1612042555-2f73713c5a14598eee34448f2d1c6445 (542294), страница 32
Текст из файла (страница 32)
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.3 / 22Теперь введём в рассмотрение следующий интеграл:Zt1S=L(t, q, q̇) dt−действие по Гамильтону(L – функция Лагранжа)t0Очевидно, что для вычисления величины S необходимо задатьфункции qσ (t) (σ = 1, . . . , n) в промежутке t0 6 t 6 t1 , т.е.
действиеS является – функционалом, зависящим от движения системы.Тогда из теоремы о стационарном значении функционала, заключаем,что на пути, который является экстремалью такого функционала(доставляет ему стационарное значение), его вариация равна нулю:δS = 0Получаемый из этого условия путь в точности совпадает с прямымпутём из принципа Гамильтона-Остроградского, потому что присинхронном варьировании на множестве функций с закреплённымиконцами:Zt1Zt1δS = δ L dt =δL dt = 0t0Батяев Е.
А. (НГУ)t0ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.4 / 22Равенство δS = 0 выражаетПринцип Гамильтона–Остроградскогодля натуральных систем(не только потенциальных, но и обобщенно-потенциальных сил)Действительное движение системы (прямой путь)выделяется среди других допустимых движений между теми жеконфигурациями за тот же промежуток времени тем свойством,что для него действие S имеет стационарное значение.И это значение будет минимальным при условии отсутствия вокрестности прямого пути сопряженных кинетических фокусов.Напомним, что все пути, используемые в данном интегральномпринципе получены с помощью синхронного варьирования междуфиксированными положениями системы в одни и те же моментывремени.
Т.е. пути бесконечно мало отличаются друг от друга навеличину виртуальных перемещений, за исключением концов.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.5 / 22Экстремальное свойство действия по ГамильтонуРассмотрим окрестность начального положения системы, достаточномалую, чтобы в ней отсутствовали сопряженные кинетические фокусы.Делается это для того, чтобы за заданное время t1 − t0 система моглаперейти из своего начального положения в конечное положение,расположенное в выбранной окрестности, только по единственномупрямому пути.Покажем, что в этом случае действие по Гамильтону на прямом путибудет наименьшим по сравнению с его значениями любых на окольныхпутях системы.Для доказательства применим геометрический метод Жуковского Н.Е.Сначала получим одно вспомогательное равенство.Будем рассматривать траектории точек Pν (ν = 1, .
. . , N ) натуральноймеханической системы в трехмерном евклидовом пространстве.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.6 / 22Пусть aν – начальное положение точки Pν , а fν и cν – её положения накаких-либо двух различных кинематически возможных путях, покоторым система за одно и тоже время (t − t0 ) переходит изначального положения в положение, отвечающее моменту времени t.При этом t0 < t < t1 , а сам промежуток времени(t − t0 ) вообще говоря мал, чтобы за это времясистема не могла выйти из выбранной малойокрестности ее начального положения.vnfn, tdrnОбозначим [af ] и [ac] – действие по Гамильтонуна этих путях системы:Zt[af ] =t0[ac] =cn, tan, t0Zt(T − Π) dt,a(T − Π) dtt0причём первый [af ] и второй [ac] интегралы вычисляются на путях, покоторым точки системы Pν переходят из начальных положений aν вначальный момент t0 в положения fν и cν в момент t, соответственно.Батяев Е. А.
(НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.7 / 22Определим их разность [ac] − [af ] с точностью до величин второго ивыше порядков относительно |δr̄ ν | и |δ r̄˙ ν |:¶Zt XN µ∂Π[ac] − [af ] =mν v̄ ν δv̄ ν −δr̄ ν dt∂r̄ νt0 ν=1∂Π– вычисляются на пути aν fν , а вектор виртуального∂r̄ νперемещения δr̄ ν – соединяет точки fν и cν . Учитывая, что в∂Πпотенциальном поле сил= −F̄ ν , используя перестановочное∂r̄ νсоотношениеи дифференцированием поµ между варьированием¶dвремени δv̄ ν = δr̄ ν и интегрируя по частям первое слагаемое,dtучитывая, что δr̄(t0 ) = 0 (начальное положение закреплено) получимгде v̄ ν и[ac] − [af ] =NXν=1Батяев Е.
