1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Тогда вектора скоростейerν и возможных перемещений δeρν тоже лежат в плоскостяхточек vNNnXXX∗ec ) =e c · δeerν )δeδA(Jδq=−2mν (eω×vρν = 0Jρ=Qννσ σνν=1ν=1σ=1erν ) ⊥ δeerν и δeт.к. (eω×vρν потому что vρν лежат в одной плоскости.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.15 / 18В каждом из данных случаев приведённая система становитсяобычной консервативной и для неё справедливы уравнения:d ∂Tr ∂Tr∂Πr−=−(σ = 1, . .
. , n)dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσс кинетической энергией Tr и потенциальной энергией Πr (связигеометрические, все силы потенциальные, Tr и Πr от времени независят).erν = 0, тоЕсли система находится в относительном покое т.е. vTr = 0. Тогда необходимым и достаточным условиемотносительного равновесия, как видно из уравнений, является∂Πr=0(σ = 1, . . . , n)∂qσДля исследования устойчивости относительного равновесия, длярассмотренных случаев консервативной системы, можноиспользовать теорему Лагранжа для потенциала Πr , т.е.достаточно чтобы он достигал минимального значения вположении относительного равновесия.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.16 / 18Для общего же случая, когда Q∗σ 6= 0 достаточное требованиетеоремы Лагранжа для устойчивости положения относительногоравновесия очевидно – сохраняется, т.к. Q∗σ являетсягироскопической силой, добавление которой (т.е. уже длянеконсервативной приведённой системы, но получаемой изконсервативной путём добавления гироскопических сил)– не изменяет ни положения равновесия, ни характера егоустойчивости.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.17 / 18wПример. Упругое кольцо малой толщины,массой m, радиусом r0 (в недеформированном состоянии)раскручено до угловой скорости ω вокруг вертикальнойоси, проходящей через центр кольца перпендикулярноплоскости кольца. Определить радиус r вращающегосяс ω = const кольца, если коэффициент жёсткости кольца c.c(l − l0 )2 ,2где l и l0 – длины пружины упругого кольца в текущем (растянутом) состоянии инедеформированном, соответственно.
С радиусом они связаны соотношениями:Решение. Потенциальная энергия упругого кольца: Π =l = 2πr, l0 = 2πr0⇒Π = 2π 2 c(r − r0 )2ω2Iz2где Iz = mr2 - осевой момент инерции раскрученного кольца вокруг оси вращения.ω2Тогда приведённый потенциал: Πr = Π + ΠJ = 2π 2 c(r − r0 )2 −mr22Относительное равновесие кольца при заданном вращении с ω = const достигаетсяпри∂Πr=0∂rгде r – взят как обобщённая координата. Отсюда:4π 2 cr04π 2 c(r − r0 ) − ω 2 mr = 0 ⇒ r(4π 2 c − ω 2 m) = 4π 2 cr0 ⇒r=24π c − ω 2 mПотенциал центробежной силы инерции: ΠJ = −Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.18 / 18ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 13ПРИВЕДЁННАЯ СИСТЕМАПОТЕНЦИАЛ РАУСАСТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯКОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ СЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИИ ИХ УСТОЙЧИВОСТЬТЕОРЕМА РАУСАЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.1 / 21Рассмотрим движение голономной (с геометрическими связями)склерономной (связи стационарны) системы с потенциальными силами.Пусть у системы n степеней свободы, т.е. n обобщенных координат q1 , . .
. , qn .Рассмотрим общий случай, когда у системыпервые m координат – позиционные: qi (i = 1, . . . , m),остальные n − m координат – циклические: qα (α = m + 1, . . . , n), т.е.которые не входят явно в выражения потенциальной и кинетической энергий:Π = Π(t, q1 , . . . , qm ),T = T2 =n1 Xaσρ (q1 , .
