1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 12
Текст из файла (страница 12)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.10 / 19Механический смысл функции ГамильтонаДля выяснения физического смысла функции Гамильтона рассмотримнатуральные системы (т.е. с обычным Π(t, q) или обобщённым V (t, q, q̇)потенциалом). Тогда функция Лагранжа L(t, q, q̇) является квадратичнойфункцией скоростей: L = L2 + L1 + L0 , и согласно определению, функцияГамильтона H будет равна:nnnXXX∂L∂L2∂L1H=q̇σ − L(t, q, q̇) =q̇σ +q̇σ − (L2 + L1 + L0 )∂q̇∂q̇∂ q̇σσσσ=1σ=1σ=1Но по теореме Эйлера об однородных функциях:nX∂L1σ=1∂ q̇σnX∂L2σ=1∂ q̇σq̇σ = 2L2 ,q̇σ = L1 , поэтому окончательно для натуральной системы имеем:H = 2L2 + L1 − L2 − L1 − L0 = L2 − L0Ранее было выяснено, что L2 = T2 , L0 = T0 − Π (или L0 = T0 − V0 ), гдеT2 – квадратичная функция кинетической энергии, Π – потенциал обычныхсил, V0 – не зависящее от скоростей слагаемое обобщённого потенциала.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.11 / 19Тогда для натуральных систем имеем:H = T2 − T0 + Πдля обычных потенциальных сил с потенциалом ΠH = T2 − T0 + V0для сил с обобщённым потенциалом V = V1 + V0Данные выражения показывают, что хотя H имеет размерностьэнергии, она вообще-то не совпадает с полной механической энергиейE = T + Π (E = T + V0 ) т.к. (T2 − T0 ) не является кинетическойэнергией. По этой причине функция Гамильтона H(t, q, p) называетсяобобщённая механическая энергияЕсли же система склерономна, то, как указывалось T1 = T0 = 0,T = T2 , тогдаH =T +Π=EилиH = T + V0 = Eт.е.
для склерономной системы функция Гамильтона представляетсобой реальную полную механическую энергию – выраженную впеременных Гамильтона.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.12 / 19Обобщённый интеграл энергии (интеграл Якоби)Найдём полную производную по времени от функции Гамильтона, используяканонические уравнения Гамильтона:XdH(t, q, p)=dtσ=1nX∂H∂H∂Hq̇σ +ṗσ +=∂qσ∂pσ∂tσ=1n∂H ∂H∂H∂H∂H ∂H−+=∂qσ ∂pσ∂pσ ∂qσ∂t∂tТ.е. полная производная функции Гамильтона по времени тождественноравна её частной производной:dH∂H=dt∂tМеханическая система называется — обобщённо-консервативная –∂Hесли её функция Гамильтона не зависит явно от времени:≡ 0.∂t∂H∂L=−≡ 0 легко видеть, чтоВспоминая свойство из теоремы Донкина:∂t∂tдля обобщённо-консервативной системы время явно не входит и в функциюЛагранжа. Итак, для обобщённо-консервативной системы имеем:dH∂H=≡0dt∂tБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.13 / 19Т.е. при движении такой системы функция Гамильтона – сохраняетпостоянное значение:H(q, p) = h = constТ.к. H не содержит q̇ или ṗ, но включает постоянную h, поэтому, с учётомфизического смысла H (обобщённая механическая энергия), это выражениеназывается — обобщённый интеграл энергии (или интеграл Якоби).Для натуральной системы с обычным Π(t, q) или обобщённымV (t, q, q̇) = V1 (t, q, q̇) + V0 (t, q) потенциалом сил имеем:T2 − T0 + Π = hилиT2 − T0 + V0 = h(при этом функция слева не должна явно зависеть от времени).∂TЕсли система склерономна (T1 = T0 = 0, T = T2 ,= 0 – т.е. кинетическая∂tэнергия не зависит явно от времени), а силы только потенциальные, причёмΠ = Π(q) тоже не зависит от времени, т.е.
