прецессию, т.е.создающие гироскопический момент M̄O = Jξ3 (ω̄ 1 × ω̄ 3 ) – являютсягироскопическими.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.23 / 23ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 7ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА ИГАМИЛЬТОНАПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРАТЕОРЕМА ДОНКИНАФУНКЦИЯ И УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНАОБОБЩЁННО-КОНСЕРВАТИВНАЯСИСТЕМАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.1 / 19Многие методы исследования дифференциальных уравненийразвиты применительно к системам уравнений первого порядка(например теорема Коши о разрешимости нормальной системыдифференциальных уравнений – сформулирована именно первогопорядка).
НоУравнения Лагранжа II родаявляются дифференциальными уравнениями второго порядка.Далее мы будем рассматривать только голономные системы,движение которых описывается уравнением Лагранжа II рода спроизвольной функцией Лагранжа (в частности это натуральныесистемы)d ∂L∂L−=0(σ = 1, . . . , n)dt ∂ q̇σ ∂qσПривести дифференциальные уравнения движения к системеуравнений первого порядка можно многими способами. Наиболееудобный из них связан с применениемпреобразования Лежандра (это преобразование переменных).Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.2 / 19Преобразование ЛежандраПусть некоторая функция X, зависит от переменных{x1 , . . . , xn } = x и параметров {α1 , . . . , αm } = α: X = X(x, α).Будем считать, что она обладает непрерывными производнымипо параметрам αi и вторыми непрерывными производными понезависимым переменным xσ .Тогда можно рассмотреть преобразование к другим независимымпеременным {y1 , . . .
, yn } = y, задаваемое формулами:yσ =∂X∂xσ(σ = 1, . . . , n)Это преобразование, с помощью которого осуществляетсяпереход к другим переменным, называется — преобразованиеЛежандра, а используемая в нём функция X — порождающаяОдно из свойств преобразования Лежандра выражается теоремойБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.3 / 19Теорема ДонкинаПусть дана некоторая функция X(x, α), гессиан° которой° по° ∂ 2 X °n°переменным {x1 , . . . , xn } отличен от нуля: det °° ∂xσ ∂xρ °6= 0, иσ,ρ=1пусть имеется преобразование Лежандра, порождаемое этой∂Xфункцией: yσ =(σ = 1, . .
. , n), осуществляющее преобразование∂xσпеременных от {x1 , . . . , xn } к {y1 , . . . , yn }.Тогда существует обратное (по отношению к прямому) преобразованиепеременных (т.е. от {y1 , . . . , yn } к {x1 , . . . , xn }) также в видепреобразования Лежандра, которое порождается некоторой функцией∂Y(σ = 1, . . . , n), где функция Y связана с XY (y, α): xσ =∂yσnXформулой:Y =xσ yσ − Xσ=1причём производные от этих функцийпо любому параметру отличаются только знаком:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7∂X∂Y=−∂αi∂αiНовосибирск, 2017 г.4 / 19Доказательство. Видно, что гессиан функции X совпадаетà ° с якобианом!µ¶°n° ∂°∂X∂X°правых частей уравнений: yσ =(σ = 1, .
. . , n) det °° ∂xρ ∂xσ °∂xσσ,ρ=1Поэтому условие на гессиан означает что эти уравнения можно разрешитьотносительно переменных {x1 , . . . , xn }, выразив их через {y1 , . . . , yn } в виде:xσ = xσ (y1 , . . . , yn , α) (σ = 1, . . . , n)Возьмём функцию Y , определённую равенством в формулировке теоремы:nPY =xσ yσ − X, и подставим в неё значения {x1 , . . . , xn }, по полученнымσ=1выше формулам. Тогда будем иметь:nXY (y, α) =xσ (y, α) · yσ − X(x(y, α), α)σ=1Продифференцируем полученное уравнение по yρ :nnXX∂Y∂xσ∂X ∂xσ=yσ + xρ −∂yρ∂y∂xρσ ∂yρσ=1σ=1Но согласно преобразованию Лежандра yσ =∂X, поэтому обе суммы∂xσвзаимно сокращаются, и следовательно имеют места равенства: xρ =Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.∂Y.∂yρ5 / 19Если теперь продифференцировать по произвольному параметру αi :à n! n µ¶nX ∂X ∂xσX ∂xσ∂X∂X∂X∂xσ∂Y X ∂xσ=yσ −+=yσ − yσ−=−∂αi σ=1 ∂αi∂x∂α∂α∂α∂α∂α∂ασiiiiiiσ=1σ=1Замечание: при преобразовании переменных от {y1 , . .