А. (НГУ)Zt XN¢¡mν v̄(t)δr̄ ν (t) +F̄ ν − mν āν δr̄ ν dtt0 ν=1ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.8 / 22Пользуясь общим уравнением динамики для второго слагаемого, т.е.полагая сейчас, что aν fν – часть прямого пути, запишем этовыражение в следующем виде:[ac] − [af ] =NXmν vν δsν cos αν(∗)ν=1Здесь v̄ ν – скорость точки Pν в момент времени t,когда она занимает положение fν – на прямом пути,αν – угол между v̄ ν и δr̄ ν ,δsν – длина дуги fν cν , т.е. δsν = |δr̄ ν |.При этом путь aν cν ,может быть частью совершенно любого пути:частью какого-то другого прямого или окольного.Формула (∗) от этого не зависит.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20vnfn, tadrncn, tan, t0Новосибирск, 2017 г.9 / 22Пусть теперь bν – положение точки Pν вbn, t1конечный момент времени t1 движения системы,а γν и γν0 – кривые, по которым перемещаетсяen, t+dtточка Pν при движении системы соответственноfn, tпо прямому пути и любому из окольных путей.Сравним действие по Гамильтонуdrncn, tна прямом и окольном путях.Для этого возьмем на окольном пути γν0 точку cν , gngn’отвечающую моменту времени t, где t0 < t < t1 ,0а также на γν бесконечно близкую ей точку eν ,an, t0отвечающую моменту t + dt (dt – бесконечномалая, но положительная величина).Проведем траектории aν cν – некоторого вспомогательногодействительного движения точек Pν , при котором они за время t − t0приходят из начальных положений aν в их положения cν ,расположенные на кривой γν0 , отвечающей окольному пути.Аналогично, пусть кривые aν eν будут траекториями еще одногодействительного движения, при котором точки Pν за время t + dt − t0приходят из начального положения aν в положения eν на кривой γν0 .Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.10 / 22Т.е. проведем прямые пути aν cν и aν eν .(но сами концы cν и eν – лежат накривой γν0 , которая является окольнымпутем для прямого γν ).И вообще, проведем траектории такихвспомогательных действительных движений(вспомогательные прямые пути) для всехположений точек Pν на кривой γν0 (ν = 1, . . . , N ).Пусть fν – положение, которое занимаетточка Pν в момент времени t, при её движениипо вспомогательной действительной траектории(вспомогательному прямому пути) aν eν .bn, t1en, t+dtfn, tdrngncn, tgn’an, t0Таким образом, дуги aν fν и aν cν двух вспомогательных прямых путейи дуга aν cν , которая является частью кривой γν0 , отвечающейокольному пути, проходятся точкой Pν за одно и то же время t − t0 .Поэтому дуга fν eν на вспомогательном прямом пути и дуга cν eνкривой γν0 проходятся также за одинаковое время, причём это времяравно dt.Батяев Е.
А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.11 / 22Отметим, что по предположению, в рассматриваемой малойокрестности начального положения aν системы точек – неткинетических фокусов, т.е. все прямые пути между начальным илюбыми конечными положениями в этой окрестности – единственные,а все остальные пути между ними – окольные.Значит если aν fν eν – прямой путь, то любой другой бесконечноблизкий к нему путь aν cν eν – будет окольным.Причём положение cν , которую точка Pν проходит в момент t наокольном пути aν cν eν и такое что cν 6= fν , в рассматриваемойокрестности всегда найдется – в силу произвольности(неопределенности) всех локальных путей.Иными словами всегда найдется какой-то окольный путь, двигаясь покоторому точка Pν в момент t окажется в точке cν 6= fν .Этот окольный путь aν cν eν может быть, в том числе, и частьюбольшого окольного пути γν0 .