. . , qm )q̇σ q̇ρ2 σ,ρ=1Найдем выражение для кинетической энергии в переменных Рауса:{t, qi , q̇i , pα } (qα – явно не входят никуда).Для этого выразим все q̇α через pα используя исходные соотношения:pα =mnXX∂L∂T==aαi q̇i +aαβ q̇β∂ q̇α∂ q̇αi=1β=m+1ndet kaαβ kα,β=m+1Напомним, что определитель6= 0 т.к. полная матрицакоэффициентов kaσρ knσ,ρ=1 является невырожденной, симметрической ипорождает положительно-определенную квадратичную форму, поэтому изкритерия Сильвестра и следует это свойство.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.2 / 21Тогда из данного соотношения выражаем:Ã!nmXXq̇α =bαβ pβ −aβi q̇ii=1β=m+1гдеnkbαβ kα,β=m+1n– обратная матрица для kaαβ kα,β=m+1 , причём bαβ = bβα .ОбозначаяnXbαβ aβi = γαiβ=m+1перепишем полученное соотношение в виде:nmXXbαβ pβ −γαi q̇iq̇α =β=m+1(1)i=1при этом все коэффициенты bαβ и γαi здесь являются функциями толькопозиционных координат: bαβ = bαβ (q1 , . . . , qm ), γαi = γαi (q1 , .
. . , qm ).Подставляя полученное выражение для q̇α в исходную формулу T , получимвыражение кинетической энергии в переменных Рауса, так называемое«союзное» выражение для T , которую обозначим Tb:mnmnXX1 X ∗1 X∗bT =a q̇i q̇j +aαβ pα pβ +a∗iα q̇i pα2 i,j=1 ij2α=m+1i=1α,β=m+1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.3 / 21Замечательным является то обстоятельство (на него обратил внимание ещеРаус), что в этой формуле все a∗iα = 0 (i = 1, . . . , m; α = m + 1, .
. . , n).Действительно:nn2bXX∂∂T∂q̇∂∂Tβ=pβ · bβα = 0a∗iα ==∂ q̇i ∂pα∂ q̇i∂ q̇β ∂pα∂ q̇iβ=m+1β=m+1– т.к. bαβ – зависят только от позиционных координат qi (i = 1, . . . , m), апеременные Рауса {t, qi , q̇i , pα } – рассматриваются как независимыеотносительно друг друга. Следовательно, выражение Tb является суммойквадратичной формы относительно позиционных скоростей q̇1 , . . . , q̇m иквадратичной формы относительно обобщенных циклических импульсовpm+1 , . . . , pn .
Вычислим еще коэффициенты a∗αβ :a∗αβ =nnXX∂∂T ∂ q̇γ∂∂ 2 Tb==pγ · bγβ = bαβ∂pα ∂pβ∂pα γ=m+1 ∂ q̇γ ∂pβ∂pα γ=m+1Таким образом, имеем следующее выражение для кинетической энергии Tb:m1 X ∗1Tb =a q̇i q̇j +2 i,j=1 ij2Батяев Е. А. (НГУ)nXbαβ pα pβ(2)α,β=m+1ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.4 / 21Коэффициенты a∗ij – вычисляются просто, но несколько громоздко.Мы просто будем помнить, что они получаются из обычного выражениякинетической энергии после перехода к переменным Рауса как коэффициентыпри произведениях позиционных скоростей q̇i и q̇j (i, j = 1, . .
. , m).Отметим еще раз, что все коэффициенты в (2) являются функциями толькопозиционных координат qi . Причём Tb явно от времени не зависит.Определим теперь функцию Рауса, пользуясь (1) и учитывая, что впеременных Рауса L(t, qi , q̇i , pα ) = Tb(t, qi , q̇i , pα ) − Π(t, qi ):mnnnXXXXbαβ pβ −γαi q̇i−Tb+Π =R = R(t, qi , q̇i , pα ) =pα q̇α −L =pα α=m+1=nXmXbαβ pα pβ −α,β=m+1i=1ÃnX!γαi pα q̇i −α=m+1m1 X ∗1=−a q̇i q̇j +2 i,j=1 ij2Батяев Е. А. (НГУ)α=m+1nXi=1β=m+1m1 X ∗1aij q̇i q̇j −2 i,j=12bαβ pα pβ + Π −α,β=m+1ЛЕКЦИЯ 13mXi=1ÃnXbαβ pα pβ +Π =α,β=m+1nX!γαi pαq̇iα=m+1Новосибирск, 2017 г.5 / 21Для дальнейшего будет удобнее использование функции −R, которое сточки зрения уравнений Рауса для позиционных координат:d ∂R ∂R−=0(i = 1, .
