1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 6
Текст из файла (страница 6)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.16 / 22Пример: «Правило рычага» — «Золотое правило механики»выигрыш в силе компенсируется проигрышем в перемещенииdr2 Стержень – невесомый,опирается на неподвижный упор.djdr1F2 F̄ 1 , F̄ 2 – силы, перпендикулярныестержню, приложены в разных концах.âîçìîæíûé ïîâîðîò,äîïóñêàåìûé ñâÿçüþδr̄ 1 , δr̄ 2 – возможные перемещениясоответствующих концов, направленные перпендикулярно стержню (покасательной к связям, являющихся окружностями радиусов l1 и l2 ).Модули возможных перемещений: δr1 = l1 δϕ, δr2 = l2 δϕ,где δϕ – возможный поворот вокруг упора.Связь – стационарная, значит виртуальные и возможные перемещениясовпадают.
Согласно принципу возможных перемещений:F1δr2l2 δϕl2F̄ 1 δr̄ 1 + F̄ 2 δr̄ 2 = 0 ⇒ F1 δr1 − F2 δr2 = 0 ⇒===F2δr1l1 δϕl1l2F1=⇒F2l1F1l1Батяев Е. А. (НГУ)l2ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.17 / 22Работа сил инерции твёрдого телапри стационарных связяхБудем представлять себе твёрдое тело как неизменяемую систему (взаимныерасстояния между точками которой не изменяются) из N отдельных точек.Пусть J̄ ν – сила инерции точки Pν тела, обладающей массой mν идвигающейся с ускорением āν , т.е.J̄ ν = −mν āν(ν = 1, .
. . , N )Скорости и ускорения точек твёрдого тела выражаются формулами ораспределении соответствующих величин из кинематических теоремv̄ ν = v̄ C + ω̄ × ρ̄ν ,āν = āC + ε̄ × ρ̄ν + ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν )где v̄ C , āC – скорость и ускорение полюса тела, выбранного в центре масстела C, ω̄, ε̄ – угловая скорость и угловое ускорение тела, ρ̄ν – вектормежду центром масс C и рассматриваемой точкой Pν тела.Ранее было показано, виртуальные и возможные перемещения точексистемы при стационарных связях совпадают, и, для тела, имеют вид:δr̄ ν = ∆r̄ ν = δr̄ C + (ω̄ × ρ̄ν )∆tгде δr̄ C – возможное перемещение центра масс тела, а ∆t – бесконечномалый промежуток времени.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.18 / 22Определим работу сил инерции точек тела на их возможных (виртуальных)перемещениях:NXδA(J̄ ν ) =ν=1NXJ̄ ν · δr̄ ν =ν=1NX−mν āν · (δr̄ C + (ω̄ × ρ̄ν )∆t) =ν=1=−NXmν āν · δr̄ C −ν=1NXmν āν · (ω̄ × ρ̄ν )∆tν=1Первое слагаемое из определения центра масс системы точек принимает вид:ÃN!Xmν āν · δr̄ C = M āC · δr̄ Cν=1где M – масса тела, āC – ускорение центра масс тела.Сумма из второго слагаемого распадается на три суммы:NXmν āν · (ω̄ × ρ̄ν ) =ν=1=NXNXmν (āC + ε̄ × ρ̄ν + ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν )) · (ω̄ × ρ̄ν ) =ν=1mν āC ·(ω̄×ρ̄ν )+ν=1Батяев Е. А. (НГУ)NXmν (ε̄×ρ̄ν )·(ω̄×ρ̄ν )+ν=1NXmν [ω̄×(ω̄×ρ̄ν )]·(ω̄×ρ̄ν )ν=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.19 / 22В этом выражении первая и последняя суммы зануляются:Ã!NNXXmν āC ·(ω̄×ρ̄ν ) = āC · ω̄ ×mν ρ̄ν = āC ·(ω̄ × M ρ̄C ) = 0ν=1(т.к.
ρ̄C = 0)ν=1NXmν [ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν )] · (ω̄ × ρ̄ν ) = 0(т.к. ω̄ × (ω̄ × ρ̄ν ) ⊥ ω̄ × ρ̄ν )ν=1А вторая сумма по правилу циклической перестановки векторов всмешанном произведении приводится к виду:"N#NNXXXmν (ε̄×ρ̄ν )·(ω̄×ρ̄ν ) =mν ε̄·(ρ̄ν ×(ω̄×ρ̄ν )) = ε̄·mν (ρ̄ν × (ω̄ × ρ̄ν ))ν=1ν=1ν=1Учитывая, что скалярное произведение векторов не зависит от координатнойформы записи векторов — в кёниговых осях (или аналогично в абсолютнойнеподвижной системе координат) Cx1 x2 x3 или в сопутствующей системекоординат (жёстко связанной с телом) Cξ1 ξ2 ξ3 , выражения которых связаныс помощью ортогональной матрицы поворота A выражением c̄ = Aec—имеем: "#"N#NXXe ×ρeν )) ∆tε̄ ·mν (ρ̄ν × (ω̄ × ρ̄ν )) ∆t = eε·mν (eρν × (ων=1Батяев Е.
