1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , N, σ = 1, 2, 3) и (g + k) множителей связи λα , µβ .Система (8)-(10) определяет математическую модель«несвободная система с идеальными связями».Для решения основной задачи динамики несвободной системы врамках данной модели, к уравнениям (8)-(9) следует присоединитьсовместимые со связями начальные условия для функций xσν , которыевходят в уравнения дифференциальным образом:xσν |t=0 = xσν0 ,σẋσν |t=0 = vν0Интегрируя эту систему, получим уравнения движения xσν = xσν (t) имножители Лагранжа, а потом из (7) найдём реакции связей R̄ν .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.6 / 22Особенности лагранжевых уравненийс неопределёнными множителями⊕ позволяет полностью решать основную задачу динамики системы,т.е.
определять и движение системы и реакции связей;⊕ служит исходным соотношением для получения других, болееудобных уравнений, не содержащих реакций;ª громоздкость системы (система зависит от числа точек N и быстрорастёт с ростом N );ª с ростом числа связей движение системы упрощается, а находитьего приходится, наоборот, из более сложной системы уравнений.Поэтому уравнения Лагранжа первого рода очень редко применяются.Далее мы получим уравнения Лагранжа второго рода, в которыхколичество уравнений – равно числу степеней свободы системы, т.е.равно количеству неизвестных независимых вариаций.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.7 / 22Принцип Даламбера-Лагранжа.Общее уравнение динамики.Обратимся к исходным уравнениям движения несвободной системыmν āν = F̄ ν + R̄ν(ν = 1, . . . , N )(1)и к требованию идеальности связей:NXR̄ν · δr̄ ν = 0(2)ν=1Здесь āν = ¨r̄ ν – ускорение точки Pν в инерциальной системе отсчёта,F̄ ν , R̄ν – равнодействующие активных сил и реакций связей,приложенных к ν-ой точке системы, δr̄ ν – её виртуальное перемещение.Выразим из уравнений движения реакции:−R̄ν = F̄ ν − mν āνУмножая скалярно обе части этого равенства на δr̄ ν и суммируя поν = 1, . .
. , N , с учётом уравнения идеальности связи получим:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.8 / 22NX¡¢F̄ ν − mν āν · δr̄ ν = 0(11)ν=1Данное соотношение является необходимым и достаточным условиемдля того, чтобы движение, совместимое с идеальными связями,отвечало данной системе активных сил F̄ ν (т.е. являлось истинным).Необходимость: условия (11) мы только что показали.Достаточность: предположим, что задано некоторое движениемехнической системы, совместимое с идеальными связями, длякоторого выполняется условие (11). Тогда если положитьR̄ν = mν āν − F̄ ν (ν = 1, .
. . , N ) то получим, что удовлетворяютсяравенство (2) для идеальных связей и дифференциальные уравнениядвижения (1), полученные непосредственно из законов Ньютона.Таким образом, в любой момент времени можно подобрать такиереакции R̄ν , которые в силу равенства (2) были бы допустимыми дляданных связей и при которых имеют место уравнения движения (1).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.9 / 22Соотношение (11) характеризует движение всякой системы сидеальными удерживающими связями по отношению к активнымсилам F̄ ν и соответствующим (для данного момента времени)виртуальным перемещениям δr̄ ν .
Оно получило названиеОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИСтоящие в (11) выражения −mν āν = J̄ ν называются – силы инерцииА выраженияF̄ ν · δr̄ ν = δA(F̄ ν ),J̄ ν · δr̄ ν = δA(J̄ ν )определяют – элементарную работу активных сил и сил инерцииν-ой точки системы на её виртуальном перемещении. Применяяэту терминологию, можно сказать:общее уравнение динамики показывает, что: в любой фиксированныймомент времени сумма элементарных работ активных сил и силинерции на любых виртуальных перемещениях системы равна нулю.NXν=1Батяев Е. А. (НГУ)δA(F̄ ν ) +NXδA(J̄ ν ) = 0ν=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.10 / 22Общее уравнение динамики получено нами в предположении обидеальности связей (2).
Если же связи таковы, что все или частьреакций Ḡν не удовлетворяют условию (2), то, как и говорилосьранее, общее уравнение динамики можно использовать всё равно, ноформально добавив к системе активных сил F̄ ν эти неизвестные«неидеальные» реакции Ḡν , тогда уравнение (11) примет вид:NX¡¢F̄ ν + Ḡν − mν āν · δr̄ ν = 0ν=1Возникающая при этом неопределённость системы уравнений должнакомпенсироваться дополнительными данными (соотношениями) офизических свойствах и характере связей, порождающих Ḡν .Важным свойством общего уравнения динамики является то, что ононе содержит реакций идеальных связей.Если необходимо знать реакции, то их можно определить из уравненийR̄ν = mν āν − F̄ ν(ν = 1, .