. . , m)dt ∂ q̇i∂qiимеющих форму лагранжевых уравнений, ничего не меняет из-за иходнородности. Причём эти уравнения, с учетом постоянства циклическихимпульсов:pα = p0α = const(α = m + 1, . . . , n)образуют автономную систему, т.е. которая не зависит от другихнеизвестных величин.Введём обозначения:T∗ =Π∗ = Π +12nXbαβ pα pβm1 X ∗a q̇i q̇j2 i,j=1 ij−α,β=m+1V ∗ = Π∗ −mXa∗i q̇iгде a∗i =nXγαi pαα=m+1i=1Батяев Е. А. (НГУ)потенциал Рауса(приведённый потенциал)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.6 / 21Тогда получим следующее выражение для функции Рауса:−R = T ∗ − V ∗ ,после подстановки которого в автономные уравнения Рауса для позиционныхкоординат получим:∂T ∗d ∂V ∗∂V ∗d ∂T ∗−=−dt ∂ q̇i∂qidt ∂ q̇i∂qi(i = 1, .
. . , m)т.е. фактически полученные уравнения позволяют определять изменениеобобщенных координат qi (t) для некоторой новой вспомогательнойнатуральной склерономной системы с m степенями свободы (т.е. у которойнет циклических координат) имеющей кинетическую энергию T ∗ иобобщенный потенциал V ∗ , а потенциальной энергией этой системыявляется потенциал Рауса Π∗ . При этом нетрудно убедиться, что полныемеханические энергии исходной системы и вспомогательной совпадают:E = T + Π = Tb + Π =Батяев Е. А. (НГУ)m11 X ∗a q̇i q̇j +2 i,j=1 ij2ЛЕКЦИЯ 13nXbαβ pα pβ + Π = T ∗ + Π∗α,β=m+1Новосибирск, 2017 г.7 / 21Полученную вспомогательную систему будем называть – приведённой.Когда функции qi (t) (i = 1, .
. . , m), определяющие движение приведённойсистемы, найдены, то изменение со временем циклических координат qα (t)определяется из уравнений Гамильтона или из (1) (α = m + 1, . . . , n):mnmXXdqα∂R∂∂Π∗ X0= 0 = 0 (V ∗ − T ∗ ) =−γq̇=bp−γαi q̇iαiiαββdt∂pα∂pα∂p0αi=1i=1β=m+1∗при помощи квадратур, т.е. через интегралы (T и Π от p0α – не зависят).Обозначим по аналогии с ранее рассмотренными случаями:V1∗=−mXa∗i q̇ii=1– часть обобщенного потенциала – линейная относительно обобщенныхскоростей. ТогдаV ∗ = Π∗ + V1∗а уравнения Лагранжа для приведённой системы перепишутся в виде(учитывая, что Π∗ не зависит от обобщенных скоростей q˙i ):µ¶d ∂T ∗∂T ∗∂Π∗d ∂V1∗∂V1∗−=−+−(i = 1, . .
. , m)dt ∂ q̇i∂qi∂qidt ∂ q̇i∂qiБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.8 / 21Выясним физическую сущность последнего слагаемого – подставляя V1∗m∗X∂a∂V1∗dd ∂V1∗j−= (−a∗i ) − −q̇j =dt ∂ q̇i∂qidt∂qij=1=−mX∂a∗ij=1Обозначая:∂qjq̇j +mX∂a∗jj=1∂qiq̇j =m µX∂a∗jj=1∂a∗− i∂qi∂qj¶q̇j∂a∗j∂a∗∗− i = γijполучим∂qi∂qjmXd ∂V1∗∂V1∗∗−=γijq̇jdt ∂ q̇i∂qij=1Нетрудно видеть, что в ведённых обозначениях∗∗γij= −γji(i, j = 1, . . . , m)что в свою очередь является критерием гироскопических сил.Т.е. выражение в скобках приводит к появлению гироскопических сил,линейных относительно позиционных скоростей.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.9 / 21Если выражение кинетической энергии T не содержит смешанныхпроизведений позиционных скоростей q̇i и циклических скоростей q̇α , т.е.если коэффициенты aαi = 0 (∀ α, i; i = 1, . . . , m, α = m + 1, . . . , n) тогдаγαi =nXbαβ aβi = 0⇒a∗i =nXγαi pα = 0⇒V1∗ = −α=m+1β=m+1mXa∗i q̇i = 0i=1и гироскопические силы в приведённой системе не возникают.В этом случае исходная рассматриваемая система называетсягироскопически несвязанной. Таким образом, если исходнаясистема является гироскопически несвязанной, тогда V ∗ = Π∗ и приведённаясистема имеет обычный потенциал Π∗ (t, qi , pα ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
