1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.5 / 24Используя эти простые выражения для T и Π составим уравненияЛагранжа в нормальных координатах:∂T∂Πd ∂T−=−dt ∂ θ̇σ∂θσ∂θσ⇒θ̈σ + λσ θσ = 0(σ = 1, . . . , n)таким образом каждое уравнение содержит только одну неизвестнуюфункцию, т.е. система дифференциальных уравнений малыхколебаний в нормальных координатах распадается на отдельныенезависимые уравнения (не связанные друг с другом), чтосущественно облегчает интегрирование этой системы.Т.к.
все λσ положительны, то общее решение каждого уравненияописывают гармонические колебания (осцилятора):θσ = Cσ sin(ωσ t + ασ )(σ = 1, . . . , n)√где ωσ = λσ – собственные частоты колебаний.Cσ , ασ – произвольные постоянные.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.6 / 24Подставляя эти выражения в исходную формулу преобразованиякоординат, получим общую формулу решения:nXq̄ =Cσ ūσ sin(ωσ t + ασ )σ=1совпадающую с формулой, установленной ранее из других соображений(при различных λσ ).
Причём вектор-столбцы ūσ из матрицыпреобразования U выполняют роль амплитудных векторов,определяемых из системы линейных алгебраических уравнений(C − λσ A)ūσ = 0(σ = 1, . . . , n)получаемых после подстановки решения в виде q̄ = U θ̄ =nXūσ θσσ=1в исходные дифференциальные уравнения малых колебаний:nnnXXXūσ θσ =[Aūσ (−λσ θσ ) + C ūσ θσ ] =A¨q̄ + C q̄ = Aūσ θ̈σ + C=nXσ=1[C − λσ A] ūσ θσ = 0,σ=1σ=1с учётом независимости θσ друг от друга.σ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.7 / 24Таким образом, установлено, что формулаq̄ =nXCσ ūσ sin(ωσ t + ασ )σ=1определяет решение дифференциальных уравнений малых колебаний,и охватывает случай простых и кратных корней уравнения частот.При переходе к нормальным координатам и получении этой формулыслучай кратных корней особо не выделяется.
Если какой-то кореньповторяется p раз, то всегда можно найти p линейно независимыхвекторов ūσ из указанной системы уравнений. Амплитудные векторыиз этой системы находятся с точностью до произвольного множителя,а его выбор можно осуществлять, например, из условия нормировкиAūσ · ūσ = 1(σ = 1, . . . , n)В заключение отметим, что упоминавшиеся ранее главные колебаниясистемы q̄ σ = Cσ ūσ sin(ωσ t + ασ ) представляют собою, очевидно,колебание, соответствующее изменению только одной главной (илинормальной) координаты θσ .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.8 / 24Колебания консервативной системыпод влиянием внешних периодических силПериодические внешние силы могут существенно изменять колебанияконсервативной системы в окрестности устойчивого положенияравновесия, которые оно совершало под действием одних толькопотенциальных сил, и служить источником возникновения такихэффектов как резонанс, биения и т.д.
(биения - когда максимальноеколебание переходит от одной части системы к другой и обратно, т.е.происходит обмен энергией).µ¶∂ΠПусть на консервативную систему кроме потенциальных сил −∂qσдействуют также возмущающие внешние силы Qσ (t), периодически2πизменяющиеся со временем с периодом τ =, где Ω – частота силы:ΩQσ (t + τ ) = Qσ (t)(σ = 1, . . .
, n)Эти возмущающие силы обусловлены действием какого-либо внешнегопо отношению к системе, периодически изменяющегося фактора.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.9 / 24Влияние этих сил на колебания системы вблизи устойчивого положенияравновесия удобно исследовать, если воспользоваться главнымикоординатами θ1 , . . . , θn , введенными вышеnnXXq̄ = U θ̄ =ūσ θσто естьqρ =uρσ θσ(ρ = 1, .
. . , n)σ=1σ=1Силам Qρ (t), соответствующим обобщённым координатам qρ , отвечаютобобщённые силы Θσ (t) для главных координат θσ . Для определениявеличин Θσ (t) приравняем выражение для элементарной работы этих сил вкоординатах qρ и θσ :δA =nXQρ δqρ =ρ=1nXΘσ δθσσ=1Согласно замене переменных имеем связь между вариациями координат:nXδqρ =uρσ δθσ(ρ = 1, . .
. , n)σ=1тогдаδA =nXQρ δqρ =ρ=1Батяев Е. А. (НГУ)nXρ=1QρnXuρσ δθσ =σ=1ЛЕКЦИЯ 15Ã nnXXσ=1!Qρ uρσδθσρ=1Новосибирск, 2017 г.10 / 24окончательно имеемΘσ (t) =nXuρσ Qρ (t)(σ = 1, . . . , n)ρ=1Или в векторно-матричном виде:Θ̄(t) = U ∗ Q̄(t)где U ∗ – транспонированная матрица U .В нормальных координатах малые колебания консервативной системы сучетом внешних сил (любых, не только периодических) будут описыватьсяуравнениямиd ∂T∂T∂Πθ̈σ + ωσ2 θσ = Θσ (t)(σ = 1, . . . , n)−=−+ Θσ (t) ⇒dt ∂ θ̇σ∂θσ∂θσПомимо периодичности внешних сил Qσ (t) будем полагать, что онидопускают представления в виде рядов Фурье.