в случае обычнойконсервативной системы обобщённый интеграл энергии переходит визвестный интеграл или закон сохранения полной механической энергии:E =T +Π=hТаким образом, консервативная система является частным случаемобобщённо-консервативной с обычным интегралом энергии.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.14 / 19wПример 1: Гладкая трубка вращаетсяв горизонтальной (вертикальной) плоскостис заданной постоянной угловой скоростью ω.Внутри трубки движется шарик массой m.jСчитаем шарик материальной точкой.Угол ϕ между горизонтальной прямой xи осью трубки изменяется по закону: ϕ = ωt.Положение шарика задаём координатой r(t) – обобщённая координата.yrmxПотенциальная энергия шарика:Π = 0,− горизонтальная плоскостьΠ = mgy = mgr sin ωt, − вертикальная плоскость.Кинетическая энергия шарика:11111T = mv 2 = m(vr2 + vϕ2 ) = m(ṙ2 + (rω)2 ) = mṙ2 + mr2 ω 222222Из сопоставления с формой T = T2 + T1 + T0 имеем:11T2 = mṙ2 ,T1 = 0,T0 = mr2 ω 222Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.15 / 19Обобщённая механическая энергия (функция Гамильтона):H = T2 − T0 + Π11H = mṙ2 − mr2 ω 2 ,− горизонтальная плоскость;2211H = mṙ2 − mr2 ω 2 + mgr sin ωt, − вертикальная плоскость.22Для случая горизонтальной плоскости H явно от времени не зависит,поэтому для него справедлив обобщённый интеграл энергии:1 2 1 2 2mṙ − mr ω = h = const22Для случая вертикальной плоскости H от времени зависит явно,поэтому интеграл энергии для него не выполняется.Было бы ошибкой принимать за интеграл энергии (в горизонтальномслучае) полную механическую энергию E = T + Π, т.к.рассматриваемая система (шарик во вращающейся трубке) неявляется консервативной системой: система не склерономна –геометрическая связь в виде трубки нестационарна.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.16 / 19djydrjrdrrj Mmg xПример 2: Та же невесомая трубка, изпредыдущей задачи к которой приложенпостоянный вращающий момент сил M ,внутри трубки – шарик массой m.Потенциал момента сил: ΠM = −M ϕ.Его надо добавить к потенциалуиз предыдущей задачи.Здесь ϕ - ещё одна обобщённая координата, т.е. в данном случае ушарика 2 степени свободы и обобщённых координаты r и ϕ:Потенциальная энергия шарика:Π = −M ϕ,− горизонтальная плоскость;Π = mgr sin ϕ − M ϕ, − вертикальная плоскость.11Кинетическая энергия шарика: T = mṙ2 + mr2 ϕ̇222Из сопоставления с формой T = T2 + T1 + T0 имеем:11T2 = mṙ2 + mr2 ϕ̇2 = T,T1 = T0 = 022Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.17 / 19Данная механическая система (шарик + трубка) – являетсяконсервативной, для которой выполнены все условия: связи (толькошарнир) геометрические и стационарные, т.е. система – голономная исклерономная, а значит кинетическая энергия заведомо не зависит отвремени (это и так видно из выражения T ), все силы потенциальные:вес и момент сил – постоянные (т.е.
от времени не зависят).Поэтому обобщённая энергия равна полной механической энергии:H = E = T + Π и для каждого случая справедлив закон сохраненияполной механической энергии:m 2(ṙ + r2 ϕ̇2 ) − M ϕ = h,− горизонтальная плоскость;2m 2(ṙ + r2 ϕ̇2 ) + mgr sin ϕ − M ϕ = h, − вертикальная плоскость.2Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.18 / 19ДополнениеПолучение потенциала в предыдущих задачах, выраженного в обобщённыхкоординатах r и ϕ через работу сил на возможных перемещенияхδr = 0,δϕ 6= 0δA = δA(M )+δA(P̄ ) = M δϕ+P̄ ·δr̄ ϕ = M δϕ−P r cos ϕδϕ = (M −mgr cos ϕ)δϕ⇒∂Π⇒ Π = −M ϕ + mgr sin ϕ + f (r)∂ϕпроизвольная функция после интегрированияQϕ = M − mgr cos ϕ = −f (r)−δr 6= 0,δϕ = 0δA = δA(M ) + δA(P̄ ) = M δϕ + P̄ · δr̄ r = 0 + P δr sin ϕ = −mg sin ϕ δr⇒ Qr = −mg sin ϕ = −⇒∂Πdf (r)df (r)= −mg sin ϕ−⇒= 0 ⇒ f (r) ≡ const∂rdrdrΠ = −M ϕ + mgr sin ϕ + constБатяев Е. А.
