1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

, n) являются потенциальными.Т.е. пусть существует потенциал сил (потенциальная энергия)∂ΠΠ = Π(t, qσ ) и Qσ = −. Тогда уравнения Лагранжа принимают вид:∂qσ∂T∂Πd ∂T−=−dt ∂ q̇σ∂qσ∂qσ(σ = 1, . . . , n)и могут быть записаны в однородном виде:d ∂L∂L−=0dt ∂ q̇σ∂qσгдеL=T −Π−(σ = 1, . . . , n)функция Лагранжа(лагранжиан, кинетический потенциал)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.9 / 23Т.к.

потенциальная энергия Π(t, qσ ) не зависит от обобщённыхскоростей (только от времени и координат), то∂L∂T=,∂ q̇σ∂ q̇σ∂L∂T∂Π=−∂qσ∂qσ ∂qσФункция Лагранжа так же как и кинетическая энергияпредставляет собой функцию второй степени относительнообобщённых скоростей:L = T − Π = T2 + T1 + T0 − Π = L2 + L1 + L0гдеn1 XL2 = T2 =aσρ q̇σ q̇ρ ,2 σ,ρ=1L 1 = T1 =nXaσ q̇σ ,σ=1L0 = T0 − Π = a0 − Πгде коэффициенты aσρ , aσ , a0 являются функциями от координатq1 , .

. . , qn и времени t (в предыдущей лекции).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.10 / 23Рассмотрим более общий случай сил — обобщённо-потенциальные,которые представляются в виде:Qσ (t, qρ , q̇ρ ) =d ∂V∂V−dt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, . . . , n)где функция V = V (t, qρ , q̇ρ ) называется — обобщённый потенциал.Тогда уравнения Лагранжа:d ∂T∂Td ∂V∂V−=−dt ∂ q̇σ∂qσdt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, . . . , n)также могут быть переписаны в однородном виде:d ∂L∂L−=0dt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, . . .

, n)Но функция Лагранжа теперь:L(t, qσ , q̇σ ) = T (t, qσ , q̇σ ) − V (t, qσ , q̇σ )При этом очевидно, что [L] = [T ] − [V ] - имеют размерность энергии.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.11 / 23Установим структуру V . Из определения обобщённо-потенциальных сил:¶n µXd ∂V ∂V∂2V∂2V∂V∂2VQσ (t, qρ , q̇ρ ) =−=q̈ρ +q̇ρ +−dt ∂ q̇σ ∂qσ∂ q̇σ ∂ q̇ρ∂ q̇σ ∂qρ∂ q̇σ ∂t ∂qσρ=1Поскольку в механике мы рассматриваем только тот случай, когдаобобщённые силы Qσ не зависят явно от обобщённых ускорений, алишь от времени, обобщённых координат и скоростей, значит всечастные производные второго порядка по обобщённым скоростямдолжны быть тождественно равны нулю:∂2V≡0(σ, ρ = 1, .

. . , n)∂ q̇σ ∂ q̇ρобобщённый потенциал линейно зависит от обобщённых скоростей q̇σ :nXV =Aσ (t, qρ ) · q̇σ + V0 = V1 (t, qσ , q̇σ ) + V0 (t, qσ )σ=1где Aσ , V0 – функции обобщённых координат и времени. ОбозначеноnXлинейная форма обобщённого потенциалаV1 =Aσ (t, qρ )·q̇σ −относительно обобщённых скоростей q̇σ .σ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.12 / 23При этом очевидно, что V0 (t, qσ ) – обычный потенциал сил (его можнообозначать ещё как Π = V0 ).

Тогда, согласно определению, функцияЛагранжа снова будет квадратичной функцией относительнообобщённых скоростей q̇σ , но вместо предыдущих равенств получим:L = L2 + L1 + L0 = T − V = T2 + T1 + T0 − V1 − V0⇒L2 = T2 ,L1 = T1 − V1 ,L0 = T0 − V0Подставляя полученное выражение для обобщённого потенциала ввыражение силы получим:nXd ∂V∂VdAσ∂ Aρ · q̇ρ + V0  =Qσ =−=−dt ∂ q̇σ∂qσdt∂qσρ=1=nXρ=1n∂Aσ∂Aσ X ∂Aρ∂V0q̇ρ +−q̇ρ −=∂qρ∂t∂qσ∂qσρ=1¶n µ∂Aρ∂V0 X ∂Aσ∂Aσ=−+−q̇ρ +∂qσ∂qρ∂qσ∂tρ=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.13 / 23∂Aσ= 0, т.е.

