1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 16Новосибирск, 2017 г.24 / 24ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 17УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА ОБАСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИНЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПОПЕРВОМУ (ЛИНЕЙНОМУ) ПРИБЛИЖЕНИЮКРИТЕРИИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.1 / 25Линейная системаПусть дифференциальные уравнения возмущенного движения –линейны и имеют постоянные коэффициенты, т.е. образуютлинейную систему:mXdxk (t)= Xk (t, x1 , . .
. , xm ) =aki xi (t)dti=1(k = 1, . . . , m)Или вводя вектор x̄(t) и постоянную матрицу A получимпредставление линейной системы в матричном видеx1a11 . . . a1mdx̄(t) . ... ..= Ax̄(t)x̄ = .. A = .... dtxmam1 . . . ammБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.2 / 25Т.к.
это система линейных обыкновенных дифференциальныхуравнений, то ищем общее решение в видеx̄ = ūeλtПодставляя это выражение в уравнении и сокращая на eλt ,получим соотношения, связывающие искомые величинывектора-столбца ū = (u1 , . . . , un ) и λ:(A − λI)ū = 0где I – единичная матрица. Нас интересует нетривиальноерешение данной однородной системы линейных алгебраическихуравнений , т.е. |ui | 6= 0 хотя бы для одного номера i = 1, . .
. , mnXили kūk =|ui |2 > 0, значит определитель системы (матрицыi=1A − λI) должен быть равен нулю:det(A − λI) = 0характеристическое или вековое уравнениеБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.3 / 25Характеристическое уравнение det(A − λI) = 0 являетсяалгебраическим уравнением m-ой степени относительно λ.Корни характеристического уравнения (λ) называются –характеристическими числами матрицы A.Вектор-столбец ū 6= 0, удовлетворяющий вместе с числом λсистеме линейных однородных алгебраических уравнений(A − λI)ū = 0называется – собственным вектором матрицы A,соответствующим характеристическому числу λ.Итак, в каждом частном решении исходной линейной системыобыкновенных дифференциальных уравнений, имеющим видx̄ = ūeλt , λ – характеристическое число матрицы A, а ū –соответствующий собственный вектор.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.4 / 25В общем случае, если про матрицу A ничего не известно, токорни характеристического уравнения могут быть ивещественными и комплексными, кратными и не кратными.Если, например, все корни различные λk (k = 1, .
. . , m), тогдакаждому λk соответствует собственный вектор ūk и частноерешение вида ūk eλk t . Линейная комбинация этих решений сновабудет решением:mXx̄ =Ck ūk eλk tk=1где Ck – постоянные.Легко показать, что все ūk – линейно независимы, а это решениеявляется общим, т.е. удовлетворяющим уравнениям и начальнымданным путём соответствующего подбора коэффициентов Ck .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.5 / 25В самом же общем случае, корни характеристического уравнениямогут быть кратными. В курсах по теории дифференциальныхуравнений доказывается, что в таком случае, формула для решенияможет усложниться. Пусть например, какой-либо корень λj , кратностиkj , у которого имеется только nj (nj < kj ) линейно независимыхсобственных векторов ūj .
Если nj = kj , т.е. хоть корень λj и кратный,но из системы (A − λj I)ū = 0 можно найти столько независимыхсобственных векторов ū какова кратность корня, что возможно, еслиrang(A − λj I) = m − kj , и обычный вид общего решения сохранится.Иначе недостающие решения для λj можно искать в виде векторногомногочлена относительно t степени rj = kj − nj (метод Эйлера)´³r(r )(0)(1)x̄j = ūj + ūj · t + . .
