1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 18
Текст из файла (страница 18)
поверхность выпукла и целиком находится выше опорной плоскости, тоr1 > 0, r2 > 0). Многоточие (. . . ) в выражении поверхности означает члены,порядок которых, относительно x, y, выше членов выписанных явно.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.19 / 21Потенциальная энергия тела вычисляется по формуле:Π = mgl−−→где l = −n̄ · CD – является расстоянием от C до касательной плоскости кповерхности тела в точке D, n̄ - единичная внутренняя нормаль (которая будетнормалью к горизонтальной плоскости, т.е. вертикалью, когда тело повернётся к−−→точке D), CD = (x, y, z).∂f ∂f ∂fОпределим n̄ через градиент поверхности в точке D: ∇f =,,–∂x ∂y ∂zкоторый является внешним нормальным вектором. Чтобы n̄ была внутренней∇fединичной нормалью необходимо n̄ = −.|∇f|x y∇f =, , −1 – с точностью до членов второго порядка малости.r1 r211 x2y21s= 2 ' 1 − 2 r2 + r2|∇f |12xy21++r12r221xy2xy1 x2y1= − ,− ,1 1 −+ 2 ' − ,− ,1 −2|∇f |r1r22 r1r1r22r2с точностью до членов второго порядка малости ⇒n̄ = −∇f ·−−→l = −n̄·CD =x y1, , −1 +r1 r22Батяев Е.
А. (НГУ)y2x2+ 22r1r2·(x, y, z) =ЛЕКЦИЯ 11x2 y 21+ −z 1 −r1 r22y2x2+ 22r1r2y2x2+ 22r1r2Новосибирск, 2017 г.20 / 21Из выражения f (x, y, z) = 0 имеем: z ' −h +l'x2 y 21+ − −h +r1 r22⇒x2y2+r1r2−h2x2y2+ 22r1r212= h+µ12¶x2 y 2+, тогдаr1r2x2y2h+−r1r22·¸mg r1 − h 2 r2 − h 2Π = mgl ' mgh +x +y2r12r22x2y2+ 22r1r2Отсюда и из теоремы Лагранжа следует, что если центр тяжести теланаходится ниже обоих главных центров кривизны поверхности тела вточке его касания с опорной плоскостью (h < r1 , h < r2 ), тоположение равновесия устойчиво (потенциальная энергия достигаетминимума при x = y = 0). Если же центр тяжести лежит выше хотябы одного из главных центров кривизны, то, согласно теоремам 1 и 2Ляпунова имеет место неустойчивость.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 11Новосибирск, 2017 г.21 / 21ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 12ОТНОСИТЕЛЬНОЕДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕНАТУРАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ,ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАВНОМЕРНОВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.1 / 18Теорема Лагранжа, определяющая достаточное условиеустойчивости равновесия консервативной системы выполняетсядля любой инерциальной системы отсчёта.Исследование вопроса устойчивости относительного равновесиянатуральных систем, т.е. равновесия системы по отношению кнеинерциальной системе отсчёта является важным по причинеусловности самого понятия инерциальности системы отсчёта ибольшого количества подобных случаев движения (напримервращение Земли).Напомним, что движение любой механической системы внеинерциальной системе отсчёта происходит по тем же законамчто и в инерциальной системе, если к обычным силам иреакциям добавить переносные и кориолисовы силы инерции.В качестве наиболее интересного и часто встречающегося случаядвижения неинерциальной системы отсчёта, рассмотрим вращениевокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.2 / 18Рассмотрим движение натуральной системы N точек, котороепредставляется в виде суммы двух составляющих движений:1. переносное движение – равномерное вращение среды S (тела) околонеподвижной в пространстве оси с постоянной угловой скоростьюe = const — задано;ω2. относительное движение – движение во вращающейся среде S, (теле)z zSwrnO||xxrnПусть связи, наложенные на системув относительном движении, по отношениюнеинерциальной системе отсчёта Oξηζ,являются геометрическими и стационарными.PnТогда можно так ввести обобщённые координатыrn h q1 , . .
. , qn – задающие относительное движениеточек, что радиус-вектор точки Pν с началомy в точке O на оси вращения не зависит от t:eν (t) = ρeν (q1 (t), . . . , qn (t)) (ν = 1, . . . , N )ρПоскольку система натуральная, значит все силы потенциальные, апотенциальная энергия, может быть выражена как функцияобобщённых координат:Π = Π(q1 (t), . . .
, qn (t)).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.3 / 18Уравнения Лагранжа движения данной системы имеют вид:d ∂T∂T∂Π−=−dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσ(используем такой вид уравнений, он более удобен для дальнейшего).Будем далее использовать для всех векторов только покомпонентноепредставление в сопутствующей системе координат Oξηζ, котораявращается вокруг неподвижной оси Oζ = Oz:eν ,ρeeν ,verν ,veωТ.е. эти векторы описывают изменение соответствующих величин вотносительном движении системы (относительно сопутствующих осей).Выражения для кинетической энергии T при этом – не изменится,потому что для значения скалярных функций, в том числе и скалярноепроизведение векторов – не зависят от выбора системы координат:T =NNNν=1ν=1ν=11X1X1Xeν veνmν vν2 =mν v̄ ν v̄ ν =mν v222Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.4 / 18à !¶ddeпроизводные по времениАбсолютнаяи относительнаяdtdtотносятся только к векторным величинам. Поэтому вид уравненийЛагранжа сохранится и после этого изменения в покомпонентномпредставлении векторов.µФормула сложения скоростей также останется без изменений:eν = veeν + verνveeν = ωe ×ρeν – переносная скорость точки;verνv¶µdeρνreν =− относительная скорость точки Pν системы vdt⇒erνvν2 = (vνe )2 + (vνr )2 + 2ev eν vКинетическая энергия системы тогда принимает вид:T =NNNNν=1ν=1ν=1ν=1X1X1X1Xeeν verνmν vν2 =mν (vνe )2 +mν (vνr )2 +mν v222Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.5 / 18Введём обозначения:N1Xmν (vνe )2 – переносная кинетическая энергия движения,Te =2Tr =Tc =12ν=1NXmν (vνr )2 – относительная кинетическая энергия движения,ν=1NXeeν verν – добавочная кинетическая энергия движения.mν vν=1Т.е. в данных обозначениях:T = Te + Tr + TcОтметим, что рассматриваемая система не является консервативнойпотому что связь, в виде вращающейся заданным (известным) образомсреды S – не является стационарной, т.е.
система не склерономна.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.6 / 18Вычислим подробнее Te :NTe =NN1X1X1Xeν )2 =eν )(eeν )mν (vνe )2 =mν (eω×ρmν (eω×ρω×ρ222ν=1ν=1ekνρν=1e⊥ρν,ekνρeν =eν на ось вращения,Представим ρ+где– проекция ρe⊥eρ–проекцияρнаплоскостьперпендикулярнуюоси вращения.ννТак как вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения имеемN1Xk⊥⊥e ×ee ×(ee ×eωρν = ωρν +eρν ) = ωρν⇒ Te =mν (eω ×eρ⊥ω ×eρ⊥ν )(eν)=2ν=1=12NX2e⊥mν (eω×ρν) =ν=112NX2mν (ω · ρ⊥ν) =ν=1Nω2 X2mν (ρ⊥ν)2ν=1Окончательно:Te =где Iz =NX2mν (ρ⊥ν)ν=1Батяев Е. А. (НГУ)−ω2Iz2осевой момент инерции системыотносительно оси вращения z.ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.7 / 18Причём Iz 6= const в общем случае – он является функцией ρ⊥ν (t) –расстояний точек до оси, т.е. в осях Oξηζ, где декартовы оси Oξ, Oη –перпендикулярны оси вращения Oz = Oζ и вращаются с телом:222(ρ⊥ν ) = ξν + ηνТаким образом Iz = Iz (qσ ), значит Te = Te (qσ ) – является функциейтолько обобщённых координат qσ (t) и не зависит от скоростей q̇σ .Подставляя выражение T в уравнения движения получим∂Tr∂Ted ∂Tc ∂Tc∂Πd ∂Tr−−+−=−dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσdt ∂ q̇σ∂qσ∂qσЗдесь учли, что: Te = Te (qσ ), Tr = Tr (qσ , q̇σ ), Tc = Tc (qσ , q̇σ ).Перепишем уравнения Лагранжа в виде:d ∂Tr∂Tr∂(Π − Te )−=−−dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσµd ∂Tc ∂Tc−dt ∂ q̇σ∂qσ¶Рассмотрим подробнее последнее слагаемое с учётом:nXdeρν∂eρνerν =q̇σv=dt∂qσσ=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.8 / 18¾½Nd ∂Tc ∂Tc X∂d ∂erere ]−e ] =−=[ev ·v[ev ·vmνdt ∂ q̇σ∂qσdt ∂ q̇σ ν ν∂qσ ν νν=1"#)(NnXXd ∂∂eρν∂eν ) · verν ] =eν ) ·q̇σ −[(eω×ρ=mν(eω×ρdt ∂ q̇σ∂qσ∂qσν=1σ=1½·¸·µ¶¸¾NXd∂eρν∂eρν∂ev rνreν )e×eν + (eeν )(eω×ρ− ωvω×ρ==mνdt∂qσ∂qσ∂qσν=1¶µ¶¾½µNXρνd ∂eρν∂eρν r∂ev rνdeρν ∂ee×e ×ee×e −(e=+(ωρν )− ω=mν ωvω ×eρν )dt ∂qσdt ∂qσ∂qσ ν∂qσν=1¾½NX∂ev rν∂eρν∂ev rνρνr ∂ereν )eν )e)eν )+ (eω×ρ− (evν × ω− (eω×ρ=ω×vmν (e∂qσ∂qσ∂qσ∂qσν=1здесь использовали свойство перестановочности операцийдифференцирования по времени и по обобщённой координате:ρν∂ deρνd ∂e∂ev rν==dt ∂qσ∂qσ dt∂qσТогда второе и четвёртое слагаемые сократятся и в итоге получим:Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.9 / 18Nd ∂Tc ∂Tc X−=mνdt ∂ q̇σ∂qσν=1½¾ρνρνr ∂er ∂eeν )eν )+ (eω×v(eω×v=∂qσ∂qσ=2NXerν )mν (eω×vν=1∂eρν∂qσТогда получим, вводя дополнительное обозначение:– приведённый (относительный) потенциалΠr = Π − Teуравнения Лагранжа для системы равномерно вращающейся вокругнеподвижной оси:d ∂Tr∂Tr∂Πr−=−+ Q∗σ(∗)dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσгдеQ∗σ= −2NXerν )mν (eω×vν=1Батяев Е. А. (НГУ)∂eρν∂qσ−обобщённая сила инерцииКориолисаЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.10 / 18В самом деле, если рассматривать обычную силу инерцииКориолиса, действующую на ν-ую точку системы:e c = −mν 2(eer ), то её работа на любом виртуальномJω×vννперемещении системы δeρν , которое является возможнымперемещением системы при замороженных (остановленных)связях, (иначе говоря на относительных возможныхперемещениях системы):NNnXXX∂eρνrec ) =e c · δeeδqσ =δA(JJρ=−2m(eω×v)·ννννν∂qσν=1ν=1σ=1Ã!nNnXXX∂eρe ×verν ) ν δqσ =Q∗σ δqσ−2=mν (ω∂qσσ=1σ=1ν=1Заметим, что сила инерции Кориолиса, как мы уже отмечалиnPранее, – является гироскопической, т.е.
N ∗ =Q∗σ q̇σ = 0.σ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.11 / 18В результате у нас получились уравнения движения (∗) для другой,новой, вспомогательной системы, называемой приведённая система,совершающей относительное движение, с кинетической энергиейNTr =1Xmν (vνr )22ν=1и потенциальной энергией:Πr = Π + ΠJΠJ = −Te = −где(приведённый потенциал)ω2Iz2— потенциал переносной (центробежной) силы инерции.Причём для приведённой системы справедлив закон сохраненияполной механической энергии в относительном движении(хотя в общем случае она не консервативна из-за гироскопическойобобщённой силы инерции Кориолиса):Er = Tr + Πr = constБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.12 / 18В самом деле, анализируя выражение для кинетической энергииисходной системы, из двух альтернативных форм:T = T2 + T1 + T0 = Te + Tr + Tcнетрудно установить соответствие:T2 = Tr – квадратичная форма кинетической энергиипо обобщённым скоростям;T1 = Tc – линейная форма кинетической энергиипо обобщённым скоростям;T0 = Te – форма нулевой степени кинетической энергиипо обобщённым скоростям.Тогда составляя функцию Гамильтона для исходной системыH = T2 − T0 + Π∂Hубеждаемся, что она явно от времени не зависит:= 0, а поскольку∂tdH∂H== 0 ⇒ H = const∂tdtТ.е. исходная система не только натуральная (обладающаяпотенциалом Π), но ещё и обобщённо-консервативная.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.13 / 18Тогда, для приведённой же системы функция Гамильтонапринимает вид с учётом обозначений:H = T2 −T0 +Π = Tr −Te +Π = Tr +(Π−Te ) = Tr +Πr = Er = constДанное выражение можно интерпретировать следующим образом:часть (Te ) кинетической энергии исходной системы перешла впотенциальную (Π − Te ).
Т.е. энергия переносного движения(вращения) перешла в потенциальную энергию приведённойсистемы, которая обладает стационарными связями.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 12Новосибирск, 2017 г.14 / 18Для силы Кориолиса Q∗σ можно указать случаи, когда она равнанулю:• если у каждой точки системы только одна степень свободы:eµ = ρeµ (qσ )ρNXX¢ de¡ρµ∂eρerν ) ν = −2e ×verµ⇒ Q∗σ = −2mν (eω×vmµ ω∂qσdqσµν=1µ¶Xdeρµdeρµdeρµ deρµe×erµ =q̇σ ⇒ Q∗σ = −2mµ q̇σ ω=0v=dtdqσdqσ dqσµ• • если у всей системы одна степень свободы (частный случай •)• • • если траектории точек в относительном движении лежат вплоскостях, содержащих ось вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
