1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Иными словами, в случаегироскопически несвязанной системы часть кинетической энергии исходнойсистемы переходит в потенциальную энергию приведённой системы:1Tb = T ∗ +2nXbαβ (qi )pα pβ−→α,β=m+1Π∗ = Π +12nXbαβ (qi )pα pβα,β=m+1Все вышесказанное относится и к консервативным системам, у которых∂Π/∂t = 0, т.е. Π = Π(qi ).
Тогда понятно, что если исходная системаявляется консервативной и гироскопически несвязанной, то приведённаясистема также будет консервативной.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.10 / 21Стационарным движением исходной консервативной системы сциклическими координатами – называют такие ее движения, при которыхвсе позиционные координаты – сохраняют постоянные значения:qi = qi0(i = 1, . . .
, m)В таком случае T ∗ = 0 и V1∗ = 0 т.к. q̇i = 0, откуда следует, что стационарныедвижения существуют в том и только в том случае, когда соответствующиеим значения позиционных координат удовлетворяют уравнениям:∂Π∗ (qj0 )=0∂qi(i = 1, . . . , m)т.е. стационарные движения исходной консервативной системы отвечаютположениям равновесия приведённой, также консервативной системы.Нетрудно установить, что в случае стационарного движения консервативнойсистемы• позиционные импульсы – постоянные (как и циклические),• циклические скорости – постоянны.Наиболее наглядно это продемонстрировать можно используя уравненияГамильтона:Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.11 / 21∂Hdqσ=,dt∂pσdpσ∂H=−dt∂qσ(σ = 1, . . . , n)где H = H(qi , pi , pα ) – полная энергия системы (функция Гамильтона),причем H имеет следующий вид:H = Tb + Π =n1 Xcσρ (q1 , . . . , qm )pσ pρ + Π(q1 , . . . , qm )2 σ,ρ=1где первое слагаемое – выраженная через импульсы кинетическая энергия:T =nnnXX∂T1 Xaσρ (q1 , . . . , qm )q̇σ q̇ρ → pσ ==aσρ q̇ρ → q̇σ =bσρ pρ2 σ,ρ=1∂ q̇σρ=1ρ=1⇒Ã!nnnXXX1Tb =aσρ bσρ0 pρ0 bρσ0 pσ02 σ,ρ=100ρ =1σ =1Понятно, что эта квадратичная форма является симметрической (cσρ = cρσ ) иположительно определенной, поскольку выражается из кинетической энергии.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.12 / 21Тогда первые m уравнений для позиционных скоростей (при стационарномдвижении q˙i = 0) имеют вид:nmXXdqi=0=cij (qk0 )pj +ciα (qk0 )pαdtα=m+1j=1(i = 1, . . . , m)Рассматривая эти соотношения как систему линейных алгебраических°m°уравнений на pj , и учитывая критерий Сильвестра, что det °cij (qσ0 )°i,j=1 6= 0,понятно, что эти уравнения можно разрешить относительно импульсов pj ,т.е. убедиться, что они являются постоянными (циклические pα = p0α = const)pj = p0j = const(j = 1, .
. . , m)Отсюда же легко получить (поскольку ṗi = q̇i = 0) уравнения:∂H= 0,∂qi∂H=0∂pi(i = 1, . . . , m)которые представляют собой необходимые и достаточные условия, которымдолжны удовлетворять начальные значения qi0 , p0i , p0α для того, чтобыдвижение, определяемое этими начальными данными, было стационарным∂Π∗ (qj0 )(аналог уравнений на экстремум потенциала Рауса= 0).∂qiБатяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.13 / 21Для доказательства второго свойства (постоянство циклических скоростей)достаточно рассмотреть уравнения Гамильтона для циклических скоростей:nX∂Hdqα==cασ (qi0 )p0σ = const = q̇α0dt∂pασ=1(α = m + 1, . . . , n)Отсюда после интегрирования имеем:qα (t) = q̇α0 (t − t0 ) + qα0т.е. циклические координаты меняются по линейному закону со временемпри стационарном движении.Если теперь рассмотреть вопрос об устойчивости стационарных движений,то понятно, что с точки зрения приведённой системы, этот вопросэквивалентен устойчивости равновесия приведённой системы, обладающейпотенциалом Рауса Π∗ . Причем говорить об устойчивости стационарногодвижения, можно только по отношению к позиционным координатам qi0 ,позиционным скоростям q̇i0 = 0 и циклическим импульсам p0α , потому чтоциклические координаты qα0 меняются по линейному закону со временем, т.е.при сколь угодно малых отклонениях циклических скоростей от q̇α0 , получимсколь угодно большее изменение циклических координат – всегда.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.14 / 21Вопрос об устойчивости, таким образом, очевидно, решаетсяобращением к теореме Лагранжа для приведённой системы спотенциалом Π∗ (qi , p0α ). Т.к. наличие гироскопических сил, как мыубедились в прошлый раз, не нарушает равновесия и его устойчивости,то содержание теоремы Лагранжа сохраняется и в общем случае (т.е.для гироскопически связанной системы), таким образом справедливаТЕОРЕМА РАУСА (об устойчивости стационарных движенийконсервативной системы с циклическими координатами – аналогтеоремы Лагранжа, достаточный критерий устойчивости, 1884г.)Если в стационарном движении консервативной системы сначальными данными qi0 , q̇i0 = 0, p0α потенциал Рауса Π∗ (qi , p0α )(потенциальная энергия приведённой системы) имеет строгийлокальный минимум при qi = qi0 , то это движение будет устойчивымпо отношению к позиционным координатам, позиционным скоростям ициклическим импульсам, т.е.
к переменным: qi0 , q̇i0 , p0α ,(i = 1, . . . , m; α = m + 1, . . . , n).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.15 / 21Пример. Устойчивость вращения диска (монетки) вокруг вертикалиПусть круговой однородныйдиск радиусом ρ и массой m движетсяZв однородном поле тяжести по абсолютноqгладкой горизонтальной плоскости,yкасаясь ее одной точкой своего края.yПоскольку поверхность абсолютно гладкаяjC(действуют только нормальная реакцияYyqON qN̄ и вес P̄ – по вертикали), то проекцияцентра масс C тела на эту плоскостьPj xXxдвижется равномерно и прямолинейно.yNПоэтому без ограничения общностиможно считать ее проекцию неподвижной.Тогда центр масс тела будет двигаться только по заданной вертикали.Определим кинетическую энергию тела, задавая ориентацию дискаотносительно неподвижной системы координат при помощи углов Эйлераψ, θ, ϕ.
Система Cxyz – кёнигова, поступательно двигается с центром масс(ее оси параллельны осям неподвижной системы OXY Z ), система Cξηζ –сопутствующая, жестко связана с телом (ось Cζ перпендикулярна плоскостиzzqψ,ϕhjψ,θ,ϕθдиска; Cx −−→ Cξ, Cy −−−→ Cη, Cz −→ Cζ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.16 / 21→−−→ψ̇ – угловая скорость прецессии – вдоль Cz; θ̇ – угловая скорость нутации−→– вдоль линии узлов CN ; ϕ̇ – угловая скорость собственного вращения –вдоль Cζ.По теореме Кёнига кинетическая энергия диска определяется по формуле:T =11e ωemv 2 + (JC ω)2 c 2e – угловая скорость диска, выраженная в сопутствующих осях, т.е.где ωe = (ωξ , ωη , ωζ ), JC – оператор инерции и в главных осях инерцииωCξ, Cη, Cζ он имеет диагональный видJξ 00mρ2mρ2JC = 0 Jη 0 , Jζ =гдеJξ = Jη =4200 JζТогдаT =´ 1¡¢m³ 22ẊC + ẎC2 + ŻCJξ ωξ2 + Jη ωη2 + Jζ ωζ2+22Учтём, что ẊC = ẎC = 0 и связь ZC = ρ sin θ, а также кинематическиеформулы Эйлера:ωξ = ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕ, ωη = ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕ, ωζ = ψ̇ cos θ + ϕ̇Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.17 / 21¶´2 mρ2 µ 1 ¡¢ 1m³ρ cos θ · θ̇ +ωξ2 + ωη2 + ωζ2 =2242µ ³´ 1³´2 ¶221mρmρ22222=cos θ · θ̇ +=ψ̇ sin θ + θ̇ +ψ̇ cos θ + ϕ̇2242·µ¶´2 ¸mρ211 2 21³22cos θ +θ̇ + ψ̇ sin θ +ψ̇ cos θ + ϕ̇=2442T =Потенциальная энергия диска:Π = mgZC = mgρ sin θАнализируя выражения T и Π видно, что ψ и ϕ – циклические координаты.Определим сопряженные им циклические импульсы и выразим через нихскорости этих координат:¸·´³´∂T mρ2 ³∂T mρ2 1 2pϕ ==sin θ ψ̇ + ψ̇ cos θ + ϕ̇ cos θψ̇ cos θ + ϕ̇pψ ==∂ ϕ̇22 2∂ ψ̇⇒ϕ̇ =2pϕ−ψ̇ cos θmρ2Батяев Е.
