1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 3
Текст из файла (страница 3)
связь как бы застывает в той конфигурации,которую она имела в момент t∗ . Тогда при дифференцировании fα , члены∂fα– не появляются. Для дифференциальной связи «замораживание»∂tозначает придание ей стационарного характера, т.е. отбрасывание Dβ ификсирование t, явно входящего в коэффициенты l̄β .Пример 1. Точка P движется по неподвижной поверхности (стационарнаягеометрическая связь).На прошлой лекции мы видели,что возможные скорости –лежат в касательной плоскостик поверхности в точке P .Поэтому и возможныеперемещения ∆r̄ = v̄ ∗ ∆t(линейные относительно ∆t)так же лежат в касательной плоскости, т.е.
выполняются уравнения навозможные перемещения:∆r̄ · gradf = 0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.6 / 18Виртуальные перемещения, согласно (3)-(4) всегда удовлетворяют условию:δr̄ · gradf = 0 для геометрической связи (т.е. всегда лежит в касательнойплоскости) безразлично от того зависит уравнение связи f = 0 явно отвремени t или нет, т.е. неподвижная или нет. Т.о. в данном случаестационарной связи виртуальные и возможные перемещения совпадают.δr̄ = ∆r̄Пример 2. Точка P движется по подвижной поверхности илидеформирующейся поверхности, все точки которой имеют скорость ū (т.е.как твёрдое тело).В этом случае возможная скорость v̄ ∗ уже нележит в касательной плоскости.
Она получаетсяиз произвольного вектора v̄, касательного кповерхности, и прибавлением к нему скорости ū:v̄ ∗ = v̄ + ū, тогда возможное перемещениеdrточки P : ∆r̄ = v̄ ∗ ∆t = v̄∆t + ū∆t (здесь мыопять же рассматриваем линейные относительно∆t возможные перемещения). Т.е.
здесьсоотношение ∆r̄ · gradf = 0 – не выполняетсяпри любых ∆r̄. А виртуальное перемещение δr̄,в отличие от ∆r̄, по прежнему представляет вектор, лежащий в касательнойплоскости к поверхности в точке P потому что δr̄ · gradf = 0.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.7 / 18Вариации координат. Число степеней свободыБесконечно малые приращения δxν , δyν , δzν виртуального перемещенияδr̄ ν (ν = 1, .
. . , N ) называют – вариации величин (координат) xν , yν , zν .Переход при фиксированном t = t∗ из возможного положения r̄ ∗ν вбесконечно близкое возможное положение, определяемое радиусвекторами r̄ ∗ν + δr̄ ν , называется — синхронное варьирование.При синхронном варьировании мы не рассматриваем процессдвижения, а сравниваем допускаемые связями бесконечно близкиеположения (конфигурации, возможные положения)системы для данного фиксированного момента времени t∗Можно еще сказать, что виртуальные перемещения представляютсобой перемещения точек системы из одного возможного положениясистемы в момент t∗ в другое бесконечно близкое,возможное для этого же момента времени t∗ положение системы. Т.е.это любое элементарное перемещение которое может быть сообщеноточке из занимаемого ею положения в данный момент времени присохранении всех наложенных на неё в этот момент времени связей.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.8 / 18Уравнения, определяющие виртуальные перемещения (3)-(4), могутбыть переписаны для 3N вариаций координат (δxν , δyν , δzν ) = δr̄ ν :¶N µX∂fα∂fα∂fαδxν +δyν +δzν= 0(α = 1, . . . , g) (30 )∂xν∂yν∂zνν=1N ³´Xyxzlβνδxν + lβνδyν + lβνδzν= 0(β = 1, . . . , k)(40 )ν=1Как говорилось на первой лекции все эти g + k уравнений линейнонезависимы.
Т.е. из них можно выразить g + k вариаций черезостальные 3N − (g + k). Количество n = 3N − (g + k) независимыхвариаций называется — число степеней свободы данной системыматериальных точек.Примеры:1) Одна свободная точка в пространстве имеет 3 степени свободы;2) Система из 2-х точек, связанная недеформируемым стержнем,движущимся в плоскости, имеет 3 степени свободы;3) Материальная точка, движущаяся по поверхности (подвижной илинеподвижной) имеет 2 степени свободы.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.9 / 18Идеальные связиПусть в точках Pν системы приложены, соответственно, силы F̄ ν (ν = 1, ..., N )(под F̄ ν имеется в виду равнодействующая всех сил, приложенных к точке Pν )Если бы связи отсутствовали, т.е. система была бы свободной, то по II законуНьютона между массами mν , ускорениями āν и силами F̄ ν имели бы местосоотношения:mν āν = F̄ νВ случае наличия связей (т.е. для несвободной системы) ускорения точек,выражаемые отсюда:āν = F̄ ν /mνмогут оказаться (в даный момент времени t∗ , в данном положении точексистемы r̄ ∗ν и при заданных скоростях v̄ ∗ν ) несовместимыми со связями.Ведь связи накладывают ограничения на ускорения точек, полученные ранее:¶NN µXX∂fαd ∂fαd ∂fαv̄ ν +āν += 0 (α = 1, .