линейная часть V1 обобщённого потенциала не∂tзависит явно от времени, то обобщённо-потенциальные силыЕслискладываются из• потенциальных сил: −∂V0∂qσ• гироскопических сил: Q∗σ =(σ = 1, . . . , n) иnPρ=1γσρ q̇ρ , где γσρ = −γρσ =∂Aρ∂Aσ−∂qρ∂qσ(σ, ρ = 1, . . . , n)Если к тому же система склерономна и часть V0 обобщённогопотенциала V (обычная потенциальная энергия) не зависит явно отвремени, то согласно вышеизложенной теореме об изменениимеханической энергиивеличина T + V0 остаётся постоянной(однако T + V 6= const)Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.14 / 23Голономные системы, в которых силы имеют обычный потенциалΠ(t, qσ ) или обобщённый потенциал V (t, qσ , q̇σ ) называются —натуральныеВ таких системах функция Лагранжа L вводится как разностьT − Π или T − V и является многочленом второй степени отобобщённых скоростей, т.е.

L2 – положительно определённаяквадратичная форма от обобщённых скоростей.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.15 / 23Разрешимость уравнений Лагранжа второго родаКак уже отмечалось, функция Лагранжа, в случае существованияобобщённого или обычного потенциала является многочленом 2-ойстепени относительно обобщённых скоростей. И её квадратичная частьсовпадает с квадратичной частью кинетической энергии, поэтомуполучающаяся из уравнений Лагранжа система уравнений имеет видрассмотренный ранее:nXaσρ q̈σ = gρ (t, qi , q̇i )(ρ = 1, .

. . , n)σ=1которая, как мы показали в прошлой лекции, имеет единственноерешение (при гладких правых частях), т.е. разрешимо относительнообобщённых ускорений:q̈σ = Gσ (t, qi , q̇i )(σ = 1, . . . , n)поскольку det kaσρ knσ,ρ=1 > 0.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.16 / 23В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать болееобщие системы, в которых функция Лагранжа является произвольной функциейL(t, qσ , q̇σ ). Будем лишь требовать, чтобы гессиан функции L относительнообобщённых скоростей не был равен нулю: ∂ 2 L n∂ q̇σ ∂ q̇ρ det 6= 0σ,ρ=1Так для натуральной системы это требование очевидно выполняется:2 ∂2L = det ∂ T = det kaσρ k 6= 0 ∂ q̇σ ∂ q̇ρ ∂ q̇σ ∂ q̇ρ det Требование на гессиан функции Лагранжа от обобщённых скоростей дляпроизвольных – ненатуральных систем, с функцией L, аналогично неравенству длянатуральных, поскольку уравнения Лагранжа могут быть переписаны в виде:nXρ=1∂2Lq̈ρ + (∗ ∗ ∗) = 0∂ q̇σ ∂ q̇ρ(σ = 1, .

. . , n)где через (∗ ∗ ∗) обозначена сумма членов не содержащая обобщённых ускорений q̈ρ .Тогда если гессиан L не равен нулю, система может быть разрешена относительноускорений:q̈ρ = Gρ (t, qi , q̇i )(ρ = 1, . . . , n)Т.е. это условие на гессиан функции Лагранжа необходимо для обеспеченияразрешимости уравнений Лагранжа относительно обобщённых ускорений.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.17 / 23Степень определённости функции ЛагранжаУравнения Лагранжа полностью определяются функцией Лагранжа:Lσ (L) =d ∂L∂L−=0dt ∂ q̇σ∂qσ(σ = 1, .

. . , n)Однако одни и те же уравнения могут соответствовать различнымлагранжианам L. В самом деле:• L0 = cL – отличие на постоянный множитель c = const.Тогда в силу однородности Лагранжевых уравнений:Lσ (L0 ) = cLσ (L) = 0 — они будут одинаковы для L и для L0 .• L0 = L + f (t) – отличие на произвольную функцию времени. ТогдаLσ (f (t)) =Батяев Е.