. . , N )после определения уравнений движения точек системы r̄ ν (t) (āν = ¨r̄ ν ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.11 / 22Соотношение (11) на самом деле является не одним уравнением,а содержащим в себе – n количество уравнений — равное числустепеней свободы системы, которое определяется количествомнезависимых вариаций из δx1 , δy1 , δz1 , . . . δxN , δyN , δzN .Проще всего эти уравнения получить делая одну вариациюненулевой и фиксируя (зануляя) остальные перемещения.Отметим ещё раз, в каждом из полученных n уравнений –отсутствуют реакции идеальных связей.Общее уравнение динамики (11) содержит всю информациюо движении данной механической системы с идеальнымиудерживающими связями под действием заданных активных сил.Действительное движение системы полностью определяетсяобщим уравнением динамики.Далее оно будет положено в основу получения всех основныхдифференциальных уравнений движения механических систем.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.12 / 22Общее уравнение динамики (11) называют такжедифференциальным вариационным принципомДаламбера-Лагранжа. Вариационным он называется, потомучто туда входят вариации – виртуальные перемещения.А дифференциальным называется потому что в нём сравниваетсяданное положение системы с её варьированным положением вданный фиксированный, хотя и произвольный, момент времени.Принцип Даламбера-ЛагранжаИстинное (действительное) движение механической системыс идеальными связями выделяется из всех кинематическивозможных (допускаемых связями) тем, что только для негов данный момент времени, сумма работ активных сил и силинерции на любых виртуальных перемещениях системы равна нулюNXν=1Батяев Е.
А. (НГУ)δA(F̄ ν ) +NXδA(J̄ ν ) = 0ν=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.13 / 22Принцип виртуальных перемещенийПоложение равновесия — называется такое положениемеханической системы в котором система будет находиться всёвремя, если в начальный момент времени она находилась в этомположении, для всех её точек скорости были равны нулю иравнодействующие активных сил и реакций – тождественный ноль:r̄ ν |t=0 = r̄ 0ν ,v̄ ν |t=0 = 0,F̄ ν + R̄ν ≡ 0(ν = 1, . .
. , N )Положение системы r̄ 0ν , с идеальными связями, будет оставатьсяположением равновесия в том и только в том случае, когда«движение» системы r̄ ν (t) ≡ r̄ 0ν = const удовлетворяет общемууравнению динамики, которое с учётом āν ≡ v̄ ν ≡ 0 имеет вид:NXF̄ ν δr̄ ν = 0илиν=1NXδA(F̄ ν ) = 0ν=1Это равенство выражает собой:Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.14 / 22Принцип виртуальных перемещений (принцип Лагранжа)Для того, чтобы некоторое совместимое с идеальными связямиположение механической системы действительно было еёсостоянием равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этомположении сумма работ активных сил приложенных к системе налюбых виртуальных перемещениях системы равнялась нулю.Очень часто принцип виртуальных перемещений применяют пристационарных связях.
В таком случае термин «совместимое сосвязями» означает, что положение системы точек удовлетворяетконечным связям (геометрическим): fα (r̄ ν ) = 0 (α = 1, . . . , g).Дифференциальные же связи, будучи линейными и однороднымиуравнениями относительно скоростей, удовлетворяются тождественно,потому что полагаем v̄ ν ≡ 0. Более того, для таких склерономныхсистем виртуальные перемещения совпадают с возможными, поэтомув таких ситуациях этот принцип называется«принцип возможных перемещений».Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.15 / 22Если связи нестационарны, то термин «совместимые сосвязями» означает, что уравнения связи удовлетворяютсяпри любом t, если в них положитьr̄ ν = r̄ 0ν ,v̄ ν = 0(ν = 1, . .
. , N )Заметим, что в этом случае, при различных t, могут бытьразличными и виртуальные перемещения δr̄ ν . А поскольку вобщем случае F̄ ν = F̄ ν (t, r̄ µ , v̄ µ ), то предполагается, чтопринцип виртуальных перемещений имеет место при любом t,если положить все r̄ µ = r̄ 0µ , v̄ µ = 0.Принцип виртуальных перемещений является самым общимпринципом аналитической статики. Из него можно получитьусловия равновесия любой механической системы.Отметим, что общее уравнение статики из принципа виртуальныхперемещений, представляет собой систему – из n уравнений – почислу независимых вариаций координат. И в каждом этомуравнении по прежнему – отсутствуют реакции идеальных связей!Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