. + ūj j · trj · eλj t = Pj j (t) · eλj t(1)(r )Чтобы найти векторы присоединенные векторы ūj , . . ., ūj j –необходимо подставить данное решение в исходную системудифференциальных уравнений. Приравняв коэффициенты подобныхчленов (одной степени по t) в левой и правой частях системы,получим уравнения для нахождения этих векторов.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.6 / 25r(r )(1)Члены данного полинома Pj j (t): ūj · t, . . . , ūj j · trj –неограниченно возрастающие со временем, называются – вековые.Таким образом, в общем случае произвольное решение системыдифференцируемых уравнений определяется формулой:mm³´XX(0)(1)(r )x̄ =Ck x̄k =Ck ūk + ūk · t + .
. . + ūk k · trk · eλk tk=1k=1Для дальнейшего анализа решения на устойчивость, вспомнимизвестный факт из математического анализа:lim tn e−µt = 0t→∞∀ n, µ > 0Рассмотрим самый общий вид корня характеристического уравнения –характеристического числа – комплексного:λk = µk + iνkт.е. µk = Re(λk ) – вещественная часть λk . Тогда решение примет вид:m³´X(0)(1)(r )x̄ =Ck ūk + ūk · t + . . .
+ ūk k · trk · eµk t · (sin νk t + i cos νk t)k=1Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.7 / 25Рассмотрим различные случаи.1. Пусть все µk < 0. Тогда имеет место оценка:m³´X(0)(1)(r )|x̄| <|Ck | |ūk eµk t | + |ūk · teµk t | + . . . + |ūk k · trk eµk t | −−−→ 0t→∞k=1т.е. lim |x̄(t)| = 0, значит нулевое решение дифференциальныхt→∞уравнений возмущенного движения, а следовательно, невозмущённоедвижение – асимптотически устойчиво.2. Если хотя бы один µk > 0, то очевидно, что соответствующее λkчастное решение, а значит и общее решение – будет неограниченновозрастать.
Следовательно, в этом случае невозмущённое движение –неустойчиво.3. Пусть нет ни одного корня с положительной вещественной частью,но есть корни с нулевыми вещественными частями. Тогда вопрос обустойчивости невозмущённого движения определяется наличиемвековых членов соответствующего частного решения: если они есть, торешение неустойчиво, если их нет – то устойчиво.
При этом речь вэтом случае идет – об обычной (не асимптотической) устойчивости.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.8 / 25Линейное приближениеПредставим исходную систему уравнений возмущенного движения(вообще говоря, нелинейных) в матричном виде:dx̄(t)dxk (t)= X̄(t, x̄) ⇔= Xk (t, x1 , . . . , xm ) (k = 1, . . . , m)dtdtОтносительно X̄ = (X1 , . . . , Xm ) – полагаем, что они аналитичны.Тогда раскладывая каждую в ряд по возмущениям в окрестностиначала отсчета (нулевого решения) – в ряд Маклорена – получим:∂ X̄1 ∂ 2 X̄(t, 0) · x̄ +(t, 0) · x̄ · x̄ + .
. .∂ x̄2 ∂ x̄∂ x̄Первое слагаемое X̄(t, 0) ≡ 0, что соответствует невозмущённомудвижению x̄ = 0. Обозначим матрицу во втором слагаемом и суммуостальных членов ряда начиная со второго порядка относительно x̄,следующим образом:X̄(t, x̄) = X̄(t, 0) +A(t) =∂ X̄(t, 0)∂ x̄Батяев Е. А. (НГУ)f̄ (t, x̄) =ЛЕКЦИЯ 171 ∂ 2 X̄(t, 0) · x̄ · x̄ + .
. .2 ∂ x̄∂ x̄Новосибирск, 2017 г.9 / 25Таким образом получим систему следующего вида:dx̄(t)= A(t)x̄ + f̄ (t, x̄)dtf̄ (t, x̄) – тоже аналитичная функция.Отбрасывая все нелинейные члены f̄ (t, x̄), получим системулинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:dx̄(t)= A(t)x̄dtназываемую – линейным приближением – длянелинейной системы.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.10 / 25Различают:периодический случай:X̄(t, x̄) = X̄(t + τ, x̄)⇒A и f̄ − периодические, с периодом τ .X̄ = X̄(x̄)стационарный случай:⇒A − постоянная, f̄ = f̄ (x̄);В обоих этих случаях Ляпуновым было установлено:• из асимптотической устойчивости линейного приближения⇒ асимптотическая устойчивость нелинейной системы;• из неустойчивости линейного приближения⇒ неустойчивость нелинейной системы.В случае обычной устойчивости линейного приближения сделатьзаключение об устойчивости нелинейной системы нельзя.
