Главная » Просмотр файлов » 1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445

1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 31

Файл №542294 1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (Батяев - Лекции) 31 страница1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294) страница 312021-01-31СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Выведем соответствующую формулу.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.11 / 23Придадим функции y(x) некоторое приращение h(x). Для того, чтобыфункция y(x) + h(x) по-прежнему удовлетворяла граничным условиям(ведь мы именно среди таких функций ищем нужную) необходимо,чтобы h(a) = h(b) = 0. Вычислим приращение функционала:ZbZbΦ(x, y + h, y 0 + h0 ) dx −∆J[h] =aZb=Φ(x, y, y 0 ) dx =a¡¢Φ(x, y + h, y 0 + h0 ) − Φ(x, y, y 0 ) dx =aZb=¡¢Φy (x, y, y 0 ) · h + Φy0 (x, y, y 0 ) · h0 dx + . . .aМноготочие обозначает члены порядка выше 1-го относительно h и h0 .Здесь использовано обычное разложение в ряд Тейлора, где Φy и Φy0обозначают производные Φ(x, y, y 0 ) по соответствующим переменным.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.12 / 23Отсюда видно, что первый интеграл представляет собой главную,линейную (относительно h) часть приращения ∆J функционала J, т.е.Zbвариация:¡¢Φy (x, y, y 0 ) · h + Φy0 (x, y, y 0 ) · h0 dxδJhhi =aБолее того, нетрудно видеть, что подынтегральная функция ввариации функционала J представляет собой ничто иное как вариациюили виртуальный дифференциал самой функции Φ(x, y, y 0 ), т.е.δΦ(x, y, y 0 ) = Φy · δy + Φy0 · δy 0где заменено h(x) на привычное обозначение приращения функции δy.Значит для случая простейшей задачи вариационного исчисления стак называемыми закрепленными концами получили:ZbZb0δ Φ(x, y, y ) dx = δJ =δΦ(x, y, y 0 ) dxaaТ.е.

вариация функционала (∗) при закрепленных концах – равнавариации подынтегральной функции.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.13 / 23Обращаясь к вариации δJhhi, выполним для второго слагаемого винтеграле интегрирование по частям и учтем, что h(a) = h(b) = 0:ZbaZb¯b Z b d Φ 0d Φy0¯yΦy0 · h0 dx = Φy0 · h(x)¯ −· h(x) dx = −· h(x)dxdxdxaaТогда вариация функционалаJ(x, y, y 0 )aпримет вид:¶Zb µd Φy 0δJhhi =Φy −· h(x) dxdxaЕсли для какой-то функции y∗ (x) функционал J(x, y, y 0 ) достигаетстационарного значения, то из необходимого условия экстремумафункционала следует, что вариация функционала, а значит и интегралсправа – равны нулю при y = y∗ (x):¶Zb µd Φy 0Φy −· h(x) dx = 0dxaБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.14 / 23Теперь пользуясь основной леммой вариационного исчисленияполучим, что:dдля y = y∗ (x)Φy −Φy 0 = 0− уравнение ЭйлераdxТ.е.