А. (НГУ)ν=1ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.20 / 22Выражение в квадратных скобках является кинетическим моментом телаотносительно центра масс, который определяется также и с помощьюоператора инерции: NXe C = JC ωe ×ρeν )) = Lemν (eρν × (ων=1Тогда работа сил инерции точек тела на их возможных перемещениях имеетвид:NXδA(J̄ ν ) = −M āC · δr̄ C − L̄C · ε̄ ∆tν=1Для плоского движения тела, при выборе оси Cx3 = Cξ3 перпендикулярнойплоскости движения, вокруг которой возможно вращение тела, определяемоеe = ωeуглом поворота ϕ, имеем: ω̄ = ωe3 , ε̄ = eε = εee3 , (ω = ϕ̇, ε = ϕ̈), тогдаeC · ee) · eL̄C · ε̄ = Lε = (JC ωε = (JC e3 ) · e3 ω ε = J3C ω εгде J3C – осевой момент инерции тела относительно оси перпендикулярнойплоскости движения, проходящей через центр масс Cx3 . Отсюда получимNXδA(J̄ ν ) = −M āC · δr̄ C − J3C ε · δϕν=1где δϕ = ω∆t – возможное угловое перемещение тела вокруг оси Cx3 .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.21 / 22В литературе вводятся обозначения (для плоского движения тела):−M āC = V̄(J)(J)−J3C ε = mC− главный вектор сил инерции приложенный в центре масс− главный момент сил инерции относительно оси Cx3с учетом которых, работу сил инерции тела при плоском движении можнопредставить в виде:NXδA(J̄ ν ) = V̄(J)(J)· δr̄ C + mC · δϕν=1Для сравнения, приведём полученное ранее выражение для элементарнойработы сил, приложенных к телу в плоском случае:δA = F̄ · δr̄ O + MO · δϕгде F̄ – главный вектор сил, MO – главный момент сил относительно оси,перпендикулярной плоскости движения и проходящей через полюс O (O необязательно является центром масс тела).Ещё раз отметим, что все возможные перемещения точек тела (δr̄ C , δr̄ O ) ивозможные повороты тела (δϕ), допускаемые связями, определяются длярассматриваемого положения тела в данный фиксированный момент времени.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 3Новосибирск, 2017 г.22 / 22ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 4ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ И СИЛЫУРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫВ ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХВИРТУАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.1 / 16Как мы убедились раньше основную задачу динамики системы(несвободной) очень удобно решать, разделив на 2 более простые:1. задачу определения только движения при заданных силах и связях(из принципа Даламбера-Лагранжа при идеальных связях):NX¡¢F̄ ν − mν āν · δr̄ ν = 0ν=12.
задачу нахождения неизвестных реакций связей (идеальных) по уженайденному движению:R̄ν = mν āν − F̄ ν(ν = 1, . . . , N )Однако общее уравнение динамики несвободной системы обладаетрядом существенных недостатков (зависит от числа точек системы,количества связей . . . ). Оказывается можно построить уравнениядвижения, также не содержащие реакций, и свободные от указанныхнедостатков на основе введения так называемых обобщённых координат.Далее будем рассматривать простейший тип систем – голономных,т.е.
с геометрическими связями на положения системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.2 / 16Итак, рассмотрим движение голономной системы N материальных точек Pνс радиус-векторами r̄ ν = (xν , yν , zν ) относительно некоторой инерциальнойсистемы отсчёта, при наличии g (g < 3N ) геометрических связей:fα (t, x1 , y1 , z1 , . . . , xN , yN , zN ) = 0(α = 1, . . .
, g)(1)Функции fα (t, r̄ 1 , . . . , r̄ N ) предполагаются достаточно гладкими инезависимыми так что функциональная матрица J 0 , составленная изчастных производных от этих функций по координатам, имеет ранг g:0BB@J0 = B∂f1∂x1...∂fg∂x1∂f1∂y1...∂fg∂y1∂f1∂z1...∂fg∂z1∂f1∂xN... ...∂fg...∂xN...∂f1∂yN...∂fg∂yN∂f1∂zN...∂fg∂zN1C ∂fαC,C=∂xiνArangJ 0 = g(2)Из-за наличия геометрических связей координаты точек системы связаныg соотношениями (1), поэтому среди 3N координат только (3N − g) будетнезависимыми.
Это число независимых координат для голономной системысовпадает с её числом степеней свободы n = 3N − g. Уравнения связей в (2)позволяют выразить зависимые координаты через n независимых координати время t так, что эти независимые координаты определяют положениемеханической системы в каждый момент времени. Очевидно, что обратнаяподстановка этих выражений в уравнения связей обращает их в тождествапо времени и независимым координатам.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 4Новосибирск, 2017 г.3 / 16Однако положение системы не обязательно определять независимымидекартовыми координатами. Для этой цели можно, а иногда и удобнее,использовать n других независимых параметров — {q1 , .
. . , qn },в каждый момент связанных взаимно однозначно с независимымидекартовыми координатами.Тогда функциями этих параметров и времени t будут и зависимыедекартовы координаты, а значит и все 3N координат точек:xν = xν (t, q1 , . . . , qn ),yν = yν (t, q1 , . . . , qn ),zν = zν (t, q1 , . . . , qn )Эти равенства эквивалентны соответствующим векторным равенствам:r̄ ν = r̄ ν (t, q1 , . . . , qn )(ν = 1, . . . , N )(3)Скалярные функции xν , yν , zν , а следовательно и векторныефункции, предполагаются достаточно гладкими по qσ (триждынепрерывно-дифференцируемые)Итак, в каждый момент t времени, n независимых величин{q1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
