1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.1 / 21Рассмотрим систему N материальных точек Pν , положение которых винерциальной системе отсчёта определяется радиус-векторами r̄ ν (t)(ν = 1, . . . , N ). Если система несвободна, тогда наложенные на неё связипредполагаются удерживающими и идеальными. Пусть δr̄ ν – виртуальноеперемещение точки Pν , mν – масса, āν – ускорение, F̄ ν – равнодействующаявсех активных сил, приложенных к Pν . Тогда имеет место общее уравнениединамики системыNX(F̄ ν − mν āν )δr̄ ν = 0(1)ν=1В том случае, когда все или некоторые из связей не идеальны, к активнымсилам F̄ ν следует добавить часть Ḡν равнодействующей реакций связей,действующей на Pν , которая не удовлетворяет условию идеальности. Послеэтого изучаемую систему можно формально рассматривать как систему сидеальными связями.Общее уравнение динамики мы принимаем за исходное при полученииосновных дифференциальных уравнений аналитической динамики.Фактически все изучаемые дальше уравнения движения материальныхсистем являются только разными формами записи уравнения (1), к которымоно приводится при тех или иных предположениях о характере активныхсил, действующих на систему, и о наложенных на неё связях.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.2 / 21Пусть система голономная, т.е. имеются только геометрические связи вколичестве g штук:fα (t, r̄ ν ) = 0(α = 1, . . . , g)Пусть q1 , . . . , qn - обобщённые координаты, где n = 3N − g – число степенейсвободы системы. Тогда радиус-векторы r̄ ν точек Pν системы относительноначала инерциальной системы координат записываются в виде функцийаргументов {q1 , . . . , qn , t}, которые предполагаются трижды непрерывнодифференцируемыми: r̄ ν = r̄ ν (t, q1 , . . . , qn ).Если система склерономная (связи стационарные), то обобщённыекоординаты qσ (t) можно выбрать так, чтобы r̄ ν не зависели явно от t.В общем случае имеем:nnXXdr̄ ν∂r̄ ν∂r̄ ν∂r̄ νv̄ ν ==q̇σ +,δr̄ ν =δqσdt∂qσ∂t∂qσσ=1σ=1Запишем общее уравнение динамики в обобщённых координатах.Для работы активных сил на виртуальном перемещении имеем выражение:NnXXδA =F̄ ν δr̄ ν =Qσ δqσNPν=1σ=1∂r̄ ν– обобщённая сила, соответствующая обобщённойгде Qσ =F̄ ν∂qσν=1координате qσ .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.3 / 21Преобразуем выражение для элементарной работы сил инерции системы навиртуальном перемещении. Пользуясь указанными выше формулами, имеемÃN!NNnnXXXXX∂r̄ νdv̄ ν ∂r̄ ν−mν āν · δr̄ ν = −mν āν ·δqσ = −mν·δqσ∂qσdt ∂qσν=1ν=1σ=1σ=1 ν=1Но выражение в скобках преобразуется к виду:ÃN!NNXXd X∂r̄ νd ∂r̄ νdv̄ ν ∂r̄ νmν v̄ νmν v̄ ν·=−mνdt ∂qσdt ν=1∂qσdt ∂qσν=1ν=1(2)Вспоминая указанное выше выражение для скорости v̄ ν легко установить:Кроме того∂ v̄ ν∂=∂qσ∂qσ∂ v̄ ν∂r̄ ν=∂ q̇σ∂qσà nX ∂r̄ νρ=1∂r̄ νq̇ρ +∂qρ∂t!=nX∂ 2 r̄ νd ∂r̄ ν∂ 2 r̄ ν=q̇ρ +∂q∂q∂q∂tdt∂qσσρσρ=1т.е.d ∂r̄ ν∂ v̄ ν=∂qσdt ∂qσБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.4 / 21После подстановки двух последних равенств в (2) получим:ÃN! NNXXdv̄ ν ∂r̄ νd X∂ v̄ νd ∂T∂T∂ v̄ νmν·=mν v̄ ν=−−mν v̄ νdt ∂qσdt∂ q̇σ∂qσdt ∂ q̇σ ∂qσν=1ν=1ν=1Nгде обозначено T =1Xmν v̄ 2ν – кинетическая энергия системы.2ν=1Таким образом получили выражение для элементарной работы силинерции в виде:¶Nn µXX∂Td ∂T−δqσ−mν āν · δr̄ ν = −dt ∂ q̇σ∂qσν=1σ=1Тогда подставляя выражения работ активных сил и сил инерции вобобщённых координатах в общее уравнение динамики получим(умножая на −1):¶n µX∂Td ∂Tобщее уравнение динамики−− Qσ δqσ = 0 −в обобщённых координатахdt ∂ q̇σ∂qσσ=1Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.5 / 21Т.к. qσ – независимые координаты, поэтому δqσ – совершенно любыевариации координат – независящие друг от друга. Таким образом, всилу независимости δqσ уравнение будет удовлетворяться толькотогда, когда равны нулю коэффициенты при всех δqσ (σ = 1, . . . , n).Поэтому общее уравнение динамики в обобщённых координатахэквивалентно системе уравнений:d ∂T∂T−= Qσdt ∂ q̇σ ∂qσ(σ = 1, . . . , n)Уравнения Лагранжа второго родаВеличины q̇σ – называются обобщённые скорости.Аналогично q̈σ – обобщённые ускорения.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.6 / 21d ∂T∂T−= Qσdt ∂ q̇σ ∂qσ(σ = 1, . . . , n)Скорости точек v̄ ν , в выражении кинетической энергии системы,являются линейными функциями по обобщённым скоростям q̇σ иконечно ещё зависят от времени t и обобщённых координат qσ , т.е.v̄ ν = v̄ ν (t, qσ , q̇σ ), следовательно T = T (t, qσ , q̇σ ).В левые части уравнений Лагранжа после выполнения операциидифференцирования по времени (d/dt) входят t, qσ , q̇σ , q̈σ .Обобщённые силы, стоящие в правых частях уравнений Лагранжаобычно задаются как функции t, qσ , q̇σ : Qσ = Qσ (t, qρ , q̇ρ )Qσ =NXν=1F̄ ν∂r̄ ν,∂qσБатяев Е.