фактически мы доказали теорему:ТЕОРЕМА. Для того, чтобы функционал (∗), определенный намножестве непрерывно-дифференцируемых функций y(x),удовлетворяющих условиям закрепленных концов y(a) = A, y(b) = B,достигал на данной функции y∗ (x) стационарного значения,необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера.Интегральные кривые, являющиеся решениями уравнения Эйлера,называются – экстремали. Видно, что уравнения Эйлера имеют видлагранжевых уравнений (если заменить Φ → L, x → t, y(x) → qσ (t),y 0 (x) → q̇σ (t)):∂Ld ∂L−=0(σ = 1, . . . , n)∂qσdt ∂ q̇σи служат для нахождения функций qσ (t), определяющих прямой путь— экстремаль вариационной задачи.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.15 / 23Задача о брахистохронеДля демонстрации изложенных методов вариационного исчисления,рассмотрим задачу отыскания линии наибыстрейшего спуска(брахистохроны): определить плоскую кривую в вертикальнойплоскости, соединяющую две заданные точки, двигаясь (скатываясь)по которой под действием собственного веса материальная точкапопадает из начальной точки A в конечную точку B из покоя закратчайшее время (трением и сопротивлением среды пренебрегаем).Поместим начало координат в A,Ax ось Ax – по горизонтали вправо,s(t)BMymgvось Ay – по вертикали вниз.Требуется минимизироватьфункционал:ZTT = dt0Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.16 / 23Так как механическая система – консервативная, значит выполняетсязакон сохранения полной механической энергии:1T = mv 2 ,2E = T + Π = constmv 2Π = −mgy⇒−mgy = 02p⇒v = 2gy(т.к. вначалебыл покой)(1)Используя естественное представление движения можем записать:dsA=v(2)xdts(t)где s(t) – дуговая координата,B ds – длина элементарной дуги.MВ декартовых координатах имеемmgqyvds = (dx)2 + (dy)2Будем искать (полагать) функцию y = y(x), тогдаsµ¶2 qdy2ds = (dx) +dx = 1 + (y 0 )2 dxdxБатяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.(3)17 / 23Теперь из (2) с учётом (1) и (3) получаем:sp021 + (y ) dxds11 + (y 0 )2√dt ===√dxvy2gy2gТаким образом, необходимо минимизировать функционалsZxB11 + (y 0 )2J[y] = √dxy2g0на путях, проходящих через положения A = (0, 0) и B = (xB , yB ).Используем уравнение Эйлера как необходимое условие экстремумафункционала:sd1 + (y 0 )2Φy −Φy0 = 0гдеΦ(x, y, y 0 ) =dxyОбратим внимание, что в этой задаче Φ(y, y 0 ) – не зависит явно от x.Оказывается, что в этом случае уравнение Эйлера допускает интеграл.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.18 / 23Действительно, дифференцируя второе слагаемое уравнения Эйлераимеем:¡¢dΦy −Φy0 = Φy − Φy0 y · y 0 + Φy0 y0 · y 00 = 0dxУмножая это выражение на y 0 получим:¡¢Φy y 0 − Φy0 y · y 0 + Φy0 y0 · y 00 y 0 =¢ ¡¡¢= Φy y 0 + Φy0 y 00 − Φy0 y 00 − Φy0 y · y 0 + Φy0 y0 · y 00 y 0 =¢d ¡=Φ − y 0 Φy0 = 0dxОтсюда:sΦ − y 0 Φy0 = const⇒(y 0 )21 + (y 0 )2−p=Cyy (1 + (y 0 )2 )Приводя подобные слагаемые, получим:1py (1 + (y 0 )2 )Батяев Е.

А. (НГУ)=C⇒ЛЕКЦИЯ 19¡¢y 1 + (y 0 )2 = C1Новосибирск, 2017 г.19 / 23¡¢y 1 + (y 0 )2 = C1Введём параметр t, полагая y 0 = ctg t. Тогда получим:y=C1C1= C1 sin2 t =(1 − cos 2t)1 + ctg2 t2dx =⇒dy = 2 C1 sin t cos t dtdy2 C1 sin t cos t dt== 2 C1 sin2 t dt = C1 (1 − cos 2t)dt0yctg tИнтегрируя последнее выражение от начального положения (при t = 0)до некоторого текущего положения (при t), получим1C1x = C1 (t − sin 2t · ) + C2 =(2t − sin 2t) + C222Итак, в параметрической форме уравнение кривой имеет вид:x − C2 =Батяев Е. А.

