1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . , qn } определяют декартовы координаты всех точек и темсамым определяют положение системы. Поэтому эти величиныназываются — обобщённые координаты системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.4 / 16Обобщённые координаты могут быть величинами различной природы:расстояниями (длинами), углами, площадями и т.д. Важно толькособлюдать главное требование: они должны быть независимыми друготносительно друга и находиться во взаимно-однозначном соответствии снезависимыми декартовыми координатами.Последнее условие означает, что ранг матрицы составленной из частныхпроизводных от декартовых координат по обобщённым координатам равенчислу степеней свободы системы n (т.е. количеству обобщённых координат):0BBBrang BB@∂x1 /∂q1∂y1 /∂q1∂z1 /∂q1...∂zN /∂q1...............∂x1 /∂qn∂y1 /∂qn∂z1 /∂qn...∂zN /∂qn1CCCC=nCAБудем предполагать, что обобщённые координаты {q1 , .
. . , qn } выбраны так,чтобы любое возможное положение системы (т.е. совместимое со связями вданный момент времени) может быть получено из (3) при некоторыхконкретных значениях величин {q1 , . . . , qn }. Если это сделать нельзя сразудля всех возможных положений, то обобщённые координаты вводятсялокально, т.е. для разных совокупностей возможных положений – вводятсяразные системы обобщённых координат.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.5 / 16Поскольку уравнения связей обращались в тождества по независимымдекартовым координатам и времени, а последние связанывзаимно-однозначно с обобщёнными координатами, то уравнениясвязей также будут тождествами и по обобщённым координатам ивремени. Другими словами, подстановка (3) в уравнения (1) приводитк следующему тождеству:fα (t, q1 , . .
. , qn ) ≡ 0(α = 1, . . . , g)Следствием этих тождеств будут важные для дальнейшего равенства:∂fα=0∂qσ(α = 1, . . . , g, σ = 1, . . . , n)(4)Если все связи стационарны (т.е. система склерономна), то время t невходит явно в уравнения связей (1). В этом случае можно так ввестиобобщённые координаты, чтобы и в уравнениях (3) время t также несодержалось:r̄ ν = r̄ ν (q1 , . . .
, qn )(ν = 1, . . . , N )В дальнейшем предполагается, чтобы для склерономной системыобобщённые координаты всегда выбраны именно таким образом.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.6 / 16При движении механической системы изменяются со временем координатыеё точек – как независимые, так и зависимые.
В силу связи междунезависимыми декартовыми и обобщёнными координатами последние такжебудут функциями времени:qσ = qσ (t)(σ = 1, . . . , n)(5)Эти уравнения называют — уравнения движения механическойсистемы в обобщённых координатах. Функции qσ (t) считаемдважды непрерывно-дифференцируемыми. Это условие обеспечиваетсясоответствующей гладкостью функций, связывающих обобщённые идекартовы координаты.Координатное пространствоДля каждого момента времени t между возможными положениями системыи точками n-мерного пространства координат {q1 , . .
. , qn } устанавливаетсявзаимно-однозначное соответствие. Такое пространство называется —координатное пространство (или пространство конфигураций).Каждому возможному положению системы отвечает некоторая точка этогокоординатного пространства, которая называется — изображающая точка.Движению системы соответствует движение изображающей точки вкоординатном пространстве. Близость точек координатного пространстваопределяется естественным образом через близость соответствующихположений системы.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.7 / 16Пример (Маятник).Положение маятника, являющегосятвёрдым стержнем, подвешенным за одинконец к неподвижному шарниру, задаётсяуглом ϕ, который примем за обобщённуюкоординату. Поставим в соответствиекаждому положению маятника точку начисловой оси, имеющую координату ϕ. Нотакое соответствие между положениямимаятника и точками числовойоси не будет взаимно-однозначным,т.к. разным точкам оси ϕ и ϕ + 2πk(k = ±1, ±2, . . .) соответствует одно и тоже положение маятника.