А. (НГУ)⇒2pϕ2pψ1= sin2 θ ψ̇+cos θmρ22mρ2ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.⇒18 / 21224 (pψ − pϕ cos θ)(pψ − pϕ cos θ) 2 =mρ2sin θmρ2 sin2 θПодставляя полученные соотношения в T получим её союзное выражение:"µ#¶222p2ϕmρ14(p−pcosθ)ψϕ22Tb =cos θ +θ̇ ++ 2 424m ρm2 ρ4 sin2 θ⇒ψ̇ =Составим теперь потенциал Рауса:mρ2Π∗ = mgρ sin θ +2"22p2ϕ4 (pψ − pϕ cos θ)+2m 2 ρ4m2 ρ4 sin θ#Перепишем выражение потенциала Рауса с учётом постояннствациклических импульсов:pϕ = cϕ ,pψ = cψ2c2ϕ2 (cψ − cϕ cos θ)+mρ2mρ2 sin2 θПоследнее слагаемое можно исключить т.к.
это константа и она не влияет наизменение потенциала.⇒Батяев Е. А. (НГУ)Π∗ = mgρ sin θ +ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.19 / 21Существует такое стационарное движение диска (консервативной системы),при котором один из диаметров диска расположен вертикально, а сам дисквращается вокруг этого диаметра с произвольной по величине, нопостоянной угловой скоростью ω, т.е.θ = π/2,ϕ̇ = 0,ψ̇ = ω = const⇒cϕ = 0,cψ =mρ2 ω4В этом можно убедиться из уравнения равновесия приведённой системы:2∂Π∗2 2 (cψ − cϕ cos θ) cϕ sin3 θ − (cψ − cϕ cos θ) 2 sin θ cos θ= mgρ cos θ+=·∂θmρ2sin4 θ·¸¯(cψ − cϕ cos θ) cos θ ¯¯4 (cψ − cϕ cos θ) cϕ−= mgρ cos θ +¯ θ = π/2 = 0mρ2sin θsin3 θcϕ = 0Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 13Новосибирск, 2017 г.20 / 21Для исследования устойчивости такого стационарного движения, определимзнак второй производной потенциала Рауса по позиционной координате:·¸4cϕ sin θ cϕ(cψ − cϕ cos θ) cos θ∂ 2 Π∗=−mgρsinθ+−+∂θ2mρ2sin θsin3 θ+·¸4 (cψ −cϕ cos θ) cϕ cos θcos θ− sin4 θ − 3 sin2 θ cos2 θ−csinθ−(c−ccosθ)ϕψϕmρ2sin2 θsin3 θsin6 θпри θ = π/2, cϕ = 0, cψ =mρ2 ω– получим:4∂ 2 Π∗4cψ4= −mgρ +· cψ = −mgρ +22∂θmρmρ2µmρ2 ω4¶2= −mgρ +mρ2 ω 24Устойчивость положения равновесия приведённой системы обеспечиваетсяусловием строгого минимума потенциала Рауса в этом положении т.е. при∂ 2 Π∗>0∂θ2⇒mρ2 ω 2− mgρ > 04⇒ω2 >4gρИтак, при выполнении этого условия стационарное движение, являющеесявращением диска вокруг вертикали, по теореме Рауса – устойчиво.Батяев Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