А. (НГУ)d ∂f (t) ∂f (t)−≡0dt ∂ q̇σ∂qσЛЕКЦИЯ 6⇒Lσ (L0 ) = Lσ (L)Новосибирск, 2017 г.18 / 23df (t, q) – отличие на полную производную по времениdtнекоторой функции f (t, q) - времени и координат, тогда, обозначаяn∂f X ∂f∂Φ∂fdf=+q̇σ⇒=,Φ=dt∂t∂qσ∂ q̇σ∂qσ• L0 = L +σ=1n⇒X ∂2fd ∂Φ∂2f=+q̇ρ ,dt ∂ q̇σ∂qσ ∂t∂qσ ∂qρρ=1nX ∂2f∂Φ∂2f=+q̇ρ∂qσ∂qσ ∂t∂qσ ∂qρρ=1d ∂Φ ∂Φ−≡ 0 ⇒ Lσ (L0 ) = Lσ (L)+Lσ (Φ) = Lσ (L)dt ∂ q̇σ ∂qσТ.е. лагранжевы уравнения для совпадают и в этом случае.⇒Lσ (Φ) =Отмеченные особенности кинетического потенциала могут бытьиспользованы для упрощения составления лагранжевых уравнений.Именно, постоянный множитель или аддитивный член, являющийсяполной производной по времени от функции времени и координат,либо просто функцией времени в выражении функции Лагранжа могутотбрасываться без ущерба для уравнений Лагранжа.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.19 / 23Дополнение: ГИРОСКОППокажем, что силы, приложенные к вращающемуся гироскопу,совершающему регулярную прецессию, являются гироскопическими (откудаи происходит термин «гироскопические силы»).Гироскоп — это твёрдое тело, движущееся вокругj2 x3фиксированной в нём точки для которой эллипсоидx3инерции тела является эллипсоидом вращения.w1Т.е.

гироскоп – тело вращающееся вокругнеподвижной точки O тела, относительно которойw3x2 эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения.Ox2 Это означает, что главными осями инерции гироскопаx1для точки O являются ось этого эллипсоида вращенияx1(Oξ3 ) и любые две взаимно-перпендикулярные оси(Oξ1 и Oξ2 ), лежащие в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.При этом главные осевые моменты инерции гироскопа относительно двухпоследних осей равны (Jξ1 = Jξ2 ). Тело у которого два главных осевыхмомента равны называют ещё динамически симметричным, а третью осьOξ3 называют осью динамической симметрии.

Иначе говоря, гироскоп –это динамически симметричное тело, движущееся вокруг неподвижной втеле точки. Это, например, всем известный волчок или детская юла.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 6Новосибирск, 2017 г.20 / 23В дальнейшем, оси сопутствующейj2 x3системы координат Oξ1 ξ2 ξ3 , жестко связаннойx3с гироскопом, будем направлять по его главнымw1осям инерции для точки O. Положение системыкоординат Oξ1 ξ2 ξ3 относительно неподвижной Ox1 x2 x3w3x2определяется при помощи углов Эйлера: ϕ1 – уголOпрецессии, ϕ2 – угол нутации, ϕ3 – угол собственногоx2x1вращения, которые вводятся обычным образом.x1Движение твердого тела вокруг неподвижной точки,состоящее из его вращения вокруг оси Oξ3 , неизменно связанной с телом, идвижения, при котором эта ось вращается вокруг пересекающей её оси Ox3 ,неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называют – прецессией.Угловая скорость вращения тела вокруг оси Oξ3 (ω̄ 3 ) называется – угловойскоростью собственного (чистого) вращения (ось Oξ3 – осьдинамической симметрии), а угловая скорость вращения оси Oξ3 вокруг Ox3(ω̄ 1 ) называется – угловой скоростью прецессии.Если движение тела такое, что оба вращения происходят с постоянными помодулю угловыми скоростями: ω1 = const и ω3 = const, то говорят, что телосовершает регулярную прецессию.

Характеристики

Список файлов лекций