1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 24
Текст из файла (страница 24)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.16 / 24Далее положим, что:• положение равновесия совпадает с началом отсчета обобщённых координат;• потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю; и• достигает в нем строгого минимума (т.е.
выполняется достаточныйпризнак устойчивости положения равновесия из теоремы Лагранжа).Тогда в малой окрестности состояния равновесия |qσ | ¿ 1, |q̇σ | ¿ 1 длякинетической и потенциальной энергий будут справедливыприближенные выражения:nnXX2T =aσρ q̇σ q̇ρ ,2Π =cσρ qσ qρσ,ρ=1σ,ρ=1где aσρ и cσρ – постоянные коэффициенты. Причём каждая из этих форм,подобно функции Релея, будет определенно-положительной квадратичнойформой.
Движение системы в окрестности равновесия определяетсялагранжевыми уравнениями:d ∂T∂T∂Π∂R−=−−(σ = 1, . . . , n)dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσ∂ q̇σкоторые в рассматриваемых условиях дают следующие линеаризованныеуравнения:nX(aσρ q̈ρ + bσρ q̇ρ + cσρ qρ ) = 0(σ = 1, . . . , n)ρ=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.17 / 24nX(aσρ q̈ρ + bσρ q̇ρ + cσρ qρ ) = 0(σ = 1, . . . , n)ρ=1т.е. образуют однородную систему обыкновенных дифференциальныхлинейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.Вводя квадратные матрицы как раньше A = kaσρ k, B = kbσρ k, C = kcσρ kи вектор-столбец q̄ = (q1 , .
. . , qn ), получим матричный вид:A¨q̄ + B q̄˙ + C q̄ = 0(∗)Будем искать решение системы в виде:q̄ = ūeµtгде ū = (u1 , . . . , un ) вектор-столбец с постоянными элементами, аµ – некоторый постоянный параметр. Подстановка этого выражения вматричное уравнение приводит, после сокращения на eµt , к однороднойалгебраической системе для вектора ū и числа µ:¡ 2¢Aµ + Bµ + C ū = 0(∗∗)Чтобы система (∗∗) имела ненулевое (нетривиальное) решение, необходимои достаточно равенство нулю ее определителя. Т.е. приходим к уравнению¡¢для параметра µ:det Aµ2 + Bµ + C = 0(∗ ∗ ∗)которое называется вековым или характеристическим уравнением.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.18 / 24¡¢det Aµ2 + Bµ + C = 0(∗ ∗ ∗)Вековое уравнение получило свое название в небесной механике(астрономии), где оно встречается в задаче о, так называемых, вековыхнеравенствах в движениях планет, при определении вековых возмущенийпланет. Это алгебраическое уравнение степени 2n относительно µ.Оно определяет 2n корней µ1 , . . .
, µ2n , в общем случае – комплексных.Ограничимся рассмотрением основного случая – различных корней вековогоуравнения (∗ ∗ ∗).Каждому µσ соответствует некоторое ненулевое решение ūσ системыалгебраических уравнений (∗∗) и, следовательно, частное решение ūσ eµσ tсистемы дифференциальных уравнений (∗). Общее решение этой системыдифференциальных уравнений будет представлять собой линейнуюкомбинацию частных решений:2nXCσ ūσ eµσ tq̄ =σ=1где C1 , . .
. , C2n – постоянные (комплексные). Вид функций q̄(t), а значит ивид (характер) малых движений, определяется свойством корней вековогоуравнения, что отражает следующая теорема:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.19 / 24Теорема. Если в положении равновесия потенциальная энергия достигаетстрогого минимума, то вещественные части всех корней векового уравнения– отрицательны.Доказательство.Пусть µ = δ + iε – некоторый, вообще говоря, комплексный корень вековогоуравнения (∗ ∗ ∗) Тогда система алгебраических уравнений (∗∗) определитвектор ū с комплексными, вообще говоря, компонентами: ū = v̄ + iw̄.Легко видеть, что в силу линейности системы и вещественности матрицA, B, C обязательно существует сопряженный корень µ = δ − iε вековогоуравнения, которому соответствует вектор с сопряженными компонентамиū = v̄ − iw̄ (v̄, w̄ – вещественные векторы), определяемый из системы¡¢(Aµ2 + Bµ + C) ū = Aµ2 + Bµ + C ū = 0Умножим скалярно уравнение (∗∗) справа на вектор ū:¡¢¡¢ ¡¢µ2 Aū · ū + µ B ū · ū + C ū · ū = 0Коэффициенты данного квадратного уравнения на µ – вещественны иположительны в силу симметричности и положительной определенностиквадратичных форм, определяемых матрицами A, B, C.
