1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Интегрирование же уравненийвозмущённого движения и исследование их решений зачастую связаны созначительными трудностями. Поэтому при рассмотрении устойчивостипредпочтительны методы, позволяющие избегнуть этих операций. К ихчислу относится так называемый прямой метод Ляпунова.Его суть состоит в отыскании некоторой функции времени и отклоненийV (t, x1 , .
. . , xm ) и в изучении свойств ее полной производной по времени.В основе метода лежит способ, использованный Дирихле при доказательстветеоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. Ляпунов обратил вниманиена то, что при доказательстве теоремы Лагранже вместо механическойэнергии E можно взять любую непрерывную (с непрерывными частнымипроизводными первого порядка) функцию пространства состояний системыV (qσ , q̇σ ) (стационарную, т.е. не зависящую явно от времени t), имеющую всостоянии равновесия строгий локальный минимум и не возрастающую прилюбом движении системы (напомним, что для консервативной системыE = const на любом решении т.е.
движении).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.13 / 24В самом деле, в силу уравнений движения (в канонической форме):dqσ= q̇σ ,dtdq̇σ= Gσ (qσ , q̇σ )dtполная производная функции V (qσ (t), q̇σ (t)) по времени, имеет вид:nXdV=dtσ=1µ∂V∂Vq̇σ +q̈σ∂qσ∂ q̇σ¶=n µX∂Vσ=1∂qσq̇σ +¶∂VGσ (qσ , q̇σ ) = V 0∂ q̇σОтсюда, в частности, следует, что в начале координат O пространствасостояний функция V 0 обращается в ноль, т.к. эта точка O соответствуетсостоянию равновесия системы, в котором qσ = 0, q̇σ = 0, q̈σ = Gσ = 0.Если V (qσ , q̇σ ) не возрастает при любом движении системы, тогдаdV /dt = V 0 6 0. Значит V 0 в состоянии равновесия – имеет максимум!Если же этот максимум строгий, то в окрестности точки O (за исключениемсамой O) : V 0 < 0, т.е.
при движении системы, в пределах этой окрестности,функция V – строго убывает. Теперь можно почти дословно повторитьдоказательство теоремы Лагранжа, используя вместо E функцию V .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.14 / 24Замечание 1: максимум V 0 в состоянии равновесия – эквивалентно –«невозрастанию» V .Замечание 2: при формулировке достаточного условия устойчивости можнопоменять местами слова «минимум» для V и «максимум» для V 0 , т.к.замена V на −V возвращает нас к прежней формулировке.Таким образом можно считать доказанной теорему:ТЕОРЕМА. Положение равновесия склерономной системы, находящейсяпод действием сил, не зависящих явно от времени, является устойчивым,если существует функция V (qσ , q̇σ ) – непрерывная, вместе со своимичастными производными первого порядка, имеющая в данном состоянииравновесия строгий экстремум, в то время как производная по времени V 0(вычисленная в силу уравнений движения) имеет в этом состоянииравновесия экстремум противоположного типа.Если, при этом, экстремум у V 0 строгий – то положение равновесияявляется асимптотически устойчивым.Замечание: Речь идет об устойчивости положения равновесия — любыхсклерономных систем (необязательно консервативных).Функцию V (qσ , q̇σ ) в теореме, принято называть — функция ЛяпуноваБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.15 / 24Теорема Ляпунова об устойчивости движенияРассмотрим более широкий класс, так называемых, функций ЛяпуноваV (t, x) (x = (x1 , . . . , xm ) – координаты (возмущения)) — которые вокрестности начала координат (невозмущённого движения) и наполубесконечном временном интервале, т.е. в областиD:|xk | 6 ∆,t > t0(k = 1, . . .
, m)1) однозначны, 2) непрерывно дифференцируемы, 3) обращаются в ноль вначале координат x1 = . . . = xm = 0, т.е. V (t, 0) = 0.Функция (Ляпунова) от времени и координат V (t, x) в области D называетсязнакопостоянной, если она может принимать значения только одногознака, и знакопеременной, если может принимать как положительные,так и отрицательные значения:V > 0 в D − знакопостоянная положительнаяV 6 0 в D − знакопостоянная отрицательнаяБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.16 / 24Функция координат (возмущений) W (x) называется знакоопределённой,если она: 1) знакопостоянная, 2) обращается в ноль только в началекоординат x1 = .
. . = xm = 0, т.е. W (0) = 0.Функция (Ляпунова) времени и координат (возмущений) V (t, x) называетсязнакоопределённой в области D, если она: 1) знакопостоянная;2) найдется знакоопределённая положительная функция координат W (x),такая, что в области D будет выполняться одно из неравенств:V (t, x) > W (x)или− V (t, x) > W (x)Заметим, что знакоопределённая функция V (t, x) при любом времени t иx1 = . . .