А тогда, в силу линейнойзависимости Θ̄(t) и Q̄(t) этим свойством будут обладать и силы Θσ (t) т.е.будут справедливы представления:∞XΘσ (t) =bσk sin(kΩt + ασk )(σ = 1, . . . , n)k=0Здесь bσk и ασk (σ = 1, . . . , n, k = 0, 1, 2, . . .) – постоянные величины.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.11 / 24Общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений (при kΩ 6= ωσ )имеет вид:θσ = Cσ sin(ωσ t + ασ ) + θσ∗ (t)(σ = 1, . . . , n)где Cσ и ασ – произвольные постоянные (определяемые через начальныеусловия), а через θσ∗ (t) обозначены слагаемыеθσ∗ (t) =∞Xk=0bσksin(kΩt + ασk )ωσ2 − k 2 Ω2(σ = 1, .
. . , n)т.е. θσ∗ (t) – частное решение неоднородного уравнения, а каждое слагаемое внём – частное решение с правой частью bσk sin(kΩt + ασk ) (т.е. для каждогослагаемого из представления силы Θσ (t)).Первое же слагаемое в выражении решения θσ (t) – отвечает так называемымсвободным колебаниям системы, т.е. в отсутствии внешних сил, причёмωσ – собственная частота таких колебаний, не зависящая, как мыубеждались от особенностей движения, она четко определяется толькоинерционно-упругими свойствами рассматриваемой системы.Т.е.
это слагаемое является общим решением однородной системыдифференциальных уравнений.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.12 / 24Возвращаясь к прежним обобщённым координатамnXq̄ = U θ̄ =ūσ θσ устанавливаем:σ=1q̄ =nXCσ ūσ sin(ωσ t + ασ ) +σ=1nXūσ θσ∗ (t)σ=1Первая сумма представляет собой свободные колебания, а вторая –вынужденные колебания, возникающие из-за влияния внешнихпериодических сил. Таким образом, влияние периодичныхвозмущающих сил проявляется в возникновении вынужденныхколебаний с частотами, кратными частоте этой силы kΩ.
В результате,движение системы является суперпозицией свободных и вынужденныхколебаний. Если же при каком-либо значении числа k окажется, чтоkΩ = ωσ для некоторого σ, то при bσk 6= 0 решение в приведеннойформе непригодно, т.к. в сумме θσ∗ (t) будет слагаемое с нулевымзнаменателем. Говорят, что в этом случае имеет место явлениерезонанса k-го порядка в вынужденных колебаниях системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.13 / 24Каким будет решение тогда уравнения при резонансе?Для примера рассмотрим одно уравнение видаθ̈ + ω 2 θ = a sin(ωt)Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет видθ0 = c sin(ωt + α)Будем искать частное решение неоднородного уравнения методомварьирования постоянных, т.е. c = c(t).
Положим для простоты α = π/2.Тогда частное решение имеет видθ∗ (t) = c(t) cos(ωt)⇒ θ̇∗ = ċ cos(ωt)−ωc sin(ωt) ⇒ θ̈∗ = c̈ cos(ωt)−2 ċ ω sin(ωt)−c ω 2 cos(ωt)Подставляя θ̈∗ и θ∗ в уравнение получимc̈ cos(ωt) − 2 ċ ω sin(ωt) − c ω 2 cos(ωt) + ω 2 c cos(ωt) = a sin(ωt)⇒c̈ cos(ωt) − (2 ċ ω + a) sin(ωt) = 0½ċ = constc̈ = 0⇒⇒⇒ċ = −a/2ω2 ċ ω + a = 0Окончательноaθ∗ (t) = − t cos(ωt)2ω½Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15c=−Новосибирск, 2017 г.at2ω14 / 24Видно, что функция θ∗ (t)является неограниченной –с ростом t она увеличиваетсянеограниченно.Колебания, описываемыеисходным уравнением,при резонансеуже не будут малыми.Понятно отсюда, что чем больше у системы степеней свободы (т.е. большесобственных частот ωσ ), тем богаче у нее резонансные явления. Поэтомуположение равновесия, устойчивое при отсутствии возмущающих сил,становится неустойчивым при действии этих сил, поскольку могутнеограниченно возрастать и все больше уходить от положения равновесия.А потому для описания движения вблизи положения равновесия уравнениямалых колебаний должны быть заменены другими уравнениями,учитывающими отброшенные при линеаризации (упрощении) нелинейныечлены в полных уравнениях движения.
Так в данном конкретном примеремы приходим к необходимости привлечения теории нелинейных колебаний.Отметим, что явление резонанса в механической системе может возникнутьтолько при наличии внешних периодических сил.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.15 / 24Колебания консервативной системы приналичии внешних диссипативных силБудем считать, что механическая система с n степенями свободы совершаетдвижение в окрестности своего устойчивого положения равновесия приналичии потенциальных консервативных сил (т.е.
∂Π/∂t = 0) сил и силсопротивления среды. В обобщённых координатах консервативные силы∂Πопределяются через потенциальную энергию: Qσ = −(σ = 1, . . . , n).∂qσОтносительно сил сопротивления принимается, что при медленныхдвижениях они являются линейными функциями обобщённых скоростей:nXQ∗σ (t) = −bσρ q̇ρ (t)ρ=1где bσρ = bρσ = const (σ, ρ = 1, . . . , n) (т.е. симметричные по индексам).Тогда можно ввести, рассмотренную ранее, диссипативную функцию Релея,являющуюся положительно определенной квадратичной формойобобщённых скоростей (из определения диссипативных сил), через которуюсилы сопротивления можно представить в виде подобном потенциальнымnсилам:1 X∂RR=bσρ q̇σ q̇ρ⇒Q∗σ = −2 σ,ρ=1∂ q̇σБатяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