. . , g)∂r̄dt∂r̄dt∂tννν=1ν=1NXl̄βν āν +ν=1¶N µXddl̄βν v̄ ν + Dβ = 0dtdtν=1(β = 1, . . . , k)Ускорения āν = F̄ ν /mν могут не удовлетворять этим соотношениям.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.10 / 18Значит материально осуществлённые связи действуют на точкисистемы с некоторыми (какими-то) дополнительными неизвестнымисилами R̄ν (ν = 1, .
. . , N ) (принцип освобождаемости от связей);эти силы воздействия связей R̄ν называются – реакции связей(если связей несколько, т.е. g + k > 1, то R̄ν – равнодействующая всехреакций для точек Pν ).Эти «возникающие» реакции должны быть такими, чтобы ускорения,определяемые из уравнений:mν āν = F̄ ν + R̄νуже допускались бы связями.В отличии от реакций R̄ν ,заранее заданные силы F̄ ν называются – активные силы,а R̄ν – пассивные силы.Активные силы обычно задаются как известные функции времени,положения и скоростей точек системы: F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ µ , v̄ µ ) (т.е.зависят, в общем случае, от всех r̄ µ , v̄ µ (µ = 1, . .
. , N )).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.11 / 18Основная задача динамики несвободной системы состоит в следующем:заданы активные силы F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ µ , v̄ µ ) и даны совместимые со связяминачальные положения r̄ 0ν и начальные скорости v̄ 0ν точек системы(ν = 1, . . . , N ). Требуется определить движение системы, т.е. зависимостьr̄ ν = r̄ ν (t) и все реакции связей R̄ν .Если относительно связей, их характера, ничего не известно, кромеопределяющих уравнений:fα (t, r̄ ν ) = 0 (α = 1, . . . , g)NXl̄βν v̄ ν + Dβ = 0 (β = 1, .
. . , k)ν=1а, значит, ничего не известно о вызываемых этими связями реакций R̄ν , тосформулированная задача является неопределённой.Действительно: число подлежащих определению скалярных величин:xν , yν , zν , Rxν , Ryν , Rzν=6Nчисло скалярных соотношений - уравнений:mν ẍν = Fxν + Rxν ,mν ÿν = Fyν + Ryν ,mν z̈ν = Fzν + Rzν=3Nи уравнений связей: g + k, тогда:6N −3N −(g+k) = 3N −(g+k) = n > 0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2⇒т.е.
неизвестных больше!Новосибирск, 2017 г.12 / 18Для того, чтобы основная задача динамики стала определённой, необходимоиметь дополнительные n = 3N − (g + k) независимых соотношений междуискомыми величинами. Эти соотношения можно получить ограничившисьважным классом идеальных связей (дополнительные ограничения).Связи называются — идеальные — если суммаэлементарных работ реакций этих связей на любыхвиртуальных перемещениях системы равна нулю:В развёрнутом виде:NX⇔NXR̄ν δr̄ ν = 0ν=1(Rxν δxν + Ryν δyν + Rzν δzν ) = 0ν=1Среди 3N вариаций δxν , δyν , δzν имеется n = 3N − (g + k) независимых,определяемых из уравнений связей для вариаций (30 )-(40 ) в количестверавном числу степеней свободы системы.
Поэтому в последнем равенстве(для идеальных связей) можно выразить g + k = 3N − n зависимыхвариаций координат δxν , δyν , δzν через n независимых. Однако, чтобыданное уравнение идеальной связи выполнялось необходимо и достаточно,чтобы коэффициенты при этих независимых вариациях обращались в ноль.Так мы получим недостающие n соотношений, благодаря которым основнаязадача динамики несвободной системы замкнётся и станет определённой.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 2Новосибирск, 2017 г.13 / 18Примеры идеальных связей1.
Движение точки P подчиненогеометрической связи: f (t, r̄) = 0,представляющей собой некоторую подвижнуюP Ñfповерхность. Ранее было выяснено,ïîäâèæíàÿчто в этом случае виртуальное перемещениеïîâåðõíîñòüесть любое элементарное перемещениекасающееся поверхности в данной точке.uDtИз определения идеальности связи R̄ · δr̄ = 0,dr =Dr íåïîäâèæíàÿïîâåðõíîñòüвытекает, что её реакция будет ортогональнавиртуальному перемещению, т.е.
она должна быть нормальна к поверхности:R̄ = λ∇f . В общем случае реакция поверхности имеет нормальную итангенциальную составляющие. И чтобы реакция поверхности была нормальна кней, необходимо требование гладкой поверхности. Таким образом идеальность, вчастности, обобщает понятие гладкости. Обратим внимание, что возможныеперемещения совпадают с виртуальными только для неподвижной поверхности:δr̄ = ∆r̄.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
