1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

. . , qn } – метрику.Пусть P и P 0 – две близкие точки координатного пространства,задаваемые набором координат (q1 , . . . , qn ) и (q1 + dq1 , . . . , qn + dqn ).Зададим метрику, определив квадрат расстояния ds2 между точками Pи P 0 с помощью положительно определенной квадратичной формы G:nX2ds =aσρ dqσ dqρ(∗)σ,ρ=1То что эта форма положительно определена мы показывали ранее.После этого координатное пространство {q1 , . . .

, qn } становитсяримановым (метрическим).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.20 / 24Тогда действие√ W только постоянныммножителем 2h будет отличаться от длины_дуги P0 P1 траектории изображающей точки(где P0 – начальное, P1 – конечное положение):Сам принцип наименьшего действияв форме Якоби принимает вид:W =√ZP12hdsP0ZP1δds = 0P0Таким образом задача об определении инерциального движенияконсервативной системы свелась к нахождению минимумаRP1интеграла ds, то есть к известной задаче дифференциальнойP0геометрии о нахождении геодезической линии в координатномпространстве с метрикой (∗). Отсюда заключаем, чтоинерционное движение консервативной системы происходиттаким образом, что изображающая точка движется погеодезической линии координатного пространства с метрикой (∗).Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.21 / 24Более того, из выражения кинетической энергии системы врассматриваемом случае, имеем:µ ¶2nn1 X1 X1 dsT =aσρ q̇σ q̇ρ =aσρ dqσ dqρ =2 σ,ρ=12(dt)2 σ,ρ=12 dtТ.e. в данной метрике кинетическая энергия системы равнакинетической энергии изображающей точки в координатномпространстве, если считать что эта точка обладает единичноймассой.

Кроме того, из интеграла энергии в инерциальномдвижении следует, чтоT =hт.е. постоянная кинетическая энергия. Тогда получаем, чтоскорость изображающей точки тоже постоянна:√ṡ = 2hзначит её движение по геодезической линии –√равномерное!Действие по Лагранжу принимает вид: W = 2h s = 2h(t1 − t0 ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.22 / 24Если же рассмотреть общий случай консервативной системы сΠ(q1 , . .

. , qn ) 6= 0, тогда введем другую метрику в координатномпространстве, определив квадрат расстояния dσ 2 между двумяблизкими точками P и P 0 по формуле:dσ 2 = (h − Π)nXaσρ dqσ dqρσ,ρ=1Так сделать можно, поскольку область возможного движения вкоординатном пространстве определяется очевиднымнеравенством Π 6 h (поскольку T + Π = h и T > 0).При этом легко видеть, что на границе области возможногодвижения эта метрика имеет особенность: чем ближе кривая кгранице, тем меньше ее длина. В частности, длина любой кривойна границе, равна нулю.

Если Π < h, то метрика не имеетособенностей.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.23 / 24Тогда имеем:P1√ ZW = 2 dσP0И задача нахождения траекторий снова свелась к нахождениюгеодезических линий в координатном пространстве, но уже вRP1другой метрике (δW = 0 ⇒ δ dσ = 0).P0Эта идея, что движение консервативной системы можнорассматривать как инерционное движение изображающей точки вкоординатном пространстве по геодезической линии - составляетоснову общей теории относительности.Батяев Е. А.

(НГУ)ЛЕКЦИЯ 21Новосибирск, 2017 г.24 / 24.

Характеристики

Список файлов лекций