Однозначностиможно добиться, выделив на числовой осиполуоткрытый интервал 0 6 ϕ 6 2π. Но при этом нарушается непрерывностьсоответствия, т.к. два близких положения маятника, для которых ϕ = 0 иϕ = 2π − ε не будут соответствовать близким точкам на полуинтервале. Длявосстановления непрерывности необходимо считать ϕ = 0 и ϕ = 2π –тождественными. Наглядно это можно сделать «склеив» эти точки, получивтаким образом окружность – координатное пространство.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.8 / 16Виртуальный дифференциалПолучим зависимость между виртуальными перемещениями δr̄ ν (ν = 1,. . . , N )точек системы через вариации обобщённых координат δqσ (σ = 1, . . . , n).Напомним, что виртуальным перемещением системы δr̄ ν называется любоеэлементарное перемещение которое может быть сообщено точкам системыиз занимаемого ею в данный момент времени t∗ возможного положения r̄ ∗ν(т.е. совместимого со связями: fα (t∗ , r̄ ∗ν ) = 0 (α = 1, . . . , g)) в другоебесконечно близкое возможное: r̄ ∗ν + δr̄ ν при сохранении всех наложенныхсвязей в тот же «зафиксированный» момент времени t∗ , т.е. δr̄ νудовлетворяет условию:NX∂fα ∗ ∗fα (t∗ , r̄ ∗ν + δr̄ ν ) = 0⇒fα (t∗ , r̄ ∗ν ) +(t , r̄ ν )δr̄ ν = 0∂r̄ νν=1Здесь использовали формулу Тейлора (с точностью до членов 2-го порядкамалости относительно δr̄ ν ).
Первое слагаемое полученного выражения равнонулю (т.к. r̄ ∗ν – возможное положение в момент t∗ ), тогда получим системулинейных алгебраических уравнений которым должны удовлетворятьNX∂fα ∗ ∗виртуальные перемещения системы (т.е. определение):(t , r̄ ν )δr̄ ν = 0∂r̄ νν=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.9 / 16Если рассматривать теперь функции обобщённых координат r̄ ν = r̄ ν (t, qσ ),тогда возможное положение r̄ ∗ν системы в момент времени t∗ соответствуетопределённым «возможным» значениям обобщённых координат {q1∗ , . . . , qn∗ }r̄ ∗ν = r̄ ν (t∗ , qσ∗ ) и fα (t∗ , r̄ ν (t∗ , qσ∗ )) = 0Рассмотрим вариации обобщённых координат {δqσ } – элементарныеприращения независимых обобщённых координат {qσ }, получая которыесистема будет в другом возможном для этого момента времени t∗ положении,т.е. в положении куда перейдет получив виртуальное перемещение δr̄ ν :r̄ ν (t∗ , qσ∗ + δqσ ) = r̄ ν (t∗ , qσ∗ ) + δr̄ νТ.к.
зависимость r̄ ν от qσ – непрерывно-дифференцируемая, можно выразить:nX∂r̄ ν ∗ ∗r̄ ν (t∗ , qσ∗ + δqσ ) = r̄ ν (t∗ , qσ∗ ) +(t , qσ )δqσ∂qσσ=1с точностью до величин 2-го порядка малости по δqσ . Сравнивая правыечасти последних двух соотношений получим выражение виртуальногоперемещения системы в момент t∗ из возможного положения r̄ ∗ν = r̄ ν (t∗ , qσ∗ )– через вариации обобщённых координат:δr̄ ν =nX∂r̄ νσ=1Батяев Е. А.
(НГУ)∂qσЛЕКЦИЯ 4(t∗ , qσ∗ )δqσ(ν = 1,. . . , N )Новосибирск, 2017 г.10 / 16Вообще, выражениеnX∂f ∗ ∗(t , qσ )δqσ = δf∂qσσ=1называется — виртуальный дифференциал некоторой функции f (t, qσ )в точке (t∗ , qσ∗ ) (f – векторная или скалярная функция), т.е.дифференциалом при фиксированном («замороженном») времени.Напомним, что дифференциалом (обычным) функции f (t, qσ ) в точке(t∗ , qσ∗ ) называется главная линейная часть приращения этой функцииобусловленная приращением её аргументов на (dt, dqσ ):nX∂f ∗ ∗∂f ∗ ∗(t , qσ )dt +(t , qσ )dqσdf =∂t∂qσσ=1При фиксировании времени, т.е.
при «замораживании» связи, или приданиией стационарного характера, что соответствует понятию виртуальногоперемещения, первое слагаемое в определении дифференциала исчезает.Иначе говоря, виртуальные дифференциалы радиус-векторов r̄ ν (t, qσ ) –являются виртуальными перемещениями точек голономной системы.Более того, для любой функции ϕ(t, qσ ) – её вариация (т.е. её виртуальныйдифференциал) выражается через вариации обобщённых координат в виде:nX∂ϕ ∗ ∗(t , qσ )δqσδϕ =∂qσσ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.11 / 16Обобщённые силыКаждой координате qσ соответствует своя — обобщённая сила Qσ ,определяемая выражением:NX∂r̄ νQσ =F̄ ν ·∂qσν=1Причина, позволяющая называть данные выражения обобщёнными силамипроисходит из понятия элементарной работы активных сил, действующих насистему, на виртуальных перемещениях:ÃN!nnNNnXXXXXX∂r̄ ν∂r̄ νδqσ =F̄ ν ·δqσ =Qσ δqσδA =F̄ ν ·δr̄ ν =F̄ ν ·∂qσ∂qσσ=1 ν=1σ=1ν=1ν=1σ=1т.е.
в выражении работы δA, величины Qσ – являются коэффициентами привариациях δqσ (при элементарных приращениях) обобщённых координат,допускаемых связями, подобно тому, как обычные силы служаткоэффициентами при вариациях декартовых координат. Из этого выражениятакже ясно, что размерность обобщённой силы Qσ определяетсяразмерностью соответствующей обобщённой координаты qσ .
Она должнабыть такой, что произведение Qσ δqσ имело размерность работы. Если qσ –длина (расстояние) то Qσ – обычная сил; если qσ – угол, Qσ – момент силы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.12 / 16Заметим, что для практического вычисления силы Qσ вместо общейформулы в ряде случаев удобнее применять следующий приём:системе придают такое виртуальное перемещение, при которомполучает приращение только координата qσ , а остальные координатысохраняются неизменными. Тогда виртуальная работа активныхсил — работа сил на виртуальном перемещении, выбранном такимспециальным образом, будет: δA = Qσ δqσ , откуда сила находится ввиде:Qσ = δA/δqσОтметим ещё, что при исследовании конкретных задач механикиочень часто нет необходимости составлять уравнения связей (1).
Изфизического содержания задачи обычно понятно, как надо выбратьобобщённые координаты и в таком количестве, которое необходимо идостаточно для задания возможных положений системы (т.е.удовлетворяющих уравнениям связей).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.13 / 16Равновесие системы в обобщённыхкоординатахПусть некоторое положение системы является положением равновесия.Согласно принципу виртуальных перемещений это возможно тогда итолько тогда, когда в этом положении виртуальная работа активныхсил равна нулю:nXδA =Qσ δqσ = 0σ=1Но приращения δqσ независимых координат могут быть совершеннопроизвольные. Поэтому равенство эквивалентно системе равенств —уравнения равновесия системы в обобщённых координатахQσ = 0(σ = 1, . .
. , n)– положение равновесия голономной системы достигается тогда итолько тогда, когда в этом положении все обобщённые силы равны нулюБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.14 / 16Потенциальные силыРассмотрим важный частный случай сил.Если обобщённые силы не зависят от обобщённых скоростей:Qσ = Qσ (t, q1 , . . . , qn ) и существует функция Π(t, q1 , . . .
, qn ) такая, чтоQσ = −∂Π∂qσ(σ = 1, . . . , n)то силы Qσ называются — потенциальные,а функция Π – потенциал (сил) или потенциальная энергия.Для потенциальных сил виртуальная работа имеет выражение:¶nn µXX∂Πδqσ = −δΠδA =Qσ δqσ =−∂qσσ=1σ=1т.е. работа равна взятому со знаком минус виртуальномудифференциалу от потенциала (время предварительно фиксируется).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.15 / 16Заметим, что если потенциальны обычные активные силы:∂Π, то потенциальными будут и обобщённые силы.F̄ ν = −∂r̄ νДействительно:Qσ =NXν=1NX ∂Π ∂r̄ ν∂r̄ ν∂ΠF̄ ν ·=−·=−∂qσ∂r̄ ν ∂qσ∂qσν=1и потенциал обобщённых сил получается из исходного потенциалаобычной заменой переменных: Π(t, qσ ) = Π(t, r̄ ν (t, qσ )).Обратное утверждение – вообще говоря, неверно.Тогда уравнения равновесия системы с потенциальными силамиимеют вид:∂Π=0(σ = 1, .
. . , n)∂qσЗначит, положение равновесия доставляет экстремум потенциалу силпо обобщённым координатам.Это свойство – экстремальности потенциала в равновесии системы –будет использовано при исследовании устойчивости этого равновесия.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.16 / 16ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 5УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДАКИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ВОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙМЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