. , yn } к {x1 , . . . , xn } cпомощью преобразования Лежандра с порождающей функцией Y (y, α),обратное преобразование переменных {x1 , . . . , xn } → {y1 , . . . , yn } тоже будетnPлежандровским с порождающей функцией X =xσ yσ − Y и только X. ¥σ=1Теперь приведём уравнения Лагранжа второго рода (являющиесядифференциальными уравнениями 2-го порядка) к системе уравненийпервого порядка, имеющих удобный вид.Согласно методу Лагранжа, уравнения движения натуральной системывполне определяются заданием функции Лагранжа L(t, qσ , q̇σ ).Совокупность переменных {t, qσ , q̇σ }, используемых в выражении L,называются — переменные Лагранжа. Эти переменные задаютмомент времени и кинематическое состояние механической системы,т.е.
положения и скорости её точек.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.6 / 19Но состояние можно задавать и при помощи других параметров.Гамильтон предложил характеризовать состояние системы другимивеличинами, введя вместо обобщённых скоростей, так называемые— обобщённые импульсы – согласно формулам:∂Lpσ =(σ = 1, . . . , n)∂ q̇σСовокупность переменных {t, qσ , pσ } называются — переменныеГамильтона.Т.к. якобиан правых частей выражения для импульсов совпадает сотличным от нуля гессианом функции L, то эти уравнения могут бытьразрешены относительно скоростей: q̇σ = q̇σ (t, qρ , pρ ). Следовательно,переменные Лагранжа и Гамильтона выражаются друг через друга.Переменные qσ и pσ (σ = 1, . . .
, n) c одинаковыми индексаминазываются — канонически сопряженные.Метод Гамильтона описания движения натуральной системы состоит вполучении уравнений для координат qσ и импульсов pσ ,рассматриваемых как функции времени.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.7 / 19Для получения уравнений Гамильтона будем исходить из лагранжевыхуравнений 2-го рода:d ∂L∂L−=0(σ = 1, . . . , n)dt ∂ q̇σ∂qσВ переменных Гамильтона эти уравнения запишутся в виде:∂Lṗσ =(σ = 1, . .
. , n)∂qσ∂L∂ q̇σ(σ = 1, . . . , n) можно смотреть как на преобразование Лежандралагранжевых переменных {t, qσ , q̇σ }, порождаемое функцией ЛагранжаL, при котором переменные t и qσ играют роль параметров. Посколькугессиан функции Лагранжа по обобщённым скоростямот нуля° 2 отличен°° ∂ L °°(det kaσρ k 6= 0 для натуральных систем, или det °° ∂ q̇σ ∂ q̇ρ ° 6= 0 длясистем общего типа), то для этого преобразования будет справедливатеорема Донкина. В соответствии с этой теоремой, обратноепреобразование переменных имеет вид:На формулы, определяющие обобщённые импульсы: pσ =Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.8 / 19q̇σ =∂H∂pσ(σ = 1, .
. . , n)с порождающей функциейH(t, q, p) =nXpσ q̇σ − L(t, q, q̇)Функция Гамильтонаσ=1При этом производные по параметрам t и qσ от функций L и Hсвязаны зависимостями:∂L∂H∂L∂H=−,=−(σ = 1, . . . , n)∂t∂t∂qσ∂qσВозвращаясь к лагранжевым уравнениям в переменных Гамильтонавидно:∂L∂Hṗσ ==−(σ = 1, . . . , n)∂qσ∂qσ∂Hобразуют замкнутую систему, уже не∂pσn уравнений 2-го порядка, а 2n уравнений, но 1-го порядка:Эти уравнения вместе с q̇σ =Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.9 / 19Канонические уравнения Гамильтонаdqσ∂H=,dt∂pσdpσ∂H=−dt∂qσ(σ = 1, . . . , n)Уравнения Гамильтона служат для определения зависимостей qσ (t), pσ (t),определяющих движение системы.Обратим внимание, что уравнения Гамильтона имеют замечательныйсимметричный вид: правые части уравнений являются производными поискомым величинам от одной и той же функции H. Эти особенностиструктуры уравнений позволяют развить для них эффективные методыинтегрирования.∂L∂H ∂L∂H=−Отметим, что попутно мы получили равенства:=−,∂t∂t ∂qσ∂qσ(σ = 1, . . .
, n) которые будут использованы в дальнейшем. В частности легковидеть, что если функция Лагранжа не зависит явно от какой-либопеременной (координаты) или от времени, то и функция Гамильтона небудет явно зависеть от этой же переменной или времени∂H∂H∂L∂L=0=−=0=−∂q∂q∂t∂tБатяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