Этот вопростребует дополнительного рассмотрения.Следует отметить что эти результаты имеют важное значение, т.к.исследование линейной системы не вызывает особых затруднений.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.11 / 25Теорема ЛяпуноваОграничимся рассмотрением только стационарного случая.Теорема Ляпунова – об асимптотической устойчивостиневозмущенного движения по линейному приближению(достаточный признак устойчивости)Если все корни характеристического уравнения для линейногоприближения имеют отрицательную действительную часть, тонулевое решение (невозмущенное движение) нелинейной системы– асимптотически устойчиво (независимо от нелинейных членов).Т.е. из асимптотической устойчивости линейного приближения⇒ асимптотическая устойчивость нелинейной системы;Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.12 / 25Доказательство: Для начала сделаем замену переменныхx̄ = C ȳ(det C 6= 0)Тогда уравнения возмущенного движения станут:dȳ= B ȳ + ḡ(ȳ)dtгдеB = C −1AC,ḡ(ȳ) = C −1 f̄ (C ȳ)Матрицу C (вообще говоря комплексную) подберем так, чтобыматрица B была нормальной жордановой формой матрицы A, т.е.чтобы B состояла из одной или нескольких жордановых клеток,расположенных по ее главной диагонали, а все элементы, не входящиев жордановы клетки, равнялись бы нулю:λk 1J1.λk .
.J2гдеJ=B= (k = 1, . . . , m)k...... 1 Jmλk000Батяев Е. А. (НГУ)0ЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.13 / 25Далее в полученных уравнениях сделаем еще одну,вспомогательную замену переменных по формулам:y k = µk · z k(k = 1, . . . , m)где µ – положительное и, вообще говоря, малое число, условиедля конкретного выбора которого будет видно из дальнейшего.Т.е. в матричном виде:µµ2ȳ = M z̄гдеM =...00Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 17µmНовосибирск, 2017 г.14 / 25Тогдав переменных zk система примет вид:dz1dt= λ1 z1 + µb1 z2 ++Z1 (z̄)dz2=λ2 z2 + µb2 z3 ++ Z2 (z̄)dt............................................................. dzmdt=λm zm + Zm (z̄)где bk равняется 0 или 1,Z1 , . . . , Zm – нелинейные члены относительно переменных z1 , . . . , zm ,являющихся, вообще говоря, комплексными:Zk =Батяев Е.
А. (НГУ)gk (M z̄)µkЛЕКЦИЯ 17Новосибирск, 2017 г.15 / 25vumuX|zk |2|z̄| = tОбозначим далее:vuXu mkAk = t|aij |2−модуль вектора z̄k=1−mнорму некоторой матрицы A = {aij }i,j=1i,j=1Рассмотрим некоторую малую δ-окрестность начала отсчета x̄ (x̄ = 0), азначит и начала отсчета ȳ и z̄, т.е. окрестность невозмущенного движения.Пусть начальное положение системы (начальное возмущение)|x̄0 | < δ(x̄0 = x̄(t0 ))В силу непрерывной зависимости от начальных условий решения исходнойсистемы уравнений возмущённого движения, имеем|x̄| < δ−и на некотором временном интервале (t0 , t).Для значений x̄ из этой окрестности будем иметь|f̄ (x̄)| 6 ε|x̄|где число ε > 0 можно заранее выбрать сколь угодно малым, поскольку ввыражение каждого элемента столбца f̄ входят малые члены второго иболее высокого порядков по x̄ (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