= xm = 0 может обращаться в ноль, т.е. для неё допускаетсяV (t, 0) = 0 (что является условием 3 из определения функций Ляпунова).Говорят, что функция времени и координат V (t, x) допускает бесконечномалый высший предел, если для всякого числа ε > 0 (как бы мало ононе было) найдется другое число δ > 0, такое, что в области t > t0 , |xk | < δ(k = 1, . . . , m), функция V удовлетворяет неравенству |V (t, x)| < ε.Ясно, что любая непрерывная функция координат (не зависящая от t) W (x)удовлетворяет этому условию (это по сути определение непрерывности).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.17 / 24Теорема Ляпунова. (достаточные условия устойчивостиневозмущённого движения)Если дифференциальные уравнения возмущённого движения:dxk (t)= Xk (t, x)dtдопускают существование знакоопределённой в области D функцииV (t, x), производная которой по времени, вычисленная в силу этихуравнений:mX∂VdV∂VV 0 (t, x) ==Xk +dt∂xk∂tk=1является знакопостоянной в D функцией противоположного с V знакаили тождественно равна нулю (т.е.
V (t, x) ≡ const), то невозмущённоедвижение x1 = . . . = xm = 0 — устойчиво.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.18 / 24Доказательство:Положим для определённости, что в области D функция ЛяпуноваV (t, x) – знакоопределённая положительная, а ее производнаяV 0 (t, x) – знакопостоянная отрицательная или тождественно равна нулю.По определению знакоопределённой функции существует не зависящаяот t, положительно определённая функция W (x), что в области Dвыполняются неравенства:V (t, x) > W (x),V 0 (t, x) 6 0Будем использовать подход Дирихле: выберем ε > 0 и рассмотримзначения функции W (x) на границе ε-окрестности (где хотя бы однаxk = ε, а остальные |xl | 6 ε). Поскольку эта граница являетсязамкнутым множеством, то непрерывная положительная W (x)достигает на ней своего положительного минимума W∗ :W (x) > W∗ > 0 на ΓεБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.19 / 24Рассмотрим в ε-окрестности функцию V (t0 , x).
Т.к. эта функция независит явно от времени (оно фиксировано), она допускает бесконечномалый высший предел. Т.е. по определению найдется такое числоδ > 0, что в области t > t0 , |xk | < δ будет выполняться условие:V (t0 , x) < W∗(т.е.
ε из определения бесконечно малого высшего предела равно W∗ ).Очевидно, что это неравенство справедливо и для начальных x0k еслиони |x0k | < δ т.е.V0 = V (t0 , x0 ) < W∗По условию теоремы V 0 (t, x) < 0, следствием чего являетсянеравенство:ZtV − V0 = V 0 (t, x)dt 6 0t0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.20 / 24Таким образом, собирая соотношения, придем к условиюограниченности функции W (x):W (x) 6 V (t, x) 6 V0 < W∗Отсюда следует, что ни одна координата (возмущение) xk придвижении не может возрасти до значения ε, ибо на границеε-окрестности W > W∗ , т.е.
для любого момента t будет |xk | < ε, чтои означает устойчивость невозмущённого движения.¥Аналогично рассматривается случай, когда V – знакоопредёленнаяотрицательная, а V 0 – знакопостоянная положительная.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.21 / 24Если для уравнений возмущённого движения можно найти функциюЛяпунова, обладающую по сравнению с обычной устойчивостьюнекоторыми дополнительными свойствами, то движение будетасимптотически устойчивым.Теорема Ляпунова. (об асимптотической устойчивостиневозмущённого движения)Если дифференциальные уравнения возмущённого движения таковы,что можно найти знакоопределённую функцию V (t, x), допускающуюбесконечно малый высший предел, производная по времени которойV 0 (t, x), взятая в силу дифференциальных уравнений возмущённогодвижения, является знакоопредёленной функцией противоположного сV знака, то невозмущённое движение — устойчиво асимптотически.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.22 / 24Итак, теоремы Ляпунова дают достаточные условия устойчивостидвижения. Применение этих теорем требует знания функции ЛяпуноваV (t, x), обладающей вполне определенными свойствами для обычнойили асимптотической устойчивости.Однако, общих методов построения таких функций нет и вопрос с еенахождением является совершенно открытым. Известно лишь что дляустойчивых движений такая функция заведомо существует.Это обстоятельство ограничивает практическое применение теорем.Тем не менее значение теорем Ляпунова не исчерпывается тем, чтоона дает средство для творческого решения задач об устойчивостидвижений. С помощью них устанавливается ряд других важныхтеоретических результатов.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.23 / 24Во многих практически важных случаях функцию Ляпунова можнопостроить если известны первые интегралы уравнений возмущённогодвижения. Пусть U1 , . . . , Up – не зависящие от времени первые интегралыуравнений возмущённого движения. Без ограничения общности можносчитать, что функции Uj (x1 , .
. . , xm ) (j = 1, . . . , p) обращаются в ноль вначале координат x1 = . . . = xm = 0. Пусть в общем случае ни одна из Uj неявляется знакоопределенной. Будем искать функцию Ляпунова в виде:pXV =(λj Uj + µj Uj2 )j=1где λj , µj – неопределенные постоянные. Понятно, что V будет первыминтегралом уравнений возмущённого движения (т.е. V 0 ≡ 0 на любомрешении дифференциальных уравнений возмущённого движения). Если намудастся подобрать λj , µj так, чтобы V была положительно определенной, товсе условия теоремы Ляпунова об устойчивости движения будут выполнены.При этом в тех случаях, когда первые интегралы могут быть найдены изобщих соображений (например, из общих теорем динамики) отпадаетнеобходимость составления самих уравнений возмущённого движения, чтосущественно упрощает исследования.Батяев Е. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