(НГУ)const – можно положить равной нулюЛЕКЦИЯ 7Новосибирск, 2017 г.19 / 19ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 8УРАВНЕНИЯ УИТТЕКЕРА И ЯКОБИСИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИКООРДИНАТАМИИГНОРИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХКООРДИНАТЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.1 / 15Рассмотрим движение некоторой обобщённо-консервативной системы.Т.е. движение произвольной (не обязательно натуральной) системы,для которой функция Гамильтона не зависит явно от времени. Тогда,во-первых, движение системы описывается каноническимиуравнениями Гамильтона:dqσ∂H=,dt∂pσdpσ∂H=−dt∂qσ(σ = 1, .
. . , n)(1)во-вторых, существует обобщённый интеграл энергии, т.е. функцияГамильтона (обобщенно-механическая энергия)H(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) = h(2)где h – произвольная постоянная, определяемая начальнымиусловиямиh = H(q10 , . . . , qn0 , p01 , .
. . , p0n )Отметим, что H явно от времени не зависит.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8Новосибирск, 2017 г.2 / 15В 2n-мерном пространстве {q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn }, которое называется —фазовое пространство, уравнение (2) задаёт гиперповерхность.Будем рассматривать только такие движения изображающей точки вфазовом пространстве, которые соответствуют этой гиперповерхности.Иначе говоря, рассмотрим движение системы на фиксированномизоэнергетическом уровне, определяемом уравнением (2)(т.е.
только такие состояния системы, для которых величина H(qσ , pσ ) –обобщённо-механическая энергия – постоянна).Покажем, что движение системы на изоэнергетическом уровне описываетсясистемой дифференциальных уравнений, порядок которой равен (2n − 2),причём эта система опять-таки может быть записана в каноническом виде.Предположим, что в некоторой области фазового пространства (данногоизоэнергетического уровня) выполняется неравенство:∂H6= 0∂p1(p1 взято для удобства и не уменьшая общности).
Тогда в этой областиравенство (2) разрешимо относительно p1 :p1 = −K(q1 , . . . , qn , p2 , . . . , pn , h)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 8(«−» взят для удобства)Новосибирск, 2017 г.(3)3 / 15Перепишем систему уравнений Гамильтона (1) отделив 2 уравнения,соответствующих значению σ = 1, от остальных (2n − 2) уравнений:∂Hdq1=,dt∂p1dp1∂H=−dt∂q1dqj∂Hdpj∂H=,=−(j = 2, . . . , n)dt∂pjdt∂qjПоделив почленно уравнения для j = 2, . . .
, n на первое уравнение получим:dqj∂H/∂pj=,dq1∂H/∂p1dpj∂H/∂qj=−dq1∂H/∂p1(j = 2, . . . , n)(4)Подставляя величину p1 , задаваемую равенством (3) в левую частьобобщённого интеграла энергии (2) – получим тождество:H(q1 , . . . , qn , −K(q1 , . . . , qn , p2 , . .
. , pn , h), p2 , . . . , pn ) ≡ h(5)Дифференцируя его по qj и pj имеем:dH∂H ∂H ∂K=−=0dqj∂qj ∂p1 ∂qj=⇒∂H∂H ∂K=∂qj∂p1 ∂qjБатяев Е. А. (НГУ)dH∂H ∂H ∂K=−=0dpj∂pj ∂p1 ∂pj∂H∂H ∂K=∂pj∂p1 ∂pjЛЕКЦИЯ 8(j = 2, . . . , n)(j = 2, . . . , n)Новосибирск, 2017 г.4 / 15подставляя в (4) окончательно получим:Уравнения Уиттекера∂Kdqj=,dq1∂pjdpj∂K=−dq1∂qj(j = 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