А. (НГУ)F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ µ , v̄ µ ), r̄ ν = r̄ ν (t, qρ ), v̄ ν = v̄ ν (t, qρ , q̇ρ )ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.7 / 21Преимущества уравнений Лагранжа второго рода• Уравнения Лагранжа II рода образуют систему из n обычныхдифференциальных уравнений второго порядка относительно nнеизвестных функций qσ (t). Порядок этой системы равен 2n. И этонаименьший возможный порядокдифференциальных уравнений движениярассматриваемой системы с n степенями свободы, так как в силупроизвольности начальных значений величин qσ , q̇σ решение системыдолжно содержать, по крайней мере, 2n произвольных констант.• Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическуюэнергию системы через обобщённые координаты и скорости T , найтиобобщённые силы Qσ и произвести последовательно все указанныедифференцирования.
Общее жеколичество получаемых уравнений движения системыне зависит от числа материальных точек системы,а определяется только числом степеней свободы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.8 / 21•Форма уравнений Лагранжане зависит от выбора обобщённых координат q1 , . . . , qnПри другом их выборе изменяются только функции T и Qσ , а сам видуравнений остаётся тот же.
В этой связи говорят, что уравненияЛагранжа II рода обладают свойством универсальности.•Однако, главным преимуществом уравнений является то, чтоуравнения не содержат реакций идеальных связейи служат для определения только лишь движения системы: qσ = qσ (t).Если же нужно найти реакции, то после интегрирования уравненийЛагранжа надо подставить найденные функции qσ (t) в выраженияd2 r̄ νr̄ ν = r̄ ν (t, q1 (t), . . . , qn (t)) = r̄ ν (t) и определить ускорения: āν =.dt2Тогда равнодействующая реакций R̄ν , приложенных к точке Pνнайдётся из соотношений: R̄ν = mν āν − F̄ ν .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.9 / 21Анализ выражения кинетической энергии(в обобщённых координатах)Рассмотрим структуру выражения для кинетической энергии системы,записанной через обобщённые координаты и скорости:à n!2µ¶2NNNX ∂r̄ νdr̄ ν∂r̄ ν1X1X1X2T =mν vν =mν=mνq̇σ +=2 ν=12 ν=1dt2 ν=1∂qσ∂tσ=1Ã!2µ¶2NnnXXX1∂r̄ ν∂r̄ ν∂r̄ ν ∂r̄ ν=mν q̇σ+2q̇σ +2 ν=1∂q∂t∂q∂tσσσ=1σ=1или в сокращённой записи: T =nnX1 Xaσρ q̇σ q̇ρ +aσ q̇σ + a02 σ,ρ=1σ=1где введены обозначения для коэффициентов aσρ , aσ , a0 – функций от{t, q1 , .
. . , qn }µ¶2NNNXX∂r̄ ν ∂r̄ ν1X∂r̄ ν∂r̄ ν ∂r̄ νaσρ =mν,a0 =mν,aσ =mν∂qσ ∂qρ∂qσ ∂t2 ν=1∂tν=1ν=1Причём видно, что: aσρ = aρσ , т.е. симметричные по нижним индексам.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.10 / 21Данная формула T показывает, что кинетическая энергия голономнойсистемы представляет собой функцию (многочлен) второй степениотносительно обобщённых скоростей q̇σ и представима в виде:T = T2 + T1 + T0гдеT2 =n1 Xaσρ q̇σ q̇ρ ,2 σ,ρ=1T1 =nXaσ q̇σ ,T0 = a0σ=1однородные функцииотносительно обобщённых скоростей q̇σT2 – квадратичная форма, T1 – линейная форма,T0 – нулевой степени формаВ случае склерономной системы (стационарные связи) время не входит вуравнение связи и в выражение r̄ ν = r̄ ν (q1 , . .
. , qn ) тогда∂r̄ ν=0∂t⇒ aσ = a0 = 0⇒T1 = T0 = 0⇒n1 XT = T2 =aσρ q̇σ q̇ρ2 σ,ρ=1т.е. кинетическая энергия склерономной системы является однороднойфункцией второй степени (квадратичной формой) от обобщённых скоростей.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 5Новосибирск, 2017 г.11 / 21Заметим, что у произвольной (склерономной или реаномной) голономнойсистемы форма T2 является всегда невырожденной, т.е. определитель,составленный из её коэффициентов, отличен от нуля:det k aσρ knσ,ρ=1 6= 0В самом деле, так как квадратичная форма T2 может быть записана в виде:Ã n!2NX ∂r̄ ν1XmνT2 =q̇σ2 ν=1∂qσσ=1сразу следует, что T2 > 0, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
