1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 28
Текст из файла (страница 28)
подберем δ по выбранному ε).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.16 / 25В силу записанных выше уравнений возмущения движения(преобразованных) справедливо:¸mmm ·d|z̄| 1 d|z̄|2 1 d X1d X1 X dzkdz k2|z̄|·==|zk | =zk ·z k =z k + zk=dt2 dt2 dt2 dt2dtdtk=1k=1k=1m=¡¢¤1 X£(λk zk + µbk zk+1 + Zk ) · z k + zk · λk z k + µbk z k+1 + Z k =2k=1"m#mmXX¢¡¢1 X¡=λk + λk zk z k + µbk (z k zk+1 + zk z k+1 ) +Zk z k + z k Z k2k=1k=1k=1где полагается zm+1 = 0.Оценим каждое слагаемое-сумму в квадратных скобках.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.17 / 251)mmmXXX¡¢2λk + λk zk z k = 2Re(λk )|zk | 6 −2α|zk |2 = −2α|z̄|2k=1k=1k=1где −α = max Re(λk ), α > 0, т.к. все Re(λk ) < 0 по условию теоремы.k=1,...,m2)mXbk (z k zk+1 +zk z k+1 ) = 2k=1mXbk (Re(zk )Re(zk+1 )+Im(zk )Im(zk+1 )) 6k=162mXbk ≡1bk (|zk ||zk+1 | + |zk ||zk+1 |) 6 4k=1mX|zk ||zk+1 | 6k=1vvumumuXuX6 4t|zk |2 · t|zk+1 |2 = 4|z̄|2k=1k=1В последней оценке использовалинеравенствоPP 2 P 2Коши-Буняковского:2( ak bk ) 6 ak · bkБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.18 / 25mX¡¢ аналогичноZk z k + zk Z k64|z̄|·|Z̄|3)k=1gk (M z̄)1Так как Zk =, то вводя число γ = γ(µ) = max>0kk=1,...,m µkµимеемZk 6 γ gk (M z̄)Тогда|Z̄| 6 γ |ḡ(ȳ)| где ȳ = M z̄Далее:|ḡ(ȳ)| = |C −1 f̄ (C ȳ)| 66 kC −1 k · |f̄ (C ȳ)| 6 kC −1 k · ε · |C ȳ| 6 kC −1 k · ε · kCk · |ȳ|Значит|Z̄| 6 γ ε kC −1 k · kCk · |M z̄| 6 γ ε kC −1 k · kCk · kM k · |z̄| = η · |z̄|η = η(µ, ε) = γ(µ) ε kC −1 k · kCk · kM k > 0.mX¡¢Окончательно получим:Zk z k + zk Z k 6 4 η|z̄|2где обозначено:k=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.19 / 25Итак, получаем оценку|z̄| ·⇒⇒d|z̄|6 (−α + 2µ + 2η) · |z̄|2dtd|z̄|6 (−α + 2µ + 2η)|z̄||z̄| 6 |z̄ 0 |e(−α+2µ+2η)(t−t0 )где z̄ 0 = z̄(t0 )Выберем µ:−α + 2µ < 0Выберем ε:−α + 2µ + 2η < 0Тогда получим:lim |z̄| = 0t→∞Так как z̄, ȳ и x̄ связаны линейными преобразованиями, то решениеуравнений возмущённого движения x̄(t) ведёт себя аналогично, азначит невозмущенное движение x̄ = 0 – асимптотически устойчиво. ¥Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.20 / 25Критерии асимптотической устойчивостилинейных системВыше установлено, что в стационарном случае решение x̄ = 0нелинейных уравнений для возмущений асимптотическиустойчиво, если все корни характеристического уравнения длялинейного приближения, записанного в виде многочлена ∆(λ):det(A−λI) = ∆(λ) = a0 λm +a1 λm−1 +.
. .+am−1 λ+am = 0(a0 > 0)имеют отрицательные вещественные части. Поэтому большуюпрактическую значимость приобретают необходимые идостаточные условия, чтобы все корни алгебраическогоуравнения с вещественными коэффициентами имелиотрицательные вещественные части.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.21 / 25Предложение. Необходимым условием отрицательностидействительных частей корней характеристического уравненияявляется положительность коэффициентов многочлена ∆(λ)a1 > 0,a2 > 0,...,am > 0.Действительно, пусть известныλi = µi−вещественные корни, i = 1, . . . , g, µi < 0m−g, µj < 0λj = µj ± iνj − комплексные корни, j = 1, .
. . ,2m−gm2YY⇒ det(A − λI) = a0 (λ − λi ) ·(λ − µj − iνj )(λ − µj + iνj ) =i=1j=1m−gm2YY= a0 (λ − µi ) ·(λ2 − 2λµj + µ2j + νj2 )i=1j=1В силу отрицательности вещественных частей корней этого уравнения,каждый множитель в последней части равенства имеет положительныекоэффициенты, поэтому в ∆(λ) все коэффициенты – положительны.¥Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.22 / 25Критерий Рауса–Гурвица.Что касается необходимых и достаточных условий «устойчивости»многочлена ∆(λ), то они устанавливаются более сложным путём.Такие условия найдены в 1875 году Раусом и, независимо от него, в1895 году Гурвицем; приведем их без доказательства.Критерий Рауса–Гурвица. Чтобы все корни характеристическогоуравнения для линейного приближения имели отрицательныедействительные части, необходимо и достаточно, чтобы былиположительны следующие определители Гурвица:¯¯¯ a1 a3 a5 .
. . a2m−1 ¯¯¯¯¯¯ a0 a2 a4 . . . a2m−2 ¯¯ a1 a3 ¯¯¯¯ > 0, . . . , ∆m = ¯ 0 a1 a3 . . . a2m−3 ¯ > 0∆1 = a1 > 0, ∆2 = ¯¯¯¯¯a0 a2¯ ....................... ¯¯¯¯ 0 0 0 ...am ¯Отметим, что когда в определителе появляется коэффициент ap синдексом большим m, то его следует заменить нулем.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.23 / 25При числовых коэффициентах характеристического уравнениятребования критерия Рауса–Гурвица легко проверяются.Затруднения появляются в случае, когда эти коэффициентысодержат параметры, при вычислении определителей высокогопорядка. Представляют поэтому интерес более простые условия,установленные в 1914 г.
Льенаром и Шипаром, которые содержатменьше детерминатных неравенств. Приведём их также бездоказательства.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.24 / 25Критерий Льенара–ШипараКритерий Льенара–Шипара. Чтобы многочлен ∆(λ) при a0 > 0имел все корни с отрицательными вещественными частями,необходимо и достаточно, чтобы:• все коэффициенты многочлена ∆(λ) были положительныa1 > 0,a2 > 0,..., am > 0.• имели место детерминатные неравенства:∆m−1 > 0,∆m−3 > 0,...Как и ранее, через ∆α обозначен определитель Гурвица порядка α.Видно, что критерий Льенара–Шипара является комбинациейнеобходимого условия трицательности действительных частей корнейхарактеристического уравнения и критерия Рауса–Гурвица. Причёмвторое требование содержит в два раза меньше детерминатныхнеравенств чем критерий Рауса–Гурвица.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.25 / 25ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 18ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИПРЯМОЙ И ОКОЛЬНЫЙ ПУТИГОЛОНОМНОЙ СИСТЕМЫПРИНЦИПГАМИЛЬТОНА–ОСТРОГРАДСКОГОЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.1 / 19До сих пор мы имели дело только с дифференциальными вариационнымипринципами механики, которые дают критерий, позволяющий выделитьистинное (действительное) движение механической системы среди другихкинематически возможных ее движений – для данного момента времени(фиксированного, но произвольного).Теперь мы рассмотрим альтернативу дифференциальным принципам (какоснове механики) – интегральные вариационные принципы.Отличие интегральных вариационных принципов от дифференциальныхсостоит в том, что они дают критерий истинного движения системы не дляодного какого-то момента времени, а для некоторого конечного промежуткаt0 6 t 6 t1 .
Т.е. они характеризуют движение системы в целом, на всемпромежутке времени. При этом действительное движение выделяетсяизо всех остальных, кинематически возможных тем, что доставляетэкстремальное свойство некоторой величине из интегрального принципа.Интегральные вариационные принципы имеют более обозримую икомпактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых(неклассических областей механики). Более того, многие задачи механики ифизики в целом иначе как с помощью них сформулировать невозможно. Этов свою очередь сыграло важную роль в развитии такого раздела математикикак вариационное исчисление. Методы вариационного исчисления широкоиспользуются в различных вопросах физики.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.2 / 19Прямой и окольные пути системыБудем предполагать, что рассматриваемая механическая система илисвободна или подчинена удерживающим связям – геометрическим, т.е.ограничимся рассмотрение только голономных систем, (необязательно склерономных).Пусть aν и bν – возможные положения точки Pν (ν = 1, . . . , N )механической системы в моменты времени t0 и t1 , соответственно.Положение системы в момент t = t0 {aν } назовем – начальным,а в момент t = t1 {bν } – конечным. Предположим, что в моментвремени t = t0 можно так выбрать скорости точек системы, что приt = t1 точки Pν займут их конечные положения.Совокупность траекторий, которые будут описаны точками системыпри их перемещении из начальных положений {aν } в их конечныеположения {bν }, образуют истинный или действительный путьсистемы. Его также называют – прямой путь системы.На прямом пути точка Pν системы описывает кривую (траекторию) γν ,соединяющую точки aν и bν .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.3 / 19Совокупность соединяющих точки aν и bν кривых γν0 бесконечноблизких к соответствующим кривым γν (прямым путям) и таких,что движение точки Pν по кривой γν0 может происходить безнарушения связей, называют – окольными путями системы.bnanБатяев Е. А. (НГУ)На рисунке сплошная линия соответствуетпрямому пути, а штриховые – окольным.Дальше будем считать, что движение всехточек Pν по окольным путям начинаетсяодновременно при t = t0 и оканчиваетсяпри t = t1 , т.е. движение по окольномупути (которое допускается связями)начинается и оканчивается в те жемоменты времени и в тех же положениях,что и движение по прямому пути.ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.4 / 19Для голономной системы прямые и окольные пути удобнопредставлять в расширенном координатном пространстве,где координатами являются обобщенные координаты q1 , .
. . , qn ивремя t. Пусть точка A этого пространства соответствует начальномуположению системы, а B – конечному. Движениям системы из ееначального положения в конечное будут отвечать кривые,соединяющие A и B. На рисунке (для n = 2) сплошной линиейпоказан прямой путь системы, а штриховыми – окольные пути.В расширенном координатномпространстве за окольный путь можетбыть принята любая бесконечно близкаяк прямому пути кривая, соединяющаяA и B. Любая такая кривая представляетAсобой кинематически возможный путь,q2т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