(НГУ)C1(2t − sin 2t),2ЛЕКЦИЯ 19y=C1(1 − cos 2t)2Новосибирск, 2017 г.20 / 23Преобразуем параметр подстановкой 2t = θ и учтём, что дляначального положения A: x = 0, y = 0 т.е.−C2 =C1(θ0 − sin θ0 ),20=C1(1 − cos θ0 )2Ясно, что C1 6= 0, потому что иначе получим C1 = C2 = 0 и решениебудет тривиальным. Но из физических соображений понятно, чторешение существует. Значит из последнего уравнения следует, чтоначальному положению соответствует значение параметра θ0 = 0.Таким образом получаем C2 = 0. Тогда уравнение экстремали – линиинаискорейшего спуска, принимает окончательный вид:x=Батяев Е. А.

(НГУ)C1(θ − sin θ),2y=ЛЕКЦИЯ 19C1(1 − cos θ)2Новосибирск, 2017 г.21 / 23x=0p/2R=0.250.511.52C1(θ − sin θ),2y=C1(1 − cos θ)2p3p/2 x pR=0.5R=0.75R=1yЭти уравнения представляют собой семейство циклоид, т.е. кривых,описываемых точкой на колесе радиуса R = C1 /2, которыйопределяется из второго краевого условия, т.е. условия прохождениябрахистохроны через точку B = (xB , yB ).Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.22 / 23Действительно, пусть колесо с радиусом R катится по поверхности.Точка A на колесе в начальный момент занимает место, где колесокасается поверхности.

Через время t колесо без скольженияперекатится в другое положение и точка A (зафиксированная наколесе) займёт положение B. Введём угол ϕ – поворота колеса завремя движения t. Координаты точки B в этом положении в момент t:A’Ax = xC − R sin ϕxj Cy = R − R cos ϕt=0где (xC , R) – координатыцентра колеса.tyBТ.к. движение колеса происходит без проскальзывания, очевидно, что0 B. Ноdрасстояние AA0 равно дуге A0 B: AA0 = A0 B = RϕdAA0 = xC , A⇒ xC = RϕЗначит уравнения траектории точки A на ободе колеса имеют вид:x = R(ϕ − sin ϕ),y = R(1 − cos ϕ)которые совпадают с уравнениями брахистохроны.Батяев Е.

А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 19Новосибирск, 2017 г.23 / 23ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА2 СЕМЕСТРЛЕКЦИЯ 20ДЕЙСТВИЕ ПО ГАМИЛЬТОНУПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДСКОГО(ДЛЯ НАТУРАЛЬНЫХ СИСТЕМ)ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВОДЕЙСТВИЯ ПО ГАМИЛЬТОНУДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИПО ИНЕРЦИИ НА СФЕРЕЛектор: Батяев Евгений АлександровичБатяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.1 / 22Вернемся к принципу Гамильтона-Остроградского.Zt1(δT + δA)dt = 0t0Он позволяет выделять прямой путь из всех кинематическидопустимых между одними и теми же конфигурациями врасширенном координатном пространстве, т.е. для одинаковыхначального и конечного положений голономной системы вмоменты t0 и t1 . Связи – идеальные геометрические.В этом выражении:δT – вариация кинетической энергии системы,NnXXδA =F̄ ν δr̄ ν =Qσ δqσ – элементарная работа активных силν=1Батяев Е. А.

(НГУ)σ=1на виртуальных перемещениях системы.ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.2 / 22Рассмотрим частный случай сил – потенциальных: Qσ = −∂Π.∂qσТогда, как мы уже показывали¶nn µXX∂ΠδA =Qσ δqσ =−δqσ = −δΠ(t, qσ )∂qσσ=1σ=1где Π(t, qσ ) – потенциальная энергия механической системы.nX∂ΠЗдесь δΠ(t, qσ ) =δqσ – вариация (синхронная) или∂qσσ=1виртуальный дифференциал потенциальной энергии. Тогда получимвыражение из принципа Гамильтона-Остроградского в виде:Zt1Zt1(δT − δΠ)dt =t0δ(T − Π)dt = 0t0Учитывая, что T − Π = L – функция Лагранжа, отсюда имеем:Zt1δL dt = 0t0Батяев Е.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
9,54 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее