Главная » Просмотр файлов » 1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445

1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 28

Файл №542294 1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (Батяев - Лекции) 28 страница1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294) страница 282021-01-31СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

подберем δ по выбранному ε).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.16 / 25В силу записанных выше уравнений возмущения движения(преобразованных) справедливо:¸mmm ·d|z̄| 1 d|z̄|2 1 d X1d X1 X dzkdz k2|z̄|·==|zk | =zk ·z k =z k + zk=dt2 dt2 dt2 dt2dtdtk=1k=1k=1m=¡¢¤1 X£(λk zk + µbk zk+1 + Zk ) · z k + zk · λk z k + µbk z k+1 + Z k =2k=1"m#mmXX¢¡¢1 X¡=λk + λk zk z k + µbk (z k zk+1 + zk z k+1 ) +Zk z k + z k Z k2k=1k=1k=1где полагается zm+1 = 0.Оценим каждое слагаемое-сумму в квадратных скобках.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.17 / 251)mmmXXX¡¢2λk + λk zk z k = 2Re(λk )|zk | 6 −2α|zk |2 = −2α|z̄|2k=1k=1k=1где −α = max Re(λk ), α > 0, т.к. все Re(λk ) < 0 по условию теоремы.k=1,...,m2)mXbk (z k zk+1 +zk z k+1 ) = 2k=1mXbk (Re(zk )Re(zk+1 )+Im(zk )Im(zk+1 )) 6k=162mXbk ≡1bk (|zk ||zk+1 | + |zk ||zk+1 |) 6 4k=1mX|zk ||zk+1 | 6k=1vvumumuXuX6 4t|zk |2 · t|zk+1 |2 = 4|z̄|2k=1k=1В последней оценке использовалинеравенствоPP 2 P 2Коши-Буняковского:2( ak bk ) 6 ak · bkБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.18 / 25mX¡¢ аналогичноZk z k + zk Z k64|z̄|·|Z̄|3)k=1gk (M z̄)1Так как Zk =, то вводя число γ = γ(µ) = max>0kk=1,...,m µkµимеемZk 6 γ gk (M z̄)Тогда|Z̄| 6 γ |ḡ(ȳ)| где ȳ = M z̄Далее:|ḡ(ȳ)| = |C −1 f̄ (C ȳ)| 66 kC −1 k · |f̄ (C ȳ)| 6 kC −1 k · ε · |C ȳ| 6 kC −1 k · ε · kCk · |ȳ|Значит|Z̄| 6 γ ε kC −1 k · kCk · |M z̄| 6 γ ε kC −1 k · kCk · kM k · |z̄| = η · |z̄|η = η(µ, ε) = γ(µ) ε kC −1 k · kCk · kM k > 0.mX¡¢Окончательно получим:Zk z k + zk Z k 6 4 η|z̄|2где обозначено:k=1Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.19 / 25Итак, получаем оценку|z̄| ·⇒⇒d|z̄|6 (−α + 2µ + 2η) · |z̄|2dtd|z̄|6 (−α + 2µ + 2η)|z̄||z̄| 6 |z̄ 0 |e(−α+2µ+2η)(t−t0 )где z̄ 0 = z̄(t0 )Выберем µ:−α + 2µ < 0Выберем ε:−α + 2µ + 2η < 0Тогда получим:lim |z̄| = 0t→∞Так как z̄, ȳ и x̄ связаны линейными преобразованиями, то решениеуравнений возмущённого движения x̄(t) ведёт себя аналогично, азначит невозмущенное движение x̄ = 0 – асимптотически устойчиво. ¥Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.20 / 25Критерии асимптотической устойчивостилинейных системВыше установлено, что в стационарном случае решение x̄ = 0нелинейных уравнений для возмущений асимптотическиустойчиво, если все корни характеристического уравнения длялинейного приближения, записанного в виде многочлена ∆(λ):det(A−λI) = ∆(λ) = a0 λm +a1 λm−1 +.

. .+am−1 λ+am = 0(a0 > 0)имеют отрицательные вещественные части. Поэтому большуюпрактическую значимость приобретают необходимые идостаточные условия, чтобы все корни алгебраическогоуравнения с вещественными коэффициентами имелиотрицательные вещественные части.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.21 / 25Предложение. Необходимым условием отрицательностидействительных частей корней характеристического уравненияявляется положительность коэффициентов многочлена ∆(λ)a1 > 0,a2 > 0,...,am > 0.Действительно, пусть известныλi = µi−вещественные корни, i = 1, . . . , g, µi < 0m−g, µj < 0λj = µj ± iνj − комплексные корни, j = 1, .

. . ,2m−gm2YY⇒ det(A − λI) = a0 (λ − λi ) ·(λ − µj − iνj )(λ − µj + iνj ) =i=1j=1m−gm2YY= a0 (λ − µi ) ·(λ2 − 2λµj + µ2j + νj2 )i=1j=1В силу отрицательности вещественных частей корней этого уравнения,каждый множитель в последней части равенства имеет положительныекоэффициенты, поэтому в ∆(λ) все коэффициенты – положительны.¥Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.22 / 25Критерий Рауса–Гурвица.Что касается необходимых и достаточных условий «устойчивости»многочлена ∆(λ), то они устанавливаются более сложным путём.Такие условия найдены в 1875 году Раусом и, независимо от него, в1895 году Гурвицем; приведем их без доказательства.Критерий Рауса–Гурвица. Чтобы все корни характеристическогоуравнения для линейного приближения имели отрицательныедействительные части, необходимо и достаточно, чтобы былиположительны следующие определители Гурвица:¯¯¯ a1 a3 a5 .

. . a2m−1 ¯¯¯¯¯¯ a0 a2 a4 . . . a2m−2 ¯¯ a1 a3 ¯¯¯¯ > 0, . . . , ∆m = ¯ 0 a1 a3 . . . a2m−3 ¯ > 0∆1 = a1 > 0, ∆2 = ¯¯¯¯¯a0 a2¯ ....................... ¯¯¯¯ 0 0 0 ...am ¯Отметим, что когда в определителе появляется коэффициент ap синдексом большим m, то его следует заменить нулем.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.23 / 25При числовых коэффициентах характеристического уравнениятребования критерия Рауса–Гурвица легко проверяются.Затруднения появляются в случае, когда эти коэффициентысодержат параметры, при вычислении определителей высокогопорядка. Представляют поэтому интерес более простые условия,установленные в 1914 г.

Льенаром и Шипаром, которые содержатменьше детерминатных неравенств. Приведём их также бездоказательства.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.24 / 25Критерий Льенара–ШипараКритерий Льенара–Шипара. Чтобы многочлен ∆(λ) при a0 > 0имел все корни с отрицательными вещественными частями,необходимо и достаточно, чтобы:• все коэффициенты многочлена ∆(λ) были положительныa1 > 0,a2 > 0,..., am > 0.• имели место детерминатные неравенства:∆m−1 > 0,∆m−3 > 0,...Как и ранее, через ∆α обозначен определитель Гурвица порядка α.Видно, что критерий Льенара–Шипара является комбинациейнеобходимого условия трицательности действительных частей корнейхарактеристического уравнения и критерия Рауса–Гурвица. Причёмвторое требование содержит в два раза меньше детерминатныхнеравенств чем критерий Рауса–Гурвица.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.25 / 25ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 18ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИПРЯМОЙ И ОКОЛЬНЫЙ ПУТИГОЛОНОМНОЙ СИСТЕМЫПРИНЦИПГАМИЛЬТОНА–ОСТРОГРАДСКОГОЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.1 / 19До сих пор мы имели дело только с дифференциальными вариационнымипринципами механики, которые дают критерий, позволяющий выделитьистинное (действительное) движение механической системы среди другихкинематически возможных ее движений – для данного момента времени(фиксированного, но произвольного).Теперь мы рассмотрим альтернативу дифференциальным принципам (какоснове механики) – интегральные вариационные принципы.Отличие интегральных вариационных принципов от дифференциальныхсостоит в том, что они дают критерий истинного движения системы не дляодного какого-то момента времени, а для некоторого конечного промежуткаt0 6 t 6 t1 .

Т.е. они характеризуют движение системы в целом, на всемпромежутке времени. При этом действительное движение выделяетсяизо всех остальных, кинематически возможных тем, что доставляетэкстремальное свойство некоторой величине из интегрального принципа.Интегральные вариационные принципы имеют более обозримую икомпактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых(неклассических областей механики). Более того, многие задачи механики ифизики в целом иначе как с помощью них сформулировать невозможно. Этов свою очередь сыграло важную роль в развитии такого раздела математикикак вариационное исчисление. Методы вариационного исчисления широкоиспользуются в различных вопросах физики.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.2 / 19Прямой и окольные пути системыБудем предполагать, что рассматриваемая механическая система илисвободна или подчинена удерживающим связям – геометрическим, т.е.ограничимся рассмотрение только голономных систем, (необязательно склерономных).Пусть aν и bν – возможные положения точки Pν (ν = 1, . . . , N )механической системы в моменты времени t0 и t1 , соответственно.Положение системы в момент t = t0 {aν } назовем – начальным,а в момент t = t1 {bν } – конечным. Предположим, что в моментвремени t = t0 можно так выбрать скорости точек системы, что приt = t1 точки Pν займут их конечные положения.Совокупность траекторий, которые будут описаны точками системыпри их перемещении из начальных положений {aν } в их конечныеположения {bν }, образуют истинный или действительный путьсистемы. Его также называют – прямой путь системы.На прямом пути точка Pν системы описывает кривую (траекторию) γν ,соединяющую точки aν и bν .Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.3 / 19Совокупность соединяющих точки aν и bν кривых γν0 бесконечноблизких к соответствующим кривым γν (прямым путям) и таких,что движение точки Pν по кривой γν0 может происходить безнарушения связей, называют – окольными путями системы.bnanБатяев Е. А. (НГУ)На рисунке сплошная линия соответствуетпрямому пути, а штриховые – окольным.Дальше будем считать, что движение всехточек Pν по окольным путям начинаетсяодновременно при t = t0 и оканчиваетсяпри t = t1 , т.е. движение по окольномупути (которое допускается связями)начинается и оканчивается в те жемоменты времени и в тех же положениях,что и движение по прямому пути.ЛЕКЦИЯ 18Новосибирск, 2017 г.4 / 19Для голономной системы прямые и окольные пути удобнопредставлять в расширенном координатном пространстве,где координатами являются обобщенные координаты q1 , .

. . , qn ивремя t. Пусть точка A этого пространства соответствует начальномуположению системы, а B – конечному. Движениям системы из ееначального положения в конечное будут отвечать кривые,соединяющие A и B. На рисунке (для n = 2) сплошной линиейпоказан прямой путь системы, а штриховыми – окольные пути.В расширенном координатномпространстве за окольный путь можетбыть принята любая бесконечно близкаяк прямому пути кривая, соединяющаяA и B. Любая такая кривая представляетAсобой кинематически возможный путь,q2т.к.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
9,54 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее