1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . , n)(6)Уравнения (6) описывают движение системы при H = h = const.Они имеют форму канонических уравнений, где роль функции Гамильтона(H) играет функция K из (3), а роль времени – координата q1 .Система (6), состоящая из (2n − 2) уравнений – замкнута и её можноинтегрировать независимо от других уравнений.Проинтегрировав уравнения Уиттекера, найдём функции:qj = qj (q1 , h, c1 , . . .
, c2n−2 ),pj = pj (q1 , h, c1 , . . . , c2n−2 )где c1 , . . . , c2n−2 – произвольные постоянные интегрирования.Подставляя (7) в выражение для p1 = −K из (3) получим:(j = 2, . . . , n)(7)p1 = p1 (q1 , h, c1 , . . . , c2n−2 )(8)Равенства (7) и (8) задают геометрический характер движения: ониопределяют уравнения траекторий в фазовом пространстве (точнее нагиперповерхности фазового пространства H = h).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.5 / 15Для нахождения закона движения вдоль траекторий, т.е. зависимостикоординаты от времени рассмотрим первое уравнение из гамильтоновойсистемы∂Hdq1=dt∂p1Используя тождество (5) дифференцируя его по h получим:µ¶µ¶−1∂H∂K∂H∂Kdq1dH=−=1⇒= −=dh∂p1∂h∂p1∂hdtТак как в функции ∂K/∂h все переменные выражаются через q1 из (7) и (8),то зависимость между координатой q1 и временем t устанавливается спомощью квадратуры (выражение в виде интеграла стандартных функций):Z∂Kt=−dq1 + c2n−1(9)∂hРазрешив (9) относительно q1 получим: q1 = q1 (t, h, c1 , .
. . , c2n−1 ).Зависимости (7)-(9) определяют уравнения движения системы.Таким образом, интегрирование гамильтоновой системы уравнений дляобобщённо-консервативной системы (благодаря существованию обобщённогоинтеграла энергии) свелось к интегрированию системы уравнений Уиттекера,имеющей такой же вид, но порядок на 2 единицы ниже, чем у исходной.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.6 / 15Уравнения Уиттекера имеют структуру уравнений Гамильтона. Их можнозаписать также и в форме уравнений Лагранжа II рода.В самом деле, уравнения Гамильтона мы получали при помощи теоремыd ∂L∂LДонкина из уравнений Лагранжа:−= 0 (σ = 1, . . . , n) вводяdt ∂ q̇σ∂qσ∂Lи при условии на гессиан L по q̇σ :обобщённые импульсы pσ =∂q̇σ°° 2° ∂ L °°det °° ∂ q̇σ ∂ q̇ρ ° 6= 0, тогда существовало обратное преобразование Лежандра:nP∂Hq̇σ =, где H(t, q, p) =pσ q̇σ − L(t, q, q̇). Но отсюда видно, что∂pσσ=1nPpσ q̇σ − H(t, q, p)=⇒ L(t, q, q̇) =σ=1и поэтому можно рассматривать теорему Донкина наоборот, т.е. при∂Hналичии преобразования Лежандра q̇σ =и условия на гессиан H по pσ :∂pσ°° 2° ∂ H °∂L°det °° ∂pσ ∂pρ ° 6= 0, существует обратное преобразование: pσ = ∂ q̇σгде L – приведённая выше порождающая функция, для которых исправедливы уравнения Лагранжа II рода.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.7 / 15Сделаем подобные обратные рассуждения для уравнений Уиттекера с учётом,что роль времени t играет координата q1 и количество уравнений (2n − 2):∂Kдля лежандровского преобразования переменных qj0 =(j = 2, . . . , n)∂pjу которогопорождающей функции K по pj отличен от нуля:° 2 гессиан°° ∂ K °n°det °6= 0, существует порождающая функция P , обратного° ∂pi ∂pj °i,j=2∂Pпреобразования переменных лежандровского типа pj = 0 , имеющая вид:∂qjP = P (q2 , . . .
, qn , q20 , . . . qn0 , q1 , h) =nXqj0 pj − KФункция Якобиj=2dqj. При помощи данной функции P уравненияdq1Уиттекера (6) могут быть записаны в следующей эквивалентной форме:где обозначено qj0 =∂Pd ∂P−=0dq1 ∂qj0∂qj(j = 2, . . . , n)Уравнения ЯкобиЭто уравнения типа Лагранжа, а их количество (n − 1).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.8 / 15Роль функции Лагранжа в уравнениях Якоби играет функция P , а рольвремени, как и в уравнениях Уиттекера (6) – координата q1 .Преобразуем выражение для функции P , учитывая чтоnXdq1H+L =pσ q̇σиp1 = −K(q1 , . . . , qn , p2 , . .
. , pn , h),q10 =≡1dq1σ=1P=nXj=2qj0 pj −K =nXqj0 pj +p1 =j=2nXqj0 pj =j=1⇒nXpjj=1P =n1 XH +Ldqj dt=pj q̇j =dt dq1q̇1 j=1q̇1H +Lq̇1Если система консервативна можно получить особенно простую форму для P .В таком случае L = T − Π, H = T + Π и справедлив закон сохраненияполной механической энергии T + Π = h, тогдаH + L = 2T = 2(h − Π)⇒P =2(h − Π)2T=q̇1q̇1Но в консервативной системе:nn1 X1 XT = T2 =aσρ q̇σ q̇ρ = q̇12aσρ qσ0 qρ0 = q̇12 G(q1 , .
. . , qn , q20 , . . . , qn0 ) ⇒2 σ,ρ=12 σ,ρ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.9 / 15r⇒q̇1 =T=Grh−ΠGгде G =n1 Xaσρ qσ0 qρ02σ,ρ=1Окончательно имеем выражение P для консервативной системы:pP = 2 G(h − Π)Интегрируя уравнения Якоби, находим функцииqσ = qσ (q1 , h, c1 , . . . , c2n−2 ) (σ = 2, . . . , n), которые определяют(2n − 1) - параметрическое семейство траекторий в n-мерномкоординатном пространстве. Закон движения изображающей точкивдоль траектории также устанавливается с помощью квадратуры из:dq1=dtrБатяев Е.
А. (НГУ)h−ΠGZ r⇒t=ЛЕКЦИЯ 8Gdq1 + c2n−1h−ΠНовосибирск, 2017 г.10 / 15Системы с циклическими и позиционными координатамиНаряду с обобщённо-консервативными системами понизить порядоксистемы уравнений движения можно для другого класса систем – сциклическими координатами. Обобщённая координата называется— циклическая – если она не входит явно в функцию Лагранжа L, и— позиционная – если она участвует в выражении этой функции.Значит для циклической координаты qα и для позиционной qσ имеем:∂L∂L= 0,6= 0∂qα∂qσПри выводе уравнений Гамильтона было установлено равенство:∂H∂L=−∂qα∂qαОтсюда ясно, что если координата qα – циклическая, то она не входитявно не только в функцию Лагранжа L, но и в функцию Гамильтона H(последнее может быть взято в качестве определения циклическойкоординаты, т.к.
согласно свойству теоремы Донкина эти определения– эквивалентны).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.11 / 15Однако в этом случае соответствующее уравнение Гамильтона длясопряженного qα импульса — циклический импульсdpα∂H=−=0dt∂qαдаёт интеграл pα = const — циклический интеграл.Он выражает постоянство циклического импульса.Пусть у системы:q1 , . . . , qmqm+1 , .
. . , qn– позиционные координаты, m – штук,– циклические координаты, (n − m) – штук.Тогда гамильтоновы уравнения определяют (n − m) циклическихимпульсов:∂Hṗα = −=0⇒pα = cα = const(α = m + 1, . . . , n)∂qαЦиклические координаты не входят явно в функцию Гамильтона, асоответствующие (сопряженные) им импульсы (циклические) –постоянны, поэтому функция Гамильтона имеет в этом случае вид:H = H(t, q1 , . .
. , qm , p1 , . . . , pm , cm+1 , . . . , cn )Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.12 / 15Из структуры функции Н следует, что первая группа уравненийГамильтона:dqσ∂Hdpσ∂H=,=−(σ = 1, . . . , m)dt∂pσdt∂qσпредставляет собой замкнутую систему 2m дифференциальныхуравнений первого порядка с 2m неизвестными функциями qσ (t), pσ (t)(σ = 1, . . . , m). Проинтегрировав данную систему, найдём:qσ = qσ (t, ci , c0i , cα ),pσ = pσ (t, ci , c0i , cα )где ci , c0i – произвольные постоянные интегрирования (i = 1, . . . , m).После подстановки этих зависимостей для позиционных координат иимпульсов в выражение функции H, она будет зависеть только отвремени t:H = H(t, c , c0 , c )iiαпоэтому оставшиеся гамильтоновы уравненияdqα∂H(α = m + 1, .
. . , n)=dt∂pαопределяют циклические координатыв зависимости от t при помощиZ∂Hквадратур:qα =dt + c0α(α = m + 1, . . . , n)∂cαБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.13 / 15Тем самым уравнения движения полностью проинтегрированы.Таким образом, интегрирование уравнений движения по существусвелось к интегрированию системы, порядок которой 2m – меньшепорядка исходной системы на 2(n − m) единиц, где (n − m) –количество циклических координат. Т.е. наличие (n − m) циклическихкоординат позволило понизить порядок системы. Более того, приинтегрировании новой системы с позиционными координатами мы какбы забываем о существовании циклических координат, они непринимаются во внимание и в решении не участвуют, т.е.«игнорируются», отсюда происходит название этого метода —игнорирования циклических координатразработанного Раусом (сами циклические координаты называютиногда игнорируемыми или скрытыми).
Само название «циклическаякоордината» связано с тем, что во многих задачах механики такаякоордината характеризует движение по замкнутым траекториям(циклам) – например, угловая координата ϕ, явно не входит в L.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.14 / 15Раус много сделал в механике и на следующей лекции мы рассмотримуравнения Рауса и функцию Рауса – аналоги уравнений Лагранжа ифункции Лагранжа – для позиционных координат, т.е. совершимпереход от системы гамильтоновых уравнений движения клагранжевым уравнениям – для позиционных координат (как в случаеобобщённо-консервативной системы мы совершили переход отуравнений Уиттекера (в гамильтоновой форме) к уравнениям Якоби (влагранжевой форме).В заключении заметим, что между обобщённо-консервативнойсистемой (∂H/∂t = 0) и системой с циклической координатой(∂H/∂qα = 0) имеется сходство, состоящее в том, что в обоих случаяхпорядок системы уравнений (в гамильтоновой форме) удаётсяпонизить на 2 единицы.
Отсюда можно заключить, что времяобладает свойствами, аналогичными свойствам координат (в первомслучае мы получили обобщённый интеграл энергии H = h, во второмпостоянство циклического импульса pα = cα ). Эту аналогию междувременем и координатой можно проследить и далее.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.15 / 15ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 9УРАВНЕНИЯ РАУСА(ПЕРЕМЕННЫЕ И ФУНКЦИЯ РАУСА)ДВИЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО МАЯТНИКА(ОБОБЩЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ,ЦИКЛИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ)Лектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 9Новосибирск, 2017 г.1 / 19Переменныe, функция и уравнения РаусаИспользуя идеологию с циклическими координатами, Рауспредложил взять в качестве основных переменных для описаниясостояния голономных систем в данный момент времени tкомбинацию из переменных Лагранжа и Гамильтона: часть такихи часть других — переменные Рауса — являются величины:{t, qi , qα , q̇i , pα }(i = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