Ведь окольные пути никогда неопределены точно (как прямые), они являются только кинематическидопустимыми путями между начальным и конечным положениямисистемы точек, проходимые за одно и то же время t1 − t0 .Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.12 / 22Обозначим длины дуг:en, t+dtd snfν eν − dσν , cν eν − dlν , fν cν − δsνa d lnИз бесконечно малого треугольника cν fν eνfn, tпо теореме косинусов получим:dsncn, tdlν2 = dσν2 + δs2ν − 2dσν δsν cos ανВ силу того что cν 6= fν — среди величин δsν (ν = 1, . . .
, N ) хотя быодна будет отлична от нуля.Тогда умножая обе части последнего равенства на mν и суммируя повсем точкам системы получим строгое неравенство:NNNXXXmν dlν2 >mν dσν2 − 2mν dσν δsν cos ανν=1ν=1ν=1Если T 0 – кинетическая энергия системы при ее движении по пути cν eν ,являющемуся частью окольного пути aν cν eν , а T – кинетическая энергиясистемы при движении точек Pν по дугам fν eν , соответствующихвспомогательному действительному движению по прямому пути aν fν eν ,NNXX⇒mν dlν2 = 2T 0 dt2 ,mν dσν2 = 2T dt2ν=1Батяев Е.
А. (НГУ)ν=1ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.13 / 22Так как dσν /dt = vν , тогда перепишем неравенство в виде:T 0 dt > T dt −NXmν vν δsν cos ανν=1Вычитая из обеих частей величину Πdt и пользуясь полученным ранееравенством (∗), получим:(T 0 − Π)dt > (T − Π)dt + [af ] − [ac]Будем считать что [ac] здесь вычисляется на вспомогательномпрямом пути aν cν (как и [ae] на прямом пути aν fν eν ).
Так как(T − Π)dt = [f e]в силу малости пути fν eν за время dt, то правая часть неравенствапреобразуется к виду:[f e] + [af ] − [ac] = [ae] − [ac] = dSгде dS – дифференциал действия S при переходе от однойдействительной вспомогательной траектории aν eν к другой aν cν , когдавремя движения увеличивается на dt.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.14 / 22Поэтому:(T 0 − Π)dt > dSИнтегрируя это неравенство от t = t0 до t = t1 и вводя обозначенияSпр и Sок – для действия по Гамильтону на прямом и окольном путяхсистемы, получим:Sок > SпрТаким образом показано:если начальное и конечное положения системы достаточноблизки (т.е.
в окрестности начального положения отсутствуюткинетические фокусы сопряженные начальному положению),то действие по Гамильтону на прямом пути имеет минимальноезначение по сравнению с его значениями на окольных путях,проходящих за то же время.По этой причине принцип Гамильтона-Остроградского часто называютпринцип наименьшего действия.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.15 / 22Таким образом, согласно Гамильтону – природа ведет себяподобно экономной хозяйке: осуществляемое ею движениемеханических систем происходит с минимальным, по сравнению сдругими возможными движениями, действием.Если же расширять окрестность начальной точки (положения)для выяснения вопроса о границах этой окрестности, где любойпрямой путь в этой окрестности доставлял бы минимальноезначение действию по Гамильтону, то необходимо привлечь крассмотрению вторую вариацию: δ 2 S.
В частности если действиеминимально, то δ 2 S должна быть положительна: δ 2 S > 0.Рассуждения в этом ключе относительно просты, но несколькогромоздки, поэтому характер стационарности действия поГамильтону и другие, связанные с ним вопросы выясним наследующем простом примере.Батяев Е. А. (НГУ)ЛЕКЦИЯ 20Новосибирск, 2017 г.16 / 22Движение материальной точки по инерции на сфереПусть точка M движется, оставаясь все время на неподвижной сфереи никакие активные силы на точку не действуют. Если m – массаточки, R – радиус сферы, то в качестве обобщенных координат(система очевидно имеет 2 степени свободы) возьмем ее широту θ идолготу ϕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