Действительно:Aū·ū = A(v̄+iw̄)·(v̄−iw̄) = Av̄·v̄−iAv̄·w̄+iAw̄·v̄+Aw̄·w̄ = Av̄·v̄+Aw̄·w̄ > 0Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.20 / 24Обозначим:α = Aū · ū = Av̄ · v̄ + Aw̄ · w̄ > 0,β = B ū · ū > 0,γ = C ū · ū > 0Тогда квадратное уравнение на µ и его корни имеют pвид:−β ± β 2 − 4αγ2αµ + βµ + γ = 0⇒µ=2αоткуда и видно, что вещественная часть µ – отрицательна.¥Таким образом, общее решение системы (∗) может быть записано в виде:2nXq̄ =Cσ ūσ eδσ t eiεσ tσ=1Поскольку |eiεσ t | = 1, то в силу доказанной теоремы, т.е. отрицательности δσ ,очевидно что: |q̄| −−−→ 0. Т.е.
отклонения нашей линейной системы будутt→∞затухать со временем. На самом деле, затухать будут отклонения и дляобщей полной нелинейной системы. Этот факт мы докажем позднее.Более того, данный тип поведения решения, означает, что положениеравновесия будет не просто устойчивым, а асимптотически устойчивым:положение равновесия системы (в начале отсчета: qσ = 0) называетсяасимптотически устойчивым, если существует число δ0 > 0, такое чтоесли начальные отклонения и скорости удовлетворяют неравенствм |qσ0 | < δ0и |q̇σ0 | < δ0 , то будут выполняться условия lim |qσ (t)| = 0 и lim |q̇σ (t)| = 0,t→∞t→∞т.е. движение стремится к положению равновесия с убывающей скоростью.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.21 / 24Таким образом, наличие диссипативных сил (определенно-диссипативныхnPсил: N ∗ =Q∗σ q̇σ < 0), определяемых через функцию Релея, не только неσ=1нарушают устойчивости положения равновесия, но превращает обычнуюустойчивость в устойчивость асимптотическую.Установим характер затухающего движения.Анализируя выражение для µ – понятно, что тип движения зависит отвеличины сопротивления β. Рассмотрим разные случаи.Для начала отметим, что поскольку нас интересуют только вещественные(действительные) движения, то из общего решения необходимо выделитьтолько действительную часть (вещественную):Ã 2n!Xδσ t iεσ tq̄ = ReCσ ūσ e eσ=1Здесь коэффициенты Cσ являются, в общем случае, комплексными.Учитывая, что комплексные корни µσ (если они есть) всегда встречаются впаре с сопряженными корнями µσ то решение можно записать в виде:q̄ =2nX´³eδσ t v̄ σ Cσ(c) cos εσ t + w̄σ Cσ(s) sin εσ tгде ūσ = v̄ σ + iw̄σσ=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.22 / 241. Пусть сопротивление велико настолько, что для всех µσ : β 2 > 4αγ.Тогда корни µσ будут действительны и отрицательны (εσ = 0, δσ < 0).2nИ решение имеет вид:Xq̄ =eδσ t v̄ σ Cσ(c)σ=1т.е. со временем убывает до нуля. Такое движение имеет затухающийапериодический характер – частный случай затухающего колебательногодвижения, при котором собственно колебательного движения не можетразвиться и система, выведенная из положения своего устойчивогоравновесия, приближается к нему с убывающей скоростью без колебаний.2. Пусть сопротивление мало настолько, что для всех µσ : β 2 < 4αγ.Тогда решение имеет общий вид и движение будет затухающим колебанием.В частном случае: когда сопротивление отсутствует, это означает, чтокоэффициенты bσρ = 0 в функции Релея, т.е.
R = 0, B = 0, тогда β = 0, икорни будут чисто мнимыми, а вековое уравнение: det(Aµ2 + C) = 0 √переходит в уравнение частот: det(C − λA) = 0, если положить: µ = i λ.Такой случай соответствует консервативной системе, уравнение частоткоторой имеет вещественные и положительные корни (λ > 0). Решениеимеет гармонический характер, т.е. незатухающие колебания.3. Промежуточные случаи сопротивления, отвечают затухающим движениям,и являются комбинацией апериодических движений и затухающих колебаний.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.23 / 24Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 15Новосибирск, 2017 г.24 / 24ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 16УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЙМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМПРЯМОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВАИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИНЕВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.1 / 24Известно, что при достаточно гладких силах дифференциальные уравненияопределяют движение системы из любого начального состояния. Однако, опытпоказывает, что не все теоретически возможные движения в действительностиреализуются. Причины кроются в том, что требуемые начальные условия всегдаосуществляются, не вполне строго, а лишь с некоторой точностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
