1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 30
Текст из файла (страница 30)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.18 / 19¸n Zt1 ·X∂Td ∂T−− Qσ δqσ dt = 0dt ∂ q̇σ∂qσσ=1 t0Величины δqσ – независимы и произвольны. Тогда полагая однуδqk 6= 0, а остальные δqσ = 0, σ = 1, . . . , n, σ 6= k получимZt1 ·t0¸d ∂T∂T−− Qk δqk dt = 0dt ∂ q̇k∂qk(k = 1, . . . , n)Применяя к этому интегралу основную лемму вариационногоисчисления (h(x) = δqk (t)), получим уравнения Лагранжа второго родаd ∂T∂T−= Qkdt ∂ q̇k∂qk(k = 1, . . . , n)Таким образом, из принципа Гамильтона–Остроградского следуютуравнения Лагранжа 2-го рода.
Следовательно, этот принцип можетбыть положен в основу динамики голономных систем.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 19ФУНКЦИОНАЛВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛАСТАЦИОНАРНОЕ ЗНАЧЕНИЕ(ЭКСТРЕМУМ) ФУНКЦИОНАЛАУРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ЭКСТРЕМАЛЬЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.1 / 23Будем говорить, что нам задан функционал, если каждой функции(или кривой) из некоторого класса, поставлено в соответствиеопределенное число.Таким образом, можно сказать, что функционал J[y] – это функция, вкоторой роль независимого переменного играют кривые и функции y(x).Примеры: пусть y(x) – произвольная, непрерывно-дифференцируемаяфункция на интервале [a, b]Zbq• длина кривой, описываемой функциейJ[y] =1 + (y 0 (x))2 dxy(x), на интервале x ∈ [a, b]:a• максимум функции y(x) на интервале x ∈ [a, b]:• ордината центра тяжести – как дляоднородной цепной линии:J[y] = max y(x)a6x6bZb qJ[y] = y 1 + (y 0 )2 dxa• площадь под кривой, описываемой функциейy(x), на интервале x ∈ [a, b]:Здесьy 0 (x)ZbJ[y] =– обозначает производную функции y(x):Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19y(x)dxa0y (x) =dy.dxНовосибирск, 2017 г.2 / 23ФункционалРассмотрим более общий случай. Пусть Φ(x, y, z) – некотораянепрерывная функция трех переменных x, y, z. ВыражениеZbΦ(x, y(x), y 0 (x))dxJ[y] =(∗)aгде y(x) – всевозможные непрерывно-дифференцированные функции,определенные на отрезке [a, b] — представляет собой функционал.Выбирая ту или иную функцию Φ(x, y, z), мы будем получатьразличные функционалы.
Например, еслиZbq√Φ(x, y, z) = 1 + z 2 → J[y] =1 + (y 0 (x))2 dx — длина кривой,Zb aΦ(x, y, z) = y → J[y] = y(x)dx — площадь под кривой.aФункционалы вида (∗) мы и будем рассматривать дальше.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.3 / 23Отдельные задачи, связанные с понятием функционала,рассматривались около 400 лет назад.Первые важные результаты здесь были получены еще Эйлером.Тем не менее, до сих пор еще не существует достаточно общихметодов «исчисления функционалов», аналогичныхклассическому анализу («исчислению функций»).Наиболее разработанными являются методы нахождениянаибольших и наименьших значений функционалов. Этотнаиболее разработанный раздел «исчисления функционалов»называется вариационным исчислением, поскольку понятиевариации функционала играет здесь основную роль.Однако вариация функционала далеко не исчерпываетсяприменением только к задачам на отыскание экстремумовфункционалов.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.4 / 23Примеры вариационных задачЗадачи определения наибольших и наименьших значенийфункционалов• Среди всех плоских кривых, соединяющих две фиксированные точкиA и B найти, которая имеет наименьшую длину. Иначе говоря найтитакую кривую, описываемую функцией y(x),Rbpдля которой функционал1 + (y 0 (x))2 dx достигает минимума.aЯсно, что искомой линией будет отрезок прямой, соединяющий A и B.• Л. Эйлером было дано решение следующей вариационной задачи:среди всех замкнутых кривых, имеющих данную длину S, найти ту,которая ограничивает наибольшую площадь. Решение этой задачи былоизвестно уже в древней Греции – этой кривой является окружность.А дополнительное условие постоянства длины, т.е.
периметра кривой,послужило основой к определению названия класса вариационныхзадач на «условный экстремум функционала» – изопериметрические.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.5 / 23• Задача о брахистохроне.Брахистохроной называется кривая, расположенная в вертикальнойплоскости и соединяющая две заданные точки A и B, двигаясь покоторой из состояния покоя без трения под действием лишь силытяжести материальная точка приходит из начального положения A вконечное B за минимальное время.
Т.е. брахистохрона – это линиянаискорейшего спуска (ската), по которой точка скатывается быстреевсего.Эта задача была поставлена в 1696 г. И. Бернулли и сыграла важнуюроль в развитии вариационного исчисления.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.6 / 23Для функционалов, так же как и для обычных функций классическогоанализа, важную роль играет понятие непрерывности (т.е. если любыедва элемента из области определения функции – близки, тогда изначения функции в этих элементах тоже близки).Для этого необходимо сформулировать сначала это понятие близостиэлементов в функциональном пространстве, где определен функционал.Поскольку нас интересуют функционалы вида (∗), т.е.
зависящие отфункций y(x) и их производных y 0 (x) (и от переменной x), то следуетрассмотреть пространство непрерывно-дифференцируемых функций, вкотором введено естественным образом понятие нормы:ky(x)k = max |y(x)| + max |y 0 (x)|a6x6ba6x6bТаким образом, близость функций в пространстве с такой нормой:ky1 (x) − y2 (x)k < ε – означает, что близки значения самих функций иих производных для всех точек из области определения функций.Легко проверить, что все аксиомы линейного нормированногопространства для такой нормы – выполнены.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.7 / 23Функционал J[y] называется – непрерывный в «точке» y0 излинейного нормированного пространства, если для любого числа ε > 0существует число δ > 0 такое,что для¯ всех y, для которых¯ky − y0 k < δ следует, что ¯J[y] − J[y0 ]¯ < ε.Функционал Jhyi называется – линейный в линейном нормированномпространстве если он:1) Jhyi – непрерывен,2) для любых y1 и y2 из функционального пространства выполняетсяJhα1 y1 + α2 y2 i = α1 Jhy1 i + α2 Jhy2 i(α1 , α2 − постоянные).(Угловые скобки h.
. .i – обозначают линейность функционала.)Очевидно, что функционалы вида:ZbJhyi = f (x)y(x) dxилиaZbJhyi = f (x)y 0 (x) dxaгде f (x) – фиксированная функция — являются линейными, а видаZbJ[y] = y 2 (x)dx – нелинейный функционал.aБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.8 / 23Вариация функционалаОпределим понятия дифференциала функционала – вариации.Рассмотрим некоторый функционал J[y] и его приращение:∆J = J[y + h] − J[y]отвечающее приращению h(x) «независимой переменной» y(x).Если y(x) фиксировано, то ∆J представляет собой функционал(вообще говоря нелинейный) от h, т.е. ∆J = ∆J[h].Вариацией (дифференциалом) δJ функционала J[y] –называется главная линейная часть приращения ∆J функционала J,т.е.
линейный функционал δJhhi, отличающийся от ∆J[h] набесконечно малую величину порядка выше первого по отношению к khk:∆J[h] = δJhhi + ϕ[h]где ϕ[h] – функционал, обладающий свойством:ϕ[h]→ 0 при khk → 0.khkПричем эта вариация «в некоторой точке y(x)».Ясно, что вариация функционала (если есть) определяется однозначно.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.9 / 23Стационарное значение функционалаИспользуем вариацию функционала, чтобы установить необходимыеусловия экстремума (или стационарного значения) функционала.По аналогии с экстремумом функции, скажем, что функционал J[y]– достигает стационарного значения (экстремума) – при y = y0 (x),если разность J[y] − J[y0 ] – сохраняет знак (поэтому и стационарноезначение функционала) в некоторой окрестности кривой y0 (x).ТЕОРЕМА (из вариационного исчисления – без доказательства).Чтобы функционал J[y] при y = y0 (x) достигал стационарного значения(экстремума), необходимо, чтобы его вариация обращалось в ноль:δJ = 0при y = y0 (x).Необходимо, но не достаточно!Вопрос о достаточном условии раскрывается при рассмотрении второйвариации.
Однако часто существование и единственность экстремумастановится понятным из физического и геометрического смысла задачи.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.10 / 23Простейшая задача вариационного исчисленияПусть Φ(x, y, z) – некоторая функция, имеющая непрерывные частныепроизводные по всем переменным до второго порядка включительно.Среди всех функций y(x), имеющих непрерывную производную y 0 (x) иудовлетворяющих условию y(a) = A, y(b) = B требуется найти такуюфункцию, которая доставляет стационарное значение функционалу (∗):ZbΦ(x, y(x), y 0 (x))dxJ[y] =aИначе говоря, простейшая задача вариационного исчисления состоит вотыскании экстремума функционала данного вида на множествегладких кривых, соединяющих две фиксированные точки.Чтобы применить к решению сформулированной задачи условие(необходимое) экстремума, нужно уметь вычислять вариациюфункционалов указанного типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